第十章 函数项级数 — 例子

定义 函数序列的逐点收敛 — 例子

例1：$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛于 $f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0⩽x<1\\ 1,& x=1\end{array}$。对每个固定的 $x\in [0,1)$，${\lim }_{n\to \infty }{x}^n=0$。

定义：定义 函数序列的逐点收敛

定义 函数序列的一致收敛 — 例子

例1：$f_n(x)=\frac{x}{1+nx}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于0：${\sup }_{x\in [0,1]}|f_n(x)|=\frac{1}{1+n}\cdot \sup x⩽\frac{1}{n}\to 0$（实际上 $\sup =f_n(1)=\frac{1}{1+n}\to 0$）。

例2：$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1)$ 上不一致收敛于0：${\sup }_{x\in [0,1)}{x}^n=1$（不趋于0）。

定义：定义 函数序列的一致收敛

定义 函数项级数 — 例子

例1：${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+\cdots$ 是函数项级数，收敛域为 $(-1,1)$，和函数为 $\frac{1}{1-x}$。

定义：定义 函数项级数

定义 函数项级数的一致收敛 — 例子

例1：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^2}$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致收敛（Weierstrass判别法：$\left|\frac{\sin nx}{n^2}\right|⩽\frac{1}{n^2}$，$\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛）。

定义：定义 函数项级数的一致收敛

定义 幂级数 — 例子

例1：${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=e^x$ 是幂级数，收敛域 $(-\infty ,+\infty )$。

例2：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ 是幂级数，收敛域 $[-1,1)$。

定义：定义 幂级数

定义 幂级数的收敛半径 — 例子

例1：$\sum x^n$，$a_n=1$，$R=\lim \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=1$，收敛半径为1。

例2：$\sum \frac{x^n}{n!}$，$R=\lim \frac{(n+1)!}{n!}=+\infty$，收敛半径为 $+\infty$。

定义：定义 幂级数的收敛半径

定义 Taylor级数 — 例子

例1：$e^x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$（$x\in \mathbf{R}$）。

例2：$\ln (1+x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^n}{n}$（$x\in (-1,1]$）。

定义：定义 Taylor级数

定理 一致收敛的ε-N定义 — 例子

例1：$f_n(x)=\frac{\sin nx}{n}$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致收敛于0：${\sup }_x|\frac{\sin nx}{n}|=\frac{1}{n}\to 0$。

例2：$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1)$ 上不一致收敛：${\sup }_{x\in [0,1)}|x^n|=1\nrightarrow 0$。

定理：定理 一致收敛的ε-N定义

定理 一致收敛的序列刻画 — 例子

例1：$f_n(x)=\frac{x}{1+nx}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于0：${\sup }_{x\in [0,1]}\frac{x}{1+nx}=\frac{1}{1+n}\to 0$。

定理：定理 一致收敛的序列刻画

定理 函数项级数一致收敛的Cauchy收敛原理 — 例子

例1：验证 $\sum \frac{\sin nx}{n^2}$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致收敛：$|{\sum }_{k=n+1}^m\frac{\sin kx}{k^2}|⩽{\sum }_{k=n+1}^m\frac{1}{k^2}\to 0$（$n\to \infty$）。

定理：定理 函数项级数一致收敛的Cauchy收敛原理

定理 Weierstrass判别法 — 例子

例1：$\sum \frac{\cos nx}{n^2}$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致收敛：$|\frac{\cos nx}{n^2}|⩽\frac{1}{n^2}$，$\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛。

例2：$\sum \frac{x^n}{n^2}$ 在 $[-1,1]$ 上一致收敛：$|\frac{x^n}{n^2}|⩽\frac{1}{n^2}$。

定理：定理 Weierstrass判别法

定理 Abel-Dirichlet判别法 — 例子

例1（Dirichlet判别法）：$\sum \frac{\sin nx}{n}$ 在 $[\delta ,2\pi -\delta ]$ 上一致收敛（$\delta >0$）。${\sum }_{k=1}^n\sin kx$ 一致有界，$\frac{1}{n}$ 单调一致趋于0。

定理：定理 Abel-Dirichlet判别法

定理 连续性定理 — 例子

例1：$\sum \frac{\sin nx}{n^2}$ 的和函数在 $\mathbf{R}$ 上连续（每项连续且一致收敛）。

例2：$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛但不一致收敛，极限函数不连续（在 $x=1$ 处跳跃）。

定理：定理 连续性定理

定理 逐项积分定理 — 例子

例1：${\int }_0^1{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n^2}dx={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}{\int }_0^1{x}^{n}dx={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2(n+1)}$。

定理：定理 逐项积分定理

定理 逐项求导定理 — 例子

例1：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ 在 $(-1,1)$ 上可逐项求导：$(\sum \frac{x^n}{n}{)}^{\prime }=\sum x^{n-1}=\frac{1}{1-x}$。

定理：定理 逐项求导定理

定理 Dini定理 — 例子

例1：$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,a]$（$a<1$）上单调递减趋于0，$[0,a]$ 紧致，由Dini定理一致收敛。

定理：定理 Dini定理

定理 Cauchy-Hadamard定理 — 例子

例1：$\sum \frac{x^n}{n}$，$\sqrt[n]{\frac{1}{n}}\to 1$，收敛半径 $R=1$。

例2：$\sum n!x^n$，$\sqrt[n]{n!}\to +\infty$，收敛半径 $R=0$。

定理：定理 Cauchy-Hadamard定理

定理 d’Alembert判别法 — 例子

例1：$\sum \frac{x^n}{n!}$，$\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\to +\infty$，$R=+\infty$（d’Alembert判别法）。

定理：定理 d’Alembert判别法

定理 Abel第二定理 — 例子

例1：$\sum \frac{(-1{)}^n{x}^n}{n}$ 在 $x=1$ 处条件收敛，由Abel第二定理，$\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ 收敛且和 $={\lim }_{x\to 1^{-}}\sum \frac{(-1{)}^n{x}^n}{n}=\ln 2$。

定理：定理 Abel第二定理

定理 幂级数的连续性 — 例子

例1：$e^x=\sum \frac{x^n}{n!}$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续（幂级数在收敛域内连续）。

定理：定理 幂级数的连续性

定理 幂级数的逐项积分 — 例子

例1：${\int }_0^x{e}^{t}dt={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$，即 $e^x-1={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ ✓

定理：定理 幂级数的逐项积分

定理 幂级数的逐项求导 — 例子

例1：$(e^x{)}^{\prime }={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n{x}^{n-1}}{n!}={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=e^x$ ✓

定理：定理 幂级数的逐项求导

定理 Taylor级数展开 — 例子

例1：$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$（$x\in \mathbf{R}$），余项 $R_n(x)\to 0$（Taylor级数展开定理）。

例2：$\frac{1}{1-x}={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n$（$|x|<1$），收敛半径 $R=1$。

定理：定理 Taylor级数展开

定理 Weierstrass第一逼近定理 — 例子

例1：$f(x)=|x|$ 在 $[-1,1]$ 上连续，可用多项式一致逼近。例如 $P_n(x)={\sum }_{k=0}^n{a}_k{x}^{2k}$ 逼近。

定理：定理 Weierstrass第一逼近定理