第三章 函数极限与连续函数

本章包含函数极限与连续函数相关的基础定理。

§1 函数极限

定义 函数极限（$\epsilon$-$\delta$ 定义）

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域中有定义。如果存在实数 $A$，对于任意给定的 $\epsilon >0$，可以找到 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，成立

$$|f(x)-A|<\epsilon ,$$

则称 $A$ 是 $f(x)$ 在 $x\to x_0$ 时的极限，记为 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$。

例子：[[第三章 函数极限与连续函数 例子#定义 函数极限（$\epsilon$-$\delta$ 定义） — 例子]]

定义 函数的左极限与右极限

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个左邻域（或右邻域）有定义。如果存在实数 $A$，对于任意给定的 $\epsilon >0$，可以找到 $\delta >0$，使得当 $x_0-\delta <x<x_0$（或 $x_0<x<x_0+\delta$）时，成立 $|f(x)-A|<\epsilon$，则称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限（或右极限），分别记为

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A\text{或}f(x_0^{-})=A,$$ $$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A\text{或}f(x_0^{+})=A.$$

例子：定义 函数的左极限与右极限 — 例子

定义 函数在无穷远处的极限

设函数 $f(x)$ 在 $|x|$ 充分大时有定义。如果存在实数 $A$，对于任意给定的 $\epsilon >0$，可以找到 $X>0$，使得当 $|x|>X$ 时，成立 $|f(x)-A|<\epsilon$，则称 $A$ 是 $f(x)$ 当 $x\to \infty$ 时的极限，记为 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$。类似可定义 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A$ 和 ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=A$。

例子：定义 函数在无穷远处的极限 — 例子

§2 连续函数

定义 函数在一点连续

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域中有定义。如果

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0),$$

则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处**连续**。用 $\epsilon$-$\delta$ 语言表述：对于任意给定的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $|x-x_0|<\delta$ 时，成立 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。

例子：定义 函数在一点连续 — 例子

定义 函数在一点左连续与右连续

如果 $f(x_0^{-})=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续；如果 $f(x_0^{+})=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处右连续。

其中 $f(x_0^{-})$ 和 $f(x_0^{+})$ 分别是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限和右极限。

定义 函数在区间上连续

如果 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内每一点都连续，则称 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续。如果 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，且在 $a$ 处右连续，在 $b$ 处左连续，则称 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。

定义 函数的间断点

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域中有定义。如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点。

间断点分为两类：

• 第一类间断点：左极限$f(x_0^{-})$ 和右极限$f(x_0^{+})$ 都存在。若 $f(x_0^{-})=f(x_0^{+})$，称为可去间断点；若 $f(x_0^{-})\ne f(x_0^{+})$，称为跳跃间断点。
• 第二类间断点：$f(x_0^{-})$ 或 $f(x_0^{+})$ 至少有一个不存在。

例子：定义 函数的间断点 — 例子

定义 一致连续

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。如果对于任意给定的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对 $I$ 中任意两点 $x_1,x_2$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，成立

$$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon ,$$

则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续。

例子：定义 一致连续 — 例子

定义 无穷大量（函数）

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域中有定义。如果对于任意给定的 $G>0$，存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，成立 $|f(x)|>G$，则称 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时为无穷大量，记为 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$。

例子：定义 无穷大量（函数） — 例子

定义 无穷小量（函数）

如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=0$，则称 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时为**无穷小量**。

例子：定义 无穷小量（函数） — 例子

定义 无穷小量的阶

设 ${\lim }_{x\to x_0}\alpha (x)=0$，${\lim }_{x\to x_0}\beta (x)=0$，且 $\beta (x)\ne 0$。即 $\alpha (x)$ 和 $\beta (x)$ 都是 $x\to x_0$ 时的无穷小量。

（1）若 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$，则称 $\alpha (x)$ 是比 $\beta (x)$ 高阶的无穷小量，记为 $\alpha (x)=o(\beta (x))$。

（2）若 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=c\ne 0$，则称 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是同阶无穷小量。特别地，若 $c=1$，称 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是等价无穷小量，记为 $\alpha (x)\sim \beta (x)$。

（3）若 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\infty$，则称 $\alpha (x)$ 是比 $\beta (x)$ 低阶的无穷小量。

例子：定义 无穷小量的阶 — 例子

定理 极限惟一性

定理陈述：设 $A$ 与 $B$ 都是函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的[[第三章 函数极限与连续函数#定义 函数极限（$\epsilon$-$\delta$ 定义）|极限]]，则 $A=B$。

证明：

假设 $A\ne B$，令 $\epsilon =\frac{|A-B|}{2}>0$。

由 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，存在 ${\delta }_1>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_1$ 时，$|f(x)-A|<\epsilon$。

由 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=B$，存在 ${\delta }_2>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_2$ 时，$|f(x)-B|<\epsilon$。

取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，两个不等式同时成立。由三角不等式：

$$|A-B|=|A-f(x)+f(x)-B|⩽|f(x)-A|+|f(x)-B|<\epsilon +\epsilon =2\epsilon =|A-B|.$$

得到 $|A-B|<|A-B|$，矛盾！所以 $A=B$。

证毕

例子：定理 极限惟一性 — 例子

定理 局部保序性

定理陈述：若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A,{\lim }_{x\to x_0}g(x)=B$，且 $A>B$，则存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，成立 $f(x)>g(x)$。

即：两个函数的[[第三章 函数极限与连续函数#定义 函数极限（$\epsilon$-$\delta$ 定义）|极限]]值的大小关系在局部被保持。

证明：

核心想法：$A$ 和 $B$ 之间有距离 $A-B>0$，取中点 $c=\frac{A+B}{2}$。当 $x$ 足够接近 $x_0$ 时，$f(x)$ 离 $A$ 很近（不会低于 $c$），$g(x)$ 离 $B$ 很近（不会超过 $c$），于是 $f(x)>c>g(x)$。

第1步：令 $\epsilon =\frac{A-B}{2}>0$。

第2步：由 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，存在 ${\delta }_1>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_1$ 时，$|f(x)-A|<\epsilon$，即

$$f(x)>A-\epsilon =A-\frac{A-B}{2}=\frac{A+B}{2}.$$

第3步：由 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=B$，存在 ${\delta }_2>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_2$ 时，$|g(x)-B|<\epsilon$，即

$$g(x)<B+\epsilon =B+\frac{A-B}{2}=\frac{A+B}{2}.$$

第4步：取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时：

$$f(x)>\frac{A+B}{2}>g(x).$$

因此 $f(x)>g(x)$。

证毕

推论1：若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\ne 0$，则存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，成立 $|f(x)|>\frac{|A|}{2}$。

推论1的证明：

若 $A>0$：取 $g(x)=0$，则 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=0<A$。由保序性，当 $x$ 足够接近 $x_0$ 时 $f(x)>g(x)=0$。再取 $\epsilon =\frac{A}{2}$，由 $f(x)\to A$ 知 $f(x)>A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}$，所以 $|f(x)|=f(x)>\frac{A}{2}=\frac{|A|}{2}$。

若 $A<0$：对 $-f(x)$ 应用上述论证（$-f(x)\to -A>0$），得 $|-f(x)|>\frac{|-A|}{2}=\frac{|A|}{2}$，即 $|f(x)|>\frac{|A|}{2}$。

推论2：若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A,{\lim }_{x\to x_0}g(x)=B$，且存在 $r>0$，使得当 $0<|x-x_0|<r$ 时，成立 $g(x)⩽f(x)$，则 $B⩽A$。

推论2的证明：

用反证法。假设 $B>A$，由保序性，存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\min \{r,\delta \}$ 时，$g(x)>f(x)$，与条件 $g(x)⩽f(x)$ 矛盾。所以 $B⩽A$。

推论3（局部有界性）：若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，则存在 $\delta >0$，使得 $f(x)$ 在 $O(x_0,\delta )\backslash \{x_0\}$ 中有界。

推论3的证明：

取 $\epsilon =1$。由 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)-A|<1$，即 $A-1<f(x)<A+1$。

令 $M=\max \{|A-1|,|A+1|\}$，则 $|f(x)|⩽M$ 在 $O(x_0,\delta )\backslash \{x_0\}$ 中成立。

例子：定理 局部保序性 — 例子

定理 夹逼定理

定理陈述：若在 $x_0$ 的某个去心邻域中，成立 $g(x)⩽f(x)⩽h(x)$，且 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)={\lim }_{x\to x_0}h(x)=A$，则 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$。

即：若两个函数的[[第三章 函数极限与连续函数#定义 函数极限（$\epsilon$-$\delta$ 定义）|极限]]相等，则被它们”夹逼”的函数也具有相同的极限。

证明：

核心想法：$f(x)$ 被 $g(x)$ 和 $h(x)$ 夹在中间，而 $g(x)$ 和 $h(x)$ 都趋向 $A$，所以 $f(x)$ 也被”挤”向 $A$。

第1步：设存在 $r>0$，当 $0<|x-x_0|<r$ 时，$g(x)⩽f(x)⩽h(x)$。任给 $\epsilon >0$。

第2步：由 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=A$，存在 ${\delta }_1>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_1$ 时，$|g(x)-A|<\epsilon$，即 $A-\epsilon <g(x)$。

第3步：由 ${\lim }_{x\to x_0}h(x)=A$，存在 ${\delta }_2>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_2$ 时，$|h(x)-A|<\epsilon$，即 $h(x)<A+\epsilon$。

第4步：取 $\delta =\min \{r,{\delta }_1,{\delta }_2\}$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，三个条件同时成立：

$$A-\epsilon <g(x)⩽f(x)⩽h(x)<A+\epsilon .$$

即 $|f(x)-A|<\epsilon$。

由 $\epsilon$ 的任意性，${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$。

证毕

例子：定理 夹逼定理 — 例子

定理 四则运算

定理陈述：设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A,{\lim }_{x\to x_0}g(x)=B$，则：

1. ${\lim }_{x\to x_0}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha A+\beta B$
2. ${\lim }_{x\to x_0}(f(x)g(x))=AB$
3. ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$（$B\ne 0$）

证明：

这三个结论的证明与数列极限的四则运算完全类似，只需将"$n>N$"替换为"$0<|x-x_0|<\delta$"。

证明(1) 线性运算：

任给 $\epsilon >0$。由 $f(x)\to A$，存在 ${\delta }_1>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_1$ 时，$|f(x)-A|<\epsilon$。由 $g(x)\to B$，存在 ${\delta }_2>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_2$ 时，$|g(x)-B|<\epsilon$。

取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时：

$$|(\alpha f(x)+\beta g(x))-(\alpha A+\beta B)|⩽|\alpha |\cdot |f(x)-A|+|\beta |\cdot |g(x)-B|<(|\alpha |+|\beta |)\epsilon .$$

因为 $(|\alpha |+|\beta |)$ 是常数，所以 ${\lim }_{x\to x_0}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha A+\beta B$。

证明(2) 乘法：

第1步：由局部有界性（推论3），$f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有界，即存在 $X>0$ 和 ${\delta }_0>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_0$ 时，$|f(x)|⩽X$。

第2步：关键技巧——“加一项减一项”：

$$|f(x)g(x)-AB|=|f(x)g(x)-f(x)B+f(x)B-AB|⩽|f(x)|\cdot |g(x)-B|+|B|\cdot |f(x)-A|.$$

第3步：任给 $\epsilon >0$。存在 ${\delta }_1,{\delta }_2>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_1$ 时 $|g(x)-B|<\epsilon$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_2$ 时 $|f(x)-A|<\epsilon$。

取 $\delta =\min \{{\delta }_0,{\delta }_1,{\delta }_2\}$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时：

$$|f(x)g(x)-AB|⩽X\epsilon +|B|\epsilon =(X+|B|)\epsilon .$$

因为 $(X+|B|)$ 是常数，所以 ${\lim }_{x\to x_0}(f(x)g(x))=AB$。

证明(3) 除法：

第1步：因为 $B\ne 0$，由推论1，存在 ${\delta }_0>0$，当 $0<|x-x_0|<{\delta }_0$ 时，$|g(x)|>\frac{|B|}{2}>0$。所以 $g(x)\ne 0$，除法有意义。

第2步：通分：

$$\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{A}{B}\right|=\left|\frac{Bf(x)-Ag(x)}{g(x)B}\right|⩽\frac{|B|\cdot |f(x)-A|+|A|\cdot |g(x)-B|}{|g(x)|\cdot |B|}.$$

第3步：当 $0<|x-x_0|<{\delta }_0$ 时，$\frac{1}{|g(x)|}<\frac{2}{|B|}$。代入上式：

$$\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{A}{B}\right|<\frac{2}{|B{|}^2}(|B|\cdot |f(x)-A|+|A|\cdot |g(x)-B|).$$

第4步：任给 $\epsilon >0$，取 ${\delta }_1,{\delta }_2$ 使得 $|f(x)-A|<\epsilon$ 和 $|g(x)-B|<\epsilon$。令 $\delta =\min \{{\delta }_0,{\delta }_1,{\delta }_2\}$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时：

$$\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{A}{B}\right|<\frac{2(|A|+|B|)}{|B{|}^2}\epsilon .$$

因为 $\frac{2(|A|+|B|)}{|B{|}^2}$ 是常数，所以 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$。

证毕

例子：定理 四则运算 — 例子

§2 连续函数

定理 反函数存在性定理

定理陈述：若函数 $y=f(x),x\in D_f$ 是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数 $x=f^{-1}(y),y\in R_f$，并且 $f^{-1}(y)$ 也是严格单调增加（减少）的。

证明：

我们只证严格单调增加的情形，严格单调减少的情形类似。

第1步：证明 $f$ 是一一映射，从而反函数存在。

• 单射（不同 $x$ 对应不同 $y$）：设 $x_1\ne x_2$，不妨设 $x_1<x_2$。因为 $f$ 严格单调增加，所以 $f(x_1)<f(x_2)$，即 $f(x_1)\ne f(x_2)$。

• 满射到 $R_f$：反函数的定义域就是 $f$ 的值域 $R_f$，所以自然满射。

因此 $f$ 是 $D_f$ 到 $R_f$ 的一一映射，反函数 $f^{-1}:R_f\to D_f$ 存在。

第2步：证明 $f^{-1}$ 也是严格单调增加的。

设 $y_1<y_2$，$y_1,y_2\in R_f$。令 $x_1=f^{-1}(y_1)$，$x_2=f^{-1}(y_2)$，即 $f(x_1)=y_1$，$f(x_2)=y_2$。

假设 $x_1⩾x_2$。因为 $f$ 严格单调增加，$x_1⩾x_2$ 推出 $f(x_1)⩾f(x_2)$，即 $y_1⩾y_2$，与 $y_1<y_2$ 矛盾。

所以 $x_1<x_2$，即 $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2)$，$f^{-1}$ 严格单调增加。

证毕

例子：定理 反函数存在性定理 — 例子

定理 反函数连续性定理

定理陈述：设函数 $y=f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续且严格单调增加，$f(a)=\alpha ,f(b)=\beta$，则它的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 连续且严格单调增加。

证明：

严格单调增加已由定理3.2.1证明。下面证明连续性。

第1步：证明 $f$ 的值域是 $[\alpha ,\beta ]$。

由介值定理（定理3.2.7，我们稍后证明，但这里先使用其结论）：$f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(a)=\alpha$，$f(b)=\beta$，对任意 $\mu \in (\alpha ,\beta )$，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f(\xi )=\mu$。又 $f$ 严格单调增加，所以 $f$ 的值域恰好是 $[\alpha ,\beta ]$。

第2步：证明 $f^{-1}$ 在任意 $y_0\in [\alpha ,\beta ]$ 处连续。

设 $y_0\in [\alpha ,\beta ]$，令 $x_0=f^{-1}(y_0)$，即 $f(x_0)=y_0$。

任给 $\epsilon >0$，我们要找 $\delta >0$，当 $|y-y_0|<\delta$ 时，$|f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)|<\epsilon$，即 $|f^{-1}(y)-x_0|<\epsilon$。

第3步：构造 $\delta$。

令 $x_1=x_0-\epsilon$，$x_2=x_0+\epsilon$（如果 $x_0$ 在端点，只取一侧）。

因为 $f$ 严格单调增加：

• $f(x_1)<f(x_0)=y_0$（当 $x_1⩾a$ 时）
• $f(x_2)>f(x_0)=y_0$（当 $x_2⩽b$ 时）

取 $\delta =\min \{y_0-f(x_1),f(x_2)-y_0\}$（只取存在的那一侧），则 $\delta >0$。

第4步：验证。

当 $|y-y_0|<\delta$ 时，$f(x_1)<y<f(x_2)$。因为 $f^{-1}$ 也严格单调增加，所以 $x_1<f^{-1}(y)<x_2$，即 $x_0-\epsilon <f^{-1}(y)<x_0+\epsilon$，也就是 $|f^{-1}(y)-x_0|<\epsilon$。

因此 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处连续。由 $y_0$ 的任意性，$f^{-1}$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续。

证毕

例子：定理 反函数连续性定理 — 例子

定理 复合函数连续性

定理陈述：若函数 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，函数 $f(u)$ 在点 $u_0=g(x_0)$ 连续，则复合函数 $f\circ g(x)$ 在点 $x_0$ 连续。

证明：

我们要证 ${\lim }_{x\to x_0}f(g(x))=f(g(x_0))=f(u_0)$。

第1步：任给 $\epsilon >0$。

第2步：因为 $f(u)$ 在 $u_0=g(x_0)$ 连续，所以存在 $\eta >0$，当 $|u-u_0|<\eta$ 时，$|f(u)-f(u_0)|<\epsilon$。

第3步：因为 $g(x)$ 在 $x_0$ 连续，对于上面的 $\eta >0$，存在 $\delta >0$，当 $|x-x_0|<\delta$ 时，$|g(x)-g(x_0)|<\eta$，即 $|g(x)-u_0|<\eta$。

第4步：综合：当 $|x-x_0|<\delta$ 时，$|g(x)-u_0|<\eta$，从而 $|f(g(x))-f(u_0)|<\epsilon$。

因此 $f\circ g(x)$ 在 $x_0$ 连续。

证毕

例子：定理 复合函数连续性 — 例子

定理 初等函数连续性

定理陈述：基本初等函数在其定义域内都是连续的；初等函数在其定义区间内都是连续的。

证明思路：

这个定理的证明是一个归纳性的论证，而非单一证明。其逻辑链条如下：

第1步：证明基本初等函数的连续性。

• 常数函数 $f(x)=c$：任给 $\epsilon >0$，取任意 $\delta >0$，$|f(x)-c|=0<\epsilon$。连续。

• 幂函数 $f(x)=x^n$（$n$ 为正整数）：由极限的乘法运算，${\lim }_{x\to x_0}{x}^n=x_0^n$。连续。对一般幂函数 $x^{\alpha }$，可通过指数函数和对数函数表示为 $e^{\alpha \ln x}$，由复合函数连续性得到。

• 指数函数 $f(x)=e^x$：可由定义证明 ${\lim }_{x\to 0}{e}^x=1$，再由 $e^x=e^{x_0}\cdot e^{x-x_0}$ 得到 ${\lim }_{x\to x_0}{e}^x=e^{x_0}$。

• 对数函数 $f(x)=\ln x$：是 $e^x$ 的反函数，由反函数连续性定理得到连续。

• 三角函数：$\sin x$ 和 $\cos x$ 的连续性可由和差化积公式和夹逼定理证明。例如 $|\sin x-\sin x_0|=2|\sin \frac{x-x_0}{2}||\cos \frac{x+x_0}{2}|⩽|x-x_0|$。其余三角函数由四则运算得到。

• 反三角函数：由反函数连续性定理得到。

第2步：初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合得到。由四则运算保持连续性和复合函数保持连续性，初等函数在其定义区间内连续。

证毕

例子：定理 初等函数连续性 — 例子

定理 有界性定理

定理陈述：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则它在 $[a,b]$ 上有界。

证明：

用反证法。假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上无界。

第1步：因为 $f$ 无界，所以对任意正整数 $n$，都存在 $x_n\in [a,b]$ 使得 $|f(x_n)|>n$。

第2步：$\{x_n\}$ 是 $[a,b]$ 中的数列，必有界。由Bolzano-Weierstrass定理，$\{x_n\}$ 有收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，设 $x_{n_k}\to x^{\ast }$。

第3步：因为 $a⩽x_{n_k}⩽b$，取极限得 $a⩽x^{\ast }⩽b$，所以 $x^{\ast }\in [a,b]$。

第4步：因为 $f$ 在 $x^{\ast }$ 处连续，所以 ${\lim }_{k\to \infty }f(x_{n_k})=f(x^{\ast })$。收敛数列必有界，即存在 $M$ 使得 $|f(x_{n_k})|⩽M$ 对所有 $k$ 成立。

第5步：但由构造，$|f(x_{n_k})|>n_k\to \infty$，与 $|f(x_{n_k})|⩽M$ 矛盾！

因此 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

证毕

例子：定理 有界性定理 — 例子

定理 最值定理

定理陈述：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则它在 $[a,b]$ 上必能取到最大值和最小值。

证明：

我们只证 $f$ 能取到最大值，最小值的情形类似。

第1步：由有界性定理，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界，所以 $M=\sup \{f(x)\mid x\in [a,b]\}$ 存在且有限。

第2步：我们要证存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi )=M$。

第3步：由上确界的定义，对任意正整数 $n$，存在 $x_n\in [a,b]$ 使得 $f(x_n)>M-\frac{1}{n}$。

第4步：$\{x_n\}$ 是 $[a,b]$ 中的有界数列。由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，设 $x_{n_k}\to \xi$。因为 $a⩽x_{n_k}⩽b$，所以 $\xi \in [a,b]$。

第5步：因为 $f$ 在 $\xi$ 处连续，$f(\xi )={\lim }_{k\to \infty }f(x_{n_k})$。

第6步：由第3步，$M-\frac{1}{n_k}<f(x_{n_k})⩽M$（因为 $M$ 是上确界）。取极限（$k\to \infty$）：

$$M⩽\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k})⩽M.$$

所以 $f(\xi )=M$，$f$ 在 $\xi$ 处取到最大值。

证毕

例子：定理 最值定理 — 例子

定理 介值定理

定理陈述：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\ne f(b)$，若 $\mu$ 是介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任一实数，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi )=\mu$。

证明：

不妨设 $f(a)<\mu <f(b)$（$f(a)>\mu >f(b)$ 的情形类似，考虑 $-f$ 即可）。

核心想法：用二分法逐步缩小包含 $\mu$ 对应点的区间，最终”夹”出 $\xi$。

第1步：令 $a_0=a$，$b_0=b$。则 $f(a_0)<\mu <f(b_0)$。

第2步：取中点 $c_0=\frac{a_0+b_0}{2}$。检查 $f(c_0)$：

• 若 $f(c_0)=\mu$，则 $\xi =c_0$，证明结束。
• 若 $f(c_0)<\mu$，令 $a_1=c_0$，$b_1=b_0$。此时 $f(a_1)<\mu <f(b_1)$。
• 若 $f(c_0)>\mu$，令 $a_1=a_0$，$b_1=c_0$。此时 $f(a_1)<\mu <f(b_1)$。

第3步：重复这个过程。第 $n$ 步得到 $[a_n,b_n]$，满足：

• $f(a_n)<\mu <f(b_n)$
• $b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\to 0$
• $[a_n,b_n]\subset [a_{n-1},b_{n-1}]$

如果在某一步 $f(c_n)=\mu$，则已找到 $\xi$。否则，我们得到一个闭区间套。

第4步：由闭区间套定理，存在唯一的 $\xi \in [a_n,b_n]$ 对所有 $n$ 成立，且 $a_n\to \xi$，$b_n\to \xi$。

第5步：因为 $f$ 连续，$f(\xi )={\lim }_{n\to \infty }f(a_n)$。而 $f(a_n)<\mu$ 对所有 $n$ 成立，取极限得 $f(\xi )⩽\mu$。

同理，$f(\xi )={\lim }_{n\to \infty }f(b_n)$，而 $f(b_n)>\mu$ 对所有 $n$ 成立，取极限得 $f(\xi )⩾\mu$。

因此 $f(\xi )=\mu$。

第6步：因为 $a<a_n⩽\xi ⩽b_n<b$（对 $n⩾1$），所以 $\xi \in (a,b)$。

证毕

推论（零点存在定理）：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi )=0$。

推论的证明：$f(a)$ 与 $f(b)$ 异号意味着 $0$ 介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间。取 $\mu =0$，由介值定理即得。

例子：定理 介值定理 — 例子

定理 一致连续性

定理陈述：函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续的充分必要条件是：对于 $I$ 上任意两个数列 $\{x_n\}$ 和 $\{x_n^{\prime }\}$，只要 ${\lim }_{n\to \infty }(x_n-x_n^{\prime })=0$，就有 ${\lim }_{n\to \infty }(f(x_n)-f(x_n^{\prime }))=0$。

证明：

必要性（一致连续 $\Rightarrow$ 数列条件）：

设 $f$ 在 $I$ 上一致连续。任给 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，对任意 $x,x^{\prime }\in I$，当 $|x-x^{\prime }|<\delta$ 时，$|f(x)-f(x^{\prime })|<\epsilon$。

因为 $x_n-x_n^{\prime }\to 0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时 $|x_n-x_n^{\prime }|<\delta$，从而 $|f(x_n)-f(x_n^{\prime })|<\epsilon$。

所以 $f(x_n)-f(x_n^{\prime })\to 0$。

充分性（数列条件 $\Rightarrow$ 一致连续）：

用反证法（证逆否命题）。假设 $f$ 在 $I$ 上不一致连续，即存在 ${\epsilon }_0>0$，对任意 $\delta >0$，都存在 $x,x^{\prime }\in I$ 使得 $|x-x^{\prime }|<\delta$ 但 $|f(x)-f(x^{\prime })|⩾{\epsilon }_0$。

第1步：取 $\delta =\frac{1}{n}$，则存在 $x_n,x_n^{\prime }\in I$ 使得 $|x_n-x_n^{\prime }|<\frac{1}{n}$ 但 $|f(x_n)-f(x_n^{\prime })|⩾{\epsilon }_0$。

第2步：$|x_n-x_n^{\prime }|<\frac{1}{n}\to 0$，即 $x_n-x_n^{\prime }\to 0$。

第3步：但 $|f(x_n)-f(x_n^{\prime })|⩾{\epsilon }_0>0$，所以 $f(x_n)-f(x_n^{\prime })\nrightarrow 0$。

这与数列条件矛盾。因此 $f$ 在 $I$ 上一致连续。

证毕

例子：定理 一致连续性 — 例子

定理 Cantor定理

定理陈述：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则它在 $[a,b]$ 上一致连续。

证明：

用反证法。假设 $f$ 在 $[a,b]$ 上不一致连续，即存在 ${\epsilon }_0>0$，对任意 $\delta >0$，都存在 $x,x^{\prime }\in [a,b]$ 使得 $|x-x^{\prime }|<\delta$ 但 $|f(x)-f(x^{\prime })|⩾{\epsilon }_0$。

第1步：取 $\delta =\frac{1}{n}$，则存在 $x_n,x_n^{\prime }\in [a,b]$ 使得 $|x_n-x_n^{\prime }|<\frac{1}{n}$ 但 $|f(x_n)-f(x_n^{\prime })|⩾{\epsilon }_0$。

第2步：$\{x_n\}$ 是 $[a,b]$ 中的有界数列。由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，设 $x_{n_k}\to \xi \in [a,b]$。

第3步：因为 $|x_{n_k}-x_{n_k}^{\prime }|<\frac{1}{n_k}\to 0$，所以 $x_{n_k}^{\prime }=x_{n_k}-(x_{n_k}-x_{n_k}^{\prime })\to \xi -0=\xi$。

第4步：因为 $f$ 在 $\xi$ 处连续，所以 $f(x_{n_k})\to f(\xi )$ 且 $f(x_{n_k}^{\prime })\to f(\xi )$。因此 $f(x_{n_k})-f(x_{n_k}^{\prime })\to f(\xi )-f(\xi )=0$。

第5步：但 $|f(x_{n_k})-f(x_{n_k}^{\prime })|⩾{\epsilon }_0>0$，与 $f(x_{n_k})-f(x_{n_k}^{\prime })\to 0$ 矛盾！

因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。

证毕

意义：Cantor定理告诉我们，闭区间上的连续函数自动具有一致连续性这一更强的性质。开区间上的连续函数则不一定一致连续（例如 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上连续但不一致连续）。

例子：定理 Cantor定理 — 例子

§3 无穷小量与无穷大的阶

定理 等价无穷小代换

定理陈述：设 $u(x),v(x)$ 和 $w(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域 $U$ 上有定义，且 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{v(x)}{w(x)}=1$（即 $v(x)\sim w(x)(x\to x_0)$，即 $v(x)$ 与 $w(x)$ 是等价无穷小），那么：

1. 当 ${\lim }_{x\to x_0}u(x)w(x)=A$ 时，${\lim }_{x\to x_0}u(x)v(x)=A$
2. 当 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{u(x)}{w(x)}=A$ 时，${\lim }_{x\to x_0}\frac{u(x)}{v(x)}=A$

证明：

核心想法：$v(x)$ 和 $w(x)$ 是等价无穷小（或等价无穷大），它们的比值趋向1，所以在乘法和除法中可以互相替换。

证明(1)：

$$u(x)v(x)=u(x)w(x)\cdot \frac{v(x)}{w(x)}.$$

由条件，${\lim }_{x\to x_0}u(x)w(x)=A$，${\lim }_{x\to x_0}\frac{v(x)}{w(x)}=1$。

由极限的乘法运算：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }u(x)v(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left[u(x)w(x)\cdot \frac{v(x)}{w(x)}\right]=A\cdot 1=A.$$

证明(2)：

$$\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{u(x)}{w(x)}\cdot \frac{w(x)}{v(x)}.$$

由条件，${\lim }_{x\to x_0}\frac{u(x)}{w(x)}=A$。而 $\frac{w(x)}{v(x)}=\frac{1}{v(x)/w(x)}$，因为 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{v(x)}{w(x)}=1\ne 0$，由极限的除法运算：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{w(x)}{v(x)}=\frac{1}{1}=1.$$

由极限的乘法运算：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u(x)}{v(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\left[\frac{u(x)}{w(x)}\cdot \frac{w(x)}{v(x)}\right]=A\cdot 1=A.$$

证毕

注意：等价无穷小代换只适用于乘法和除法，不适用于加法和减法。例如，当 $x\to 0$ 时 $\sin x\sim x$，$\tan x\sim x$，但 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{2}$，不能将 $\tan x$ 和 $\sin x$ 都替换为 $x$（那样会得到极限为0的错误结果）。

例子：定理 等价无穷小代换 — 例子

相关链接

• 数学分析 定理索引
• 第二章 数列极限
• 第四章 微分

来源引用

• [数学分析 陈纪修 第三版 上](raw/数学分析 陈纪修 第三版 上/full.md)