第二章 数列极限

本章包含数列极限相关的基础定理，是数学分析的核心内容之一。

§1 实数系的连续性

定义2.1.1 上界与下界

设 $S$ 是一个非空实数集。若存在实数 $M$，使得对一切 $x\in S$，都有 $x⩽M$，则称 $M$ 为 $S$ 的一个上界，并称 $S$ 有上界。若存在实数 $m$，使得对一切 $x\in S$，都有 $x⩾m$，则称 $m$ 为 $S$ 的一个下界，并称 $S$ 有下界。若 $S$ 既有上界又有下界，则称 $S$ 有界。

例子：定义2.1.1 上界与下界 — 例子

定义2.1.2 上确界与下确界

设 $S$ 是非空实数集。若存在实数 $\beta$ 满足： （1）对一切 $x\in S$，有 $x⩽\beta$（即 $\beta$ 是 $S$ 的上界）； （2）对任意给定的 $\epsilon >0$，存在 $x\in S$，使得 $x>\beta -\epsilon$（即比 $\beta$ 小的数都不是 $S$ 的上界）， 则称 $\beta$ 为 $S$ 的上确界，记为 $\beta =\sup S$。

类似地，若存在实数 $\alpha$ 满足： （1）对一切 $x\in S$，有 $x⩾\alpha$； （2）对任意给定的 $\epsilon >0$，存在 $x\in S$，使得 $x<\alpha +\epsilon$， 则称 $\alpha$ 为 $S$ 的下确界，记为 $\alpha =\inf S$。

例子：定义2.1.2 上确界与下确界 — 例子

定义2.2.1 数列极限

设 $\{x_n\}$ 是一给定数列，$a$ 是一个实常数。如果对于任意给定的 $\epsilon >0$，可以找到正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，成立

$$|x_n-a|<\epsilon ,$$

则称数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，记为 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$。若不存在这样的 $a$，则称 $\{x_n\}$ 发散。

例子：定义2.2.1 数列极限 — 例子

定义2.3.1 无穷大量

若对于任意给定的 $G>0$，可以找到正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时成立

$$|x_n|>G,$$

则称数列 $\{x_n\}$ 是无穷大量（或称 $\{x_n\}$ 发散到 $\infty$），记为 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=\infty$。

类似可定义 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=+\infty$ 和 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=-\infty$。

例子：定义2.3.1 无穷大量 — 例子

定义2.3.2 无穷小量

如果 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=0$，则称 $\{x_n\}$ 为无穷小量。

例子：定义2.3.2 无穷小量 — 例子

定义2.4.1 闭区间套

如果一列闭区间 $\{[a_n,b_n]\}$ 满足条件： （1）$[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]$，即 $a_n⩽a_{n+1}<b_{n+1}⩽b_n$（$n=1,2,3,\dots$）； （2）${\lim }_{n\to \infty }(b_n-a_n)=0$， 则称 $\{[a_n,b_n]\}$ 是一个闭区间套。

例子：定义2.4.1 闭区间套 — 例子

定义2.4.2 子列

设 $\{x_n\}$ 是一个数列，而

$$n_1<n_2<n_3<\cdots <n_k<\cdots$$

是一列严格递增的正整数，则称 $\{x_{n_k}\}$ 为 $\{x_n\}$ 的一个子列。

例子：定义2.4.2 子列 — 例子

定义2.4.3 基本数列（Cauchy数列）

如果数列 $\{x_n\}$ 具有以下特性：对于任意给定的 $\epsilon >0$，存在正整数 $N$，使得当 $m,n>N$ 时成立

$$|x_m-x_n|<\epsilon ,$$

则称 $\{x_n\}$ 为基本数列（或 Cauchy数列）。

例子：定义2.4.3 基本数列（Cauchy数列） — 例子

定义2.4.4 单调数列

如果数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_n⩽x_{n+1}$（$n=1,2,3,\dots$），则称 $\{x_n\}$ 为单调增加数列；如果满足 $x_n⩾x_{n+1}$，则称 $\{x_n\}$ 为单调减少数列。两者统称单调数列。

例子：定义2.4.4 单调数列 — 例子

定理2.1.1 确界存在定理（实数系连续性定理）

定理陈述：非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界。

证明：

我们只证”非空有上界的数集必有上确界”，下确界的情形完全类似。

设 $S$ 是非空实数集，且有上界。我们需要构造一个实数 $\beta$，然后验证 $\beta$ 满足上确界的两个条件。

核心想法：每个实数都可以写成无限小数。我们从整数位开始，逐位确定上确界的每一位数字——每一步都取”尽可能大”的那一位。

第一步：确定整数位

$S$ 有上界，所以 $S$ 中元素的整数部分不可能无限大。因此 $S$ 中元素的整数部分存在最大值，记为 ${\alpha }_0$。

令 $S_0=\{x\in S\mid x\text{ 的整数部分等于 }{\alpha }_0\}$，则 $S_0$ 非空。

第二步：确定第1位小数

$S_0$ 中元素的第1位小数只能取 $0,1,\dots ,9$ 这10个值，其中必有最大值，记为 ${\alpha }_1$。

令 $S_1=\{x\in S_0\mid x\text{ 的第1位小数等于 }{\alpha }_1\}$，则 $S_1$ 非空。

第三步：确定第 $n$ 位小数

一般地，假设已确定前 $n-1$ 位并得到非空集合 $S_{n-1}$。$S_{n-1}$ 中元素的第 $n$ 位小数必存在最大值，记为 ${\alpha }_n$。

令 $S_n=\{x\in S_{n-1}\mid x\text{ 的第 }n\text{ 位小数等于 }{\alpha }_n\}$，则 $S_n$ 非空。

这样得到嵌套的集合序列 $S\supset S_0\supset S_1\supset \cdots$，每个 $S_n$ 都非空。

第四步：构造 $\beta$

令

$$\beta ={\alpha }_0+0.{\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n\cdots$$

第五步：验证 $\beta$ 是 $S$ 的上界

任取 $x\in S$，要证 $x⩽\beta$。

• 情况一：存在某个 $n_0$ 使得 $x\notin S_{n_0}$。这说明 $x$ 在第 $n_0$ 位”被淘汰”了。被淘汰意味着 $x$ 的前 $n_0-1$ 位与 $\beta$ 相同，但第 $n_0$ 位小于 ${\alpha }_{n_0}$（即小于 $\beta$ 的第 $n_0$ 位），所以 $x<\beta$。

• 情况二：$x\in S_n$ 对所有 $n$ 都成立。这说明 $x$ 和 $\beta$ 的每一位都相同，所以 $x=\beta$。

两种情况都有 $x⩽\beta$，因此 $\beta$ 是 $S$ 的上界。

第六步：验证 $\beta$ 是最小上界

要证：任给 $\epsilon >0$，存在 $x_0\in S$ 使得 $x_0>\beta -\epsilon$。

取 $n_0$ 足够大使得 $\frac{1}{10^{n_0}}<\epsilon$（这总是可以做到的，因为 $\frac{1}{10^n}\to 0$）。

因为 $S_{n_0}$ 非空，取 $x_0\in S_{n_0}$。$x_0$ 和 $\beta$ 的整数部分及前 $n_0$ 位小数完全相同，所以

$$\beta -x_0⩽\frac{1}{10^{n_0}}<\epsilon ,$$

即 $x_0>\beta -\epsilon$。

这说明比 $\beta$ 小的数都不是 $S$ 的上界。

结论：$\beta$ 是 $S$ 的上界，且比 $\beta$ 小的数都不是上界，所以 $\beta =\sup S$。

证毕

意义：此定理反映了实数系连续性这一基本性质。假若实数全体不能布满整条数轴而是留有”空隙”，则”空隙”左边的数集就没有上确界。

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例子：定理2.1.1 确界存在定理（实数系连续性定理） — 例子

定理2.1.2 确界惟一性

定理陈述：非空有界数集的上（下）确界是惟一的。

证明：

设 $S$ 是非空有界数集。假设 $S$ 有两个上确界 ${\beta }_1$ 和 ${\beta }_2$，且 ${\beta }_1\ne {\beta }_2$。

不妨设 ${\beta }_1<{\beta }_2$。

• 因为 ${\beta }_1$ 是 $S$ 的上确界（即最小上界），而 ${\beta }_2$ 也是 $S$ 的上界，所以 ${\beta }_1⩽{\beta }_2$。这与 ${\beta }_1<{\beta }_2$ 不矛盾。

• 但因为 ${\beta }_2$ 也是 $S$ 的上确界（即最小上界），而 ${\beta }_1<{\beta }_2$ 也是 $S$ 的上界，这就与 ${\beta }_2$ 是”最小”上界矛盾了。

所以 ${\beta }_1={\beta }_2$，上确界惟一。下确界的情形同理。

证毕

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例子：定理2.1.2 确界惟一性 — 例子

§2 数列极限

定理2.2.1 极限惟一性

定理陈述：收敛数列的极限必惟一。

证明：

假设数列 $\{x_n\}$ 同时收敛于 $a$ 和 $b$，且 $a\ne b$。我们来推出矛盾。

第1步：因为 $a\ne b$，所以 $|a-b|>0$。令 $\epsilon =\frac{|a-b|}{2}>0$。

第2步：由 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，存在 $N_1$，当 $n>N_1$ 时，$|x_n-a|<\epsilon$。

第3步：由 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=b$，存在 $N_2$，当 $n>N_2$ 时，$|x_n-b|<\epsilon$。

第4步：取 $N=\max \{N_1,N_2\}$，当 $n>N$ 时，两个不等式同时成立。由三角不等式：

$$|a-b|=|(a-x_n)+(x_n-b)|⩽|x_n-a|+|x_n-b|<\epsilon +\epsilon =2\epsilon =|a-b|.$$

这得到 $|a-b|<|a-b|$，矛盾！

因此 $a=b$，极限惟一。

证毕

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例子：定理2.2.1 极限惟一性 — 例子

定理2.2.2 收敛数列有界性

定理陈述：收敛数列必有界。

证明：

设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$。

第1步：取 $\epsilon =1$。由极限定义，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$|x_n-a|<1$。

第2步：$|x_n-a|<1$ 意味着 $a-1<x_n<a+1$。所以当 $n>N$ 时，$x_n$ 被夹在 $a-1$ 和 $a+1$ 之间。

第3步：前 $N$ 项 $x_1,x_2,\dots ,x_N$ 只有有限个，它们自然有最大值和最小值。令

$$M=\max \{x_1,x_2,\dots ,x_N,a+1\},m=\min \{x_1,x_2,\dots ,x_N,a-1\}.$$

第4步：验证 $m⩽x_n⩽M$ 对所有 $n$ 成立：

• 若 $n⩽N$：$x_n$ 在前 $N$ 项中，而 $M$ 至少是前 $N$ 项的最大值，$m$ 至多是前 $N$ 项的最小值，所以 $m⩽x_n⩽M$。
• 若 $n>N$：$a-1⩽x_n⩽a+1$，而 $m⩽a-1$，$M⩾a+1$，所以也有 $m⩽x_n⩽M$。

因此 $\{x_n\}$ 有界。

证毕

注意：逆命题不成立。例如 $x_n=(-1{)}^n$，满足 $-1⩽x_n⩽1$（有界），但不收敛。

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例子：定理2.2.2 收敛数列有界性 — 例子

定理2.2.3 保序性

定理陈述：设数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 均收敛，若 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a,{\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b$，且 $a<b$，则存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，成立 $x_n<y_n$。

证明：

核心想法：$a$ 和 $b$ 之间有距离 $b-a>0$，取中点 $c=\frac{a+b}{2}$。当 $n$ 足够大时，$x_n$ 离 $a$ 很近（不会超过 $c$），$y_n$ 离 $b$ 很近（不会低于 $c$），于是 $x_n<c<y_n$。

第1步：令 $\epsilon =\frac{b-a}{2}>0$（$a$ 和 $b$ 之间距离的一半）。

第2步：由 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，存在 $N_1$，当 $n>N_1$ 时，$|x_n-a|<\epsilon$，即

$$x_n<a+\epsilon =a+\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}.$$

第3步：由 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b$，存在 $N_2$，当 $n>N_2$ 时，$|y_n-b|<\epsilon$，即

$$y_n>b-\epsilon =b-\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}.$$

第4步：取 $N=\max \{N_1,N_2\}$，当 $n>N$ 时：

$$x_n<\frac{a+b}{2}<y_n.$$

因此 $x_n<y_n$。

证毕

推论1：若 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b>0$，则存在 $N$，当 $n>N$ 时，$y_n>\frac{b}{2}>0$。

推论1的证明：取 $x_n=0$（恒为零的数列），则 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=0<b$。由保序性，当 $n$ 足够大时 $0=x_n<y_n$。再由 $y_n\to b$，取 $\epsilon =\frac{b}{2}$，当 $n$ 足够大时 $y_n>b-\frac{b}{2}=\frac{b}{2}$。

推论2：若 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b<0$，则存在 $N$，当 $n>N$ 时，$y_n<\frac{b}{2}<0$。

推论2的证明：对 $-y_n$ 应用推论1即可（$-y_n\to -b>0$）。

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例子：定理2.2.3 保序性 — 例子

定理2.2.4 夹逼定理

定理陈述：若三个数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ 从某项开始成立

$$x_n⩽y_n⩽z_n,n>N_0,$$

且 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n={\lim }_{n\to \infty }{z}_n=a$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=a$。

证明：

核心想法：$y_n$ 被 $x_n$ 和 $z_n$ 夹在中间，而 $x_n$ 和 $z_n$ 都趋向 $a$，所以 $y_n$ 也被”挤”向 $a$。

第1步：任给 $\epsilon >0$。

第2步：由 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，存在 $N_1$，当 $n>N_1$ 时，$|x_n-a|<\epsilon$，即 $a-\epsilon <x_n$。

第3步：由 ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=a$，存在 $N_2$，当 $n>N_2$ 时，$|z_n-a|<\epsilon$，即 $z_n<a+\epsilon$。

第4步：取 $N=\max \{N_0,N_1,N_2\}$，当 $n>N$ 时，三个条件同时成立：

$$a-\epsilon <x_n⩽y_n⩽z_n<a+\epsilon .$$

第5步：上式即 $a-\epsilon <y_n<a+\epsilon$，也就是 $|y_n-a|<\epsilon$。

由 $\epsilon$ 的任意性，${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=a$。

证毕

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例子：定理2.2.4 夹逼定理 — 例子

定理2.2.5 四则运算

定理陈述：设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a,{\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b$，则

1. ${\lim }_{n\to \infty }(\alpha x_n+\beta y_n)=\alpha a+\beta b$（$\alpha ,\beta$ 是常数）
2. ${\lim }_{n\to \infty }(x_n{y}_n)=ab$
3. ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{x_n}{y_n}\right)=\frac{a}{b}$（$b\ne 0$）

证明(1) 线性运算：

任给 $\epsilon >0$。

由 $x_n\to a$，存在 $N_1$，当 $n>N_1$ 时，$|x_n-a|<\epsilon$。

由 $y_n\to b$，存在 $N_2$，当 $n>N_2$ 时，$|y_n-b|<\epsilon$。

取 $N=\max \{N_1,N_2\}$，当 $n>N$ 时：

$$|(\alpha x_n+\beta y_n)-(\alpha a+\beta b)|=|\alpha (x_n-a)+\beta (y_n-b)|⩽|\alpha |\cdot |x_n-a|+|\beta |\cdot |y_n-b|<(|\alpha |+|\beta |)\epsilon .$$

因为 $(|\alpha |+|\beta |)$ 是常数，$(|\alpha |+|\beta |)\epsilon$ 可以任意小，所以 ${\lim }_{n\to \infty }(\alpha x_n+\beta y_n)=\alpha a+\beta b$。

注：严格来说，如果一开始取 ${\epsilon }^{\prime }=\frac{\epsilon }{|\alpha |+|\beta |+1}$（分母加1是为了避免 $|\alpha |+|\beta |=0$），则最终得到的结果 $<\epsilon$。这种”先放大常数倍，再调整 $\epsilon$“的技巧在极限证明中非常常用。

证明(2) 乘法：

第1步：由定理2.2.2，$\{x_n\}$ 收敛所以有界，即存在 $X>0$ 使得 $|x_n|⩽X$ 对所有 $n$ 成立。

第2步：关键技巧——“加一项减一项”：

$$|x_n{y}_n-ab|=|x_n{y}_n-x_{n}b+x_{n}b-ab|=|x_n(y_n-b)+b(x_n-a)|⩽|x_n|\cdot |y_n-b|+|b|\cdot |x_n-a|.$$

第3步：任给 $\epsilon >0$。由 $y_n\to b$，存在 $N_1$，当 $n>N_1$ 时，$|y_n-b|<\epsilon$。由 $x_n\to a$，存在 $N_2$，当 $n>N_2$ 时，$|x_n-a|<\epsilon$。

第4步：取 $N=\max \{N_1,N_2\}$，当 $n>N$ 时：

$$|x_n{y}_n-ab|⩽X\cdot \epsilon +|b|\cdot \epsilon =(X+|b|)\epsilon .$$

因为 $(X+|b|)$ 是常数，所以 ${\lim }_{n\to \infty }(x_n{y}_n)=ab$。

证明(3) 除法：

第1步：因为 $b\ne 0$，由定理2.2.3的推论1，存在 $N_0$，当 $n>N_0$ 时，$|y_n|>\frac{|b|}{2}>0$。所以 $y_n\ne 0$，除法 $\frac{x_n}{y_n}$ 有意义。

第2步：关键技巧——通分：

$$\left|\frac{x_n}{y_n}-\frac{a}{b}\right|=\left|\frac{b{x}_n-a{y}_n}{y_{n}b}\right|=\left|\frac{b(x_n-a)-a(y_n-b)}{y_{n}b}\right|⩽\frac{|b|\cdot |x_n-a|+|a|\cdot |y_n-b|}{|y_n|\cdot |b|}.$$

第3步：当 $n>N_0$ 时，$|y_n|>\frac{|b|}{2}$，所以 $\frac{1}{|y_n|}<\frac{2}{|b|}$。代入上式：

$$\left|\frac{x_n}{y_n}-\frac{a}{b}\right|<\frac{2}{|b{|}^2}\left(|b|\cdot |x_n-a|+|a|\cdot |y_n-b|\right).$$

第4步：任给 $\epsilon >0$，取 $N_1,N_2$ 使得 $n>N_1$ 时 $|x_n-a|<\epsilon$，$n>N_2$ 时 $|y_n-b|<\epsilon$。令 $N=\max \{N_0,N_1,N_2\}$，当 $n>N$ 时：

$$\left|\frac{x_n}{y_n}-\frac{a}{b}\right|<\frac{2}{|b{|}^2}(|b|+|a|)\epsilon =\frac{2(|a|+|b|)}{|b{|}^2}\epsilon .$$

因为 $\frac{2(|a|+|b|)}{|b{|}^2}$ 是常数，所以 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}$。

证毕

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例子：定理2.2.5 四则运算 — 例子

§3 无穷大量与无穷小量

定理2.3.1 无穷大量与无穷小量的关系

定理陈述：设 $x_n\ne 0$，则 $\{x_n\}$ 是无穷大量的充分必要条件是 $\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ 是无穷小量。

证明：

必要性（$\{x_n\}$ 是无穷大量 $\Rightarrow$ $\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ 是无穷小量）：

任给 $\epsilon >0$。令 $G=\frac{1}{\epsilon }>0$。

因为 $\{x_n\}$ 是无穷大量，所以存在 $N$，当 $n>N$ 时，$|x_n|>G=\frac{1}{\epsilon }$。

取倒数（$|x_n|>0$，取倒数后不等号反转）：

$$\left|\frac{1}{x_n}\right|=\frac{1}{|x_n|}<\epsilon .$$

所以 $\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ 是无穷小量。

充分性（$\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ 是无穷小量 $\Rightarrow$ $\{x_n\}$ 是无穷大量）：

任给 $G>0$。令 $\epsilon =\frac{1}{G}>0$。

因为 $\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ 是无穷小量，所以存在 $N$，当 $n>N$ 时，$\left|\frac{1}{x_n}\right|<\epsilon =\frac{1}{G}$。

取倒数（$x_n\ne 0$，所以 $\frac{1}{x_n}\ne 0$，可以取倒数）：

$$|x_n|=\frac{1}{\left|\frac{1}{x_n}\right|}>G.$$

所以 $\{x_n\}$ 是无穷大量。

证毕

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例子：定理2.3.1 无穷大量与无穷小量的关系 — 例子

定理2.3.2 无穷大量的乘积

定理陈述：设 $\{x_n\}$ 是无穷大量，若当 $n>N_0$ 时，$|y_n|⩾\delta >0$ 成立，则 $\{x_n{y}_n\}$ 是无穷大量。

证明：

核心想法：$|x_n|$ 可以任意大，而 $|y_n|$ 始终不低于 $\delta >0$，所以 $|x_n{y}_n|=|x_n|\cdot |y_n|⩾\delta |x_n|$ 也可以任意大。

任给 $G>0$。令 $G^{\prime }=\frac{G}{\delta }>0$。

因为 $\{x_n\}$ 是无穷大量，存在 $N_1$，当 $n>N_1$ 时，$|x_n|>G^{\prime }$。

取 $N=\max \{N_0,N_1\}$，当 $n>N$ 时：

$$|x_n{y}_n|=|x_n|\cdot |y_n|⩾|x_n|\cdot \delta >G^{\prime }\cdot \delta =G.$$

所以 $\{x_n{y}_n\}$ 是无穷大量。

证毕

推论：设 $\{x_n\}$ 是无穷大量，${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b\ne 0$，则 $\{x_n{y}_n\}$ 和 $\left\{\frac{x_n}{y_n}\right\}$ 都是无穷大量。

推论的证明：由 $y_n\to b\ne 0$ 及定理2.2.3的推论1，当 $n$ 足够大时 $|y_n|>\frac{|b|}{2}>0$。取 $\delta =\frac{|b|}{2}$，由定理2.3.2知 $\{x_n{y}_n\}$ 是无穷大量。

对 $\frac{x_n}{y_n}$：由 $y_n\to b\ne 0$ 及四则运算，$\frac{1}{y_n}\to \frac{1}{b}$，所以 $\frac{1}{y_n}$ 收敛，从而有界。设 $\left|\frac{1}{y_n}\right|⩽M$。但我们需要的是 $|y_n|$ 有正下界——事实上当 $n$ 足够大时 $\left|\frac{1}{y_n}\right|<\frac{2}{|b|}$，取倒数得 $|y_n|>\frac{|b|}{2}$，因此 $\left|\frac{x_n}{y_n}\right|=|x_n|\cdot \left|\frac{1}{y_n}\right|$。因为 $\frac{1}{y_n}\to \frac{1}{b}\ne 0$，由定理2.2.3的推论1，当 $n$ 足够大时 $\left|\frac{1}{y_n}\right|>\frac{1}{2|b|}>0$。取 ${\delta }^{\prime }=\frac{1}{2|b|}$，由定理2.3.2（将 $\frac{1}{y_n}$ 视为 $y_n$ 的角色），$\left\{x_n\cdot \frac{1}{y_n}\right\}=\left\{\frac{x_n}{y_n}\right\}$ 是无穷大量。

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例子：定理2.3.2 无穷大量的乘积 — 例子

定理2.3.3 Stolz定理

定理陈述：设 $\{y_n\}$ 是严格单调增加的正无穷大量，且

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=a(a\text{ 可以为有限量、}+\infty \text{ 与 }-\infty ),$$

则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=a.$$

证明（仅证 $a$ 为有限数的情形）：

核心想法：把 $\frac{x_n}{y_n}$ 看成差分的”累加”。令 $a_k=x_k-x_{k-1}$，$b_k=y_k-y_{k-1}$，则 $x_n=x_0+{\sum }_{k=1}^n{a}_k$，$y_n=y_0+{\sum }_{k=1}^n{b}_k$。条件说 $\frac{a_k}{b_k}\to a$，而 $\frac{x_n}{y_n}$ 是这些差分之比的”加权平均”，当各项都趋向 $a$ 时，平均也趋向 $a$。

正式证明：

任给 $\epsilon >0$。由 $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\to a$，存在 $N_0$，当 $n>N_0$ 时：

$$\left|\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}-a\right|<\epsilon ,$$

即

$$(a-\epsilon )(y_n-y_{n-1})<x_n-x_{n-1}<(a+\epsilon )(y_n-y_{n-1}).\text{\hspace{1em}(∗)}$$

对 $k=N_0+1,N_0+2,\dots ,n$ 分别写出 $(\ast )$ 并相加：

$$(a-\epsilon )\sum _{k=N_0+1}^n(y_k-y_{k-1})<\sum _{k=N_0+1}^n(x_k-x_{k-1})<(a+\epsilon )\sum _{k=N_0+1}^n(y_k-y_{k-1}).$$

左边和右边都是望远镜求和（中间项全部抵消）：

$$\sum _{k=N_0+1}^n(y_k-y_{k-1})=y_n-y_{N_0},\sum _{k=N_0+1}^n(x_k-x_{k-1})=x_n-x_{N_0}.$$

所以：

$$(a-\epsilon )(y_n-y_{N_0})<x_n-x_{N_0}<(a+\epsilon )(y_n-y_{N_0}).$$

两边除以 $y_n$（$y_n>0$）：

$$(a-\epsilon )\left(1-\frac{y_{N_0}}{y_n}\right)<\frac{x_n}{y_n}-\frac{x_{N_0}}{y_n}<(a+\epsilon )\left(1-\frac{y_{N_0}}{y_n}\right).$$

整理得：

$$\frac{x_n}{y_n}<(a+\epsilon )\left(1-\frac{y_{N_0}}{y_n}\right)+\frac{x_{N_0}}{y_n}=(a+\epsilon )+\frac{x_{N_0}-(a+\epsilon )y_{N_0}}{y_n},$$ $$\frac{x_n}{y_n}>(a-\epsilon )\left(1-\frac{y_{N_0}}{y_n}\right)+\frac{x_{N_0}}{y_n}=(a-\epsilon )+\frac{x_{N_0}-(a-\epsilon )y_{N_0}}{y_n}.$$

令 $C_1=x_{N_0}-(a+\epsilon )y_{N_0}$，$C_2=x_{N_0}-(a-\epsilon )y_{N_0}$（都是与 $n$ 无关的常数），则：

$$a-\epsilon +\frac{C_2}{y_n}<\frac{x_n}{y_n}<a+\epsilon +\frac{C_1}{y_n}.$$

因为 $y_n\to +\infty$，所以 $\frac{C_1}{y_n}\to 0$，$\frac{C_2}{y_n}\to 0$。存在 $N_1$，当 $n>N_1$ 时，$\left|\frac{C_1}{y_n}\right|<\epsilon$ 且 $\left|\frac{C_2}{y_n}\right|<\epsilon$。

取 $N=\max \{N_0,N_1\}$，当 $n>N$ 时：

$$a-2\epsilon <\frac{x_n}{y_n}<a+2\epsilon .$$

即 $\left|\frac{x_n}{y_n}-a\right|<2\epsilon$。由 $\epsilon$ 的任意性，${\lim }_{n\to \infty }\frac{x_n}{y_n}=a$。

证毕

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例子：定理2.3.3 Stolz定理 — 例子

§4 实数系的基本定理

定理2.4.1 单调有界数列收敛定理

定理陈述：单调有界数列必定收敛。

证明：

我们只证”单调递增且有上界的数列收敛”，单调递减且有下界的情形类似。

设 $\{x_n\}$ 单调递增（$x_1⩽x_2⩽\cdots$）且有上界。

第1步：令 $S=\{x_n\mid n\in {\mathbf{N}}^{+}\}$，则 $S$ 是非空有上界的数集。由确界存在定理（定理2.1.1），$S$ 有上确界，记 $a=\sup S$。

第2步：我们要证 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，即任给 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时 $|x_n-a|<\epsilon$。

第3步：因为 $a=\sup S$ 是 $S$ 的最小上界，所以 $a-\epsilon$ 不是 $S$ 的上界。这意味着存在某个 $x_N\in S$ 使得 $x_N>a-\epsilon$。

第4步：因为 $\{x_n\}$ 单调递增，当 $n>N$ 时，$x_n⩾x_N>a-\epsilon$。

第5步：又因为 $a$ 是 $S$ 的上界，所以 $x_n⩽a<a+\epsilon$。

第6步：综合第4步和第5步，当 $n>N$ 时：

$$a-\epsilon <x_n<a+\epsilon ,\text{即 }|x_n-a|<\epsilon .$$

因此 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$。

证毕

意义：这个定理的重要性在于，我们不需要事先知道极限值是多少，只需要验证数列单调且有界，就能断定它收敛。

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例子：定理2.4.1 单调有界数列收敛定理 — 例子

定理2.4.2 闭区间套定理

定理陈述：如果 $\{[a_n,b_n]\}$ 形成一个闭区间套，即满足

1. $[a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset \cdots \supset [a_n,b_n]\supset \cdots$
2. ${\lim }_{n\to \infty }(b_n-a_n)=0$

则存在唯一的实数 $\xi$ 属于所有的闭区间 $[a_n,b_n]$，且 $\xi ={\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{b}_n$。

证明：

第1步：由条件1（区间逐个包含），$a_1⩽a_2⩽\cdots$（$\{a_n\}$ 单调递增），$b_1⩾b_2⩾\cdots$（$\{b_n\}$ 单调递减）。

第2步：$\{a_n\}$ 有上界：因为每个 $a_n⩽b_n⩽b_1$（$b_1$ 是公共上界）。$\{b_n\}$ 有下界：因为每个 $b_n⩾a_n⩾a_1$（$a_1$ 是公共下界）。

第3步：由定理2.4.1（单调有界数列收敛），$\{a_n\}$ 收敛（记极限为 $\xi$），$\{b_n\}$ 收敛（记极限为 $\eta$）。

第4步：由极限的保序性，对每个 $n$ 有 $a_n⩽b_n$，取极限得 $\xi ⩽\eta$。

第5步：由条件2，${\lim }_{n\to \infty }(b_n-a_n)=0$。由极限的四则运算，$\eta -\xi ={\lim }_{n\to \infty }{b}_n-{\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }(b_n-a_n)=0$，所以 $\xi =\eta$。

第6步：证明 $\xi \in [a_n,b_n]$ 对所有 $n$ 成立。

因为 $\{a_n\}$ 递增趋于 $\xi$，所以 $a_n⩽\xi$ 对所有 $n$ 成立（递增数列的每一项都不超过极限）。

因为 $\{b_n\}$ 递减趋于 $\xi$，所以 $b_n⩾\xi$ 对所有 $n$ 成立（递减数列的每一项都不低于极限）。

因此 $a_n⩽\xi ⩽b_n$，即 $\xi \in [a_n,b_n]$ 对所有 $n$ 成立。

第7步：惟一性。假设还有 ${\xi }^{\prime }\in [a_n,b_n]$ 对所有 $n$ 成立，则 $a_n⩽{\xi }^{\prime }⩽b_n$。取极限得 $\xi ⩽{\xi }^{\prime }⩽\xi$，所以 ${\xi }^{\prime }=\xi$。

证毕

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例子：定理2.4.2 闭区间套定理 — 例子

定理2.4.3 实数集不可列

定理陈述：实数集 $\mathbf{R}$ 是不可列集。

证明（Cantor对角线法）：

我们只需证明 $(0,1)$ 中的实数不可列（因为如果 $(0,1)$ 都不可列，$\mathbf{R}$ 更不可列）。

第1步：用反证法。假设 $(0,1)$ 中的实数是可列的，那么可以把它们全部排成一列：

$$(0,1)=\{r_1,r_2,r_3,\dots \}.$$

第2步：把每个 $r_n$ 写成无限小数形式：

$$r_1=0.a_{11}{a}_{12}{a}_{13}\cdots$$ $$r_2=0.a_{21}{a}_{22}{a}_{23}\cdots$$ $$r_3=0.a_{31}{a}_{32}{a}_{33}\cdots$$ $$⋮$$

其中每个 $a_{ij}\in \{0,1,\dots ,9\}$。

第3步：构造一个新的实数 $r=0.b_1{b}_2{b}_3\cdots$，其中第 $n$ 位小数 $b_n$ 定义为：

$$b_n=\{\begin{array}{ll}1,& \text{如果 }{a}_{nn}\ne 1,\\ 2,& \text{如果 }{a}_{nn}=1.\end{array}$$

关键：$b_n\ne a_{nn}$，且 $b_n\in \{1,2\}$（不取0和9，避免 $0.999\cdots =1.000\cdots$ 的歧义）。

第4步：$r\in (0,1)$（因为 $r$ 的每一位都是1或2，所以 $0.111\cdots ⩽r⩽0.222\cdots$，确实在 $(0,1)$ 中）。

第5步：但 $r\ne r_n$ 对任何 $n$ 都成立！因为 $r$ 和 $r_n$ 在第 $n$ 位小数上不同（$b_n\ne a_{nn}$），而前面的位都相同，所以 $r$ 和 $r_n$ 是不同的实数。

第6步：这意味着 $r\in (0,1)$ 但 $r$ 不在列表 $\{r_1,r_2,\dots \}$ 中，与假设”列表包含了 $(0,1)$ 中所有实数”矛盾。

因此 $(0,1)$ 不可列，$\mathbf{R}$ 不可列。

证毕

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例子：定理2.4.3 实数集不可列 — 例子

定理2.4.4 子列收敛性

定理陈述：若数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，则它的任何子列 $\{x_{n_k}\}$ 也收敛于 $a$。

证明：

第1步：设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$。任给 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$|x_n-a|<\epsilon$。

第2步：子列的下标满足 $n_1<n_2<n_3<\cdots$，因此 $n_k⩾k$（第 $k$ 个子列项的下标至少是 $k$——因为每次下标至少增加1）。

第3步：取 $K=N$。当 $k>K$ 时，$n_k⩾k>N$，所以 $|x_{n_k}-a|<\epsilon$。

因此 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_{n_k}=a$。

证毕

应用：若一个数列有两个子列收敛于不同的极限，则该数列发散。例如 $x_n=(-1{)}^n$，奇数项子列收敛于 $-1$，偶数项子列收敛于 $1$，所以 $\{(-1{)}^n\}$ 发散。

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例子：定理2.4.4 子列收敛性 — 例子

定理2.4.5 Bolzano-Weierstrass定理

定理陈述：有界数列必有收敛子列。

证明：

核心想法：反复将区间对半分，每次选择包含无穷多项的那一半，最终”夹”出一个极限点。

设 $\{x_n\}$ 有界，即存在 $a_1,b_1$ 使得 $a_1⩽x_n⩽b_1$ 对所有 $n$ 成立。

第1步：将 $[a_1,b_1]$ 等分为两个子区间 $[a_1,c_1]$ 和 $[c_1,b_1]$，其中 $c_1=\frac{a_1+b_1}{2}$。

至少有一个子区间包含 $\{x_n\}$ 的无穷多项（因为两个子区间合起来包含所有项，如果每个都只有有限项，加起来也是有限项，但总共有无穷多项，矛盾）。取包含无穷多项的那个子区间为 $[a_2,b_2]$（如果两个都包含无穷多项，任取一个）。

第2步：从落在 $[a_2,b_2]$ 中的那些项里，选一个作为 $x_{n_1}$。

第3步：重复这个过程。将 $[a_2,b_2]$ 等分为两个子区间，取包含无穷多项的那个为 $[a_3,b_3]$。从落在 $[a_3,b_3]$ 中且下标大于 $n_1$ 的项里选一个作为 $x_{n_2}$（这是可以做到的，因为 $[a_3,b_3]$ 包含无穷多项，而前 $n_1$ 项只有有限个）。

第4步：如此继续，得到：

• 闭区间套 $[a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset \cdots$
• $b_k-a_k=\frac{b_1-a_1}{2^{k-1}}\to 0$
• 子列 $\{x_{n_k}\}$，其中 $x_{n_k}\in [a_k,b_k]$

第5步：由闭区间套定理（定理2.4.2），存在唯一的 $\xi \in [a_k,b_k]$ 对所有 $k$ 成立，且 $a_k\to \xi$，$b_k\to \xi$。

第6步：因为 $a_k⩽x_{n_k}⩽b_k$，由夹逼定理，$x_{n_k}\to \xi$。

因此 $\{x_n\}$ 有收敛子列 $\{x_{n_k}\}$。

证毕

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例子：定理2.4.5 Bolzano-Weierstrass定理 — 例子

定理2.4.6 无界数列的性质

定理陈述：若 $\{x_n\}$ 是一个无界数列，则存在子列 $\{x_{n_k}\}$，使得 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_{n_k}=\infty$。

证明：

核心想法：$\{x_n\}$ 无界意味着 $|x_n|$ 可以任意大。我们逐步挑选出越来越大的项。

第1步：因为 $\{x_n\}$ 无界，所以不存在 $M$ 使得 $|x_n|⩽M$ 对所有 $n$ 成立。

取 $G=1$。不可能所有项都满足 $|x_n|⩽1$（否则就有界了），所以存在 $n_1$ 使得 $|x_{n_1}|>1$。

第2步：取 $G=2$。在 $n>n_1$ 的项中，不可能都满足 $|x_n|⩽2$。为什么？因为如果 $n>n_1$ 时 $|x_n|⩽2$，而前 $n_1$ 项只有有限个也有界，那整个数列就有界了，矛盾。所以存在 $n_2>n_1$ 使得 $|x_{n_2}|>2$。

第3步：一般地，假设已经找到 $n_1<n_2<\cdots <n_{k-1}$ 使得 $|x_{n_j}|>j$（$j=1,2,\dots ,k-1$）。取 $G=k$，在 $n>n_{k-1}$ 的项中，不可能都满足 $|x_n|⩽k$（否则整体有界），所以存在 $n_k>n_{k-1}$ 使得 $|x_{n_k}|>k$。

第4步：这样得到的子列 $\{x_{n_k}\}$ 满足 $|x_{n_k}|>k$。任给 $G>0$，取 $K=\lceil G\rceil$（不超过 $G$ 的最大整数加1），当 $k>K$ 时 $|x_{n_k}|>k>K⩾G$。所以 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_{n_k}=\infty$。

证毕

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例子：定理2.4.6 无界数列的性质 — 例子

定理2.4.7 Cauchy收敛原理

定理陈述：数列 $\{x_n\}$ 收敛的充分必要条件是：$\{x_n\}$ 是基本数列（Cauchy数列），即对任意给定的 $\epsilon >0$，存在正整数 $N$，使得对一切 $m,n>N$，成立 $|x_m-x_n|<\epsilon$。

证明：

必要性（收敛 $\Rightarrow$ 基本数列）：

设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$。任给 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$|x_n-a|<\frac{\epsilon }{2}$。

当 $m,n>N$ 时，由三角不等式：

$$|x_m-x_n|=|(x_m-a)+(a-x_n)|⩽|x_m-a|+|x_n-a|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$

所以 $\{x_n\}$ 是基本数列。

充分性（基本数列 $\Rightarrow$ 收敛）：

第1步：先证 $\{x_n\}$ 有界。

取 $\epsilon =1$，存在 $N$，当 $m,n>N$ 时 $|x_m-x_n|<1$。特别地，固定 $m=N+1$，则当 $n>N$ 时 $|x_n-x_{N+1}|<1$，即 $x_{N+1}-1<x_n<x_{N+1}+1$。

令 $M=\max \{|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_N|,|x_{N+1}|+1\}$，则 $|x_n|⩽M$ 对所有 $n$ 成立。

第2步：由Bolzano-Weierstrass定理（定理2.4.5），$\{x_n\}$ 有收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，设 $x_{n_k}\to a$。

第3步：证明整个数列 $\{x_n\}$ 也收敛于 $a$。

任给 $\epsilon >0$。

因为 $\{x_n\}$ 是基本数列，存在 $N_1$，当 $m,n>N_1$ 时 $|x_m-x_n|<\frac{\epsilon }{2}$。

因为 $x_{n_k}\to a$，存在 $K$，当 $k>K$ 时 $|x_{n_k}-a|<\frac{\epsilon }{2}$。

取 $k$ 足够大使得 $n_k>N_1$ 且 $k>K$（这是可以做到的，因为 $n_k\to \infty$）。则对任意 $n>N_1$：

$$|x_n-a|⩽|x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$

因此 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$。

证毕

意义：Cauchy收敛原理的重要性在于，判断数列是否收敛不需要知道极限值，只需要验证数列自身”尾部”的项是否足够接近。

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例子：定理2.4.7 Cauchy收敛原理 — 例子

定理2.4.8 实数系完备性与连续性等价

定理陈述：实数系的完备性等价于实数系的连续性。

说明：

• 连续性指的是确界存在定理（定理2.1.1）：非空有上界的数集必有上确界。
• 完备性指的是Cauchy收敛原理（定理2.4.7）：基本数列必收敛。

这两个性质看似不同，但本质上说的是同一件事：实数轴没有”空隙”。

证明：

我们需要证明两个方向的蕴含。

方向一：连续性 $\Rightarrow$ 完备性

这就是我们已经建立的推理链：

确界存在定理（定理2.1.1）$\Rightarrow$ 单调有界数列收敛（定理2.4.1）$\Rightarrow$ 闭区间套定理（定理2.4.2）$\Rightarrow$ Bolzano-Weierstrass定理（定理2.4.5）$\Rightarrow$ Cauchy收敛原理（定理2.4.7）。

每一步的推理都已经在前面各定理的证明中完成。

方向二：完备性 $\Rightarrow$ 连续性

我们需要从Cauchy收敛原理出发，证明非空有上界的数集必有上确界。

设 $S$ 是非空有上界的数集。我们要用Cauchy收敛原理来构造 $S$ 的上确界。

第1步：取一个含 $S$ 的上界的区间 $[a_0,b_0]$，其中 $a_0$ 不是 $S$ 的上界（即存在 $x\in S$ 使得 $x>a_0$），$b_0$ 是 $S$ 的上界。

第2步：令 $c_0=\frac{a_0+b_0}{2}$（中点）。检查 $c_0$ 是否为 $S$ 的上界：

• 若 $c_0$ 是 $S$ 的上界，令 $a_1=a_0$，$b_1=c_0$；
• 若 $c_0$ 不是 $S$ 的上界，令 $a_1=c_0$，$b_1=b_0$。

这样 $a_1$ 不是上界，$b_1$ 是上界，且 $b_1-a_1=\frac{b_0-a_0}{2}$。

第3步：重复这个过程。第 $n$ 步得到 $[a_n,b_n]$，满足：

• $a_n$ 不是 $S$ 的上界（即存在 $x\in S$ 使得 $x>a_n$）；
• $b_n$ 是 $S$ 的上界；
• $b_n-a_n=\frac{b_0-a_0}{2^n}\to 0$。

第4步：证明 $\{a_n\}$ 是Cauchy数列。

任给 $\epsilon >0$，取 $N$ 使得 $\frac{b_0-a_0}{2^N}<\epsilon$。当 $m,n>N$ 时（不妨设 $m⩽n$），因为 $\{a_n\}$ 递增且有上界 $b_N$，所以 $0⩽a_n-a_m⩽b_m-a_m⩽b_N-a_N<\epsilon$。因此 $|a_n-a_m|<\epsilon$，$\{a_n\}$ 是Cauchy数列。

第5步：由Cauchy收敛原理，$\{a_n\}$ 收敛。记 $\beta ={\lim }_{n\to \infty }{a}_n$。

因为 $b_n-a_n\to 0$，所以 ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n={\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\beta$。

第6步：验证 $\beta$ 是 $S$ 的上界。

假设 $\beta$ 不是 $S$ 的上界，则存在 $x\in S$ 使得 $x>\beta$。令 $\epsilon =x-\beta >0$，当 $n$ 足够大时 $b_n<\beta +\epsilon =x$，即 $b_n<x$。但 $b_n$ 是 $S$ 的上界，应有 $b_n⩾x$，矛盾。所以 $\beta$ 是 $S$ 的上界。

第7步：验证 $\beta$ 是最小上界。

任给 $\epsilon >0$，当 $n$ 足够大时 $a_n>\beta -\epsilon$。而 $a_n$ 不是 $S$ 的上界，所以存在 $x\in S$ 使得 $x>a_n>\beta -\epsilon$。这说明 $\beta -\epsilon$ 不是 $S$ 的上界，即比 $\beta$ 小的数都不是上界。

结论：$\beta$ 是 $S$ 的上确界。因此完备性蕴含连续性。

综合：连续性与完备性等价。

证毕

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例子：定理2.4.8 实数系完备性与连续性等价 — 例子

相关链接

• 数学分析 定理索引
• 第一章 集合与映射
• 第三章 函数极限与连续函数

来源引用

• [数学分析 陈纪修 第三版 上](raw/数学分析 陈纪修 第三版 上/full.md)