第七章 定积分 — 例子

定义 定积分（Riemann积分） — 例子

例1：${\int }_0^1{x}^{2}dx$。取等分分割，$\Delta x_i=\frac{1}{n}$，取右端点 ${\xi }_i=\frac{i}{n}$：${\sum }_{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\to \frac{1}{3}$（$n\to \infty$，数列极限）。

例2：Dirichlet函数 $D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbf{Q}\\ 0,& x\notin \mathbf{Q}\end{array}$ 在 $[0,1]$ 上不可积（Darboux上和为1，下和为0）。

定义：定义 定积分（Riemann积分）

定义 Darboux上和与Darboux下和 — 例子

例1：$f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上，取 $n$ 等分。$M_i=\frac{i}{n}$，$m_i=\frac{i-1}{n}$。上和 $\overline{S}=\sum \frac{i}{n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{n+1}{2n}\to \frac{1}{2}$，下和 $\underline{S}=\sum \frac{i-1}{n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{n-1}{2n}\to \frac{1}{2}$。

定义：定义 Darboux上和与Darboux下和

定义 上积分与下积分 — 例子

例1：$f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上，上积分 $=$ 下积分 $=\frac{1}{2}$，故可积且 ${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$。

定义：定义 上积分与下积分

定义 变上限积分 — 例子

例1：$\Phi (x)={\int }_0^x{t}^{2}dt=\frac{x^3}{3}$，${\Phi }^{\prime }(x)=x^2$（验证了变上限积分函数的导数等于被积函数）。

例2：$\Phi (x)={\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$，${\Phi }^{\prime }(x)=e^{-x^2}$（虽无初等表达式，但导数存在）。

定义：定义 变上限积分

定义 弧长 — 例子

例1：圆 $x=R\cos t,y=R\sin t$（$0⩽t⩽2\pi$）的弧长：$L={\int }_0^{2\pi }\sqrt{R^2{\sin }^{2}t+R^2{\cos }^{2}t}dt={\int }_0^{2\pi }Rdt=2\pi R$。

定义：定义 弧长

定理 Darboux和极限相等 — 例子

例1：$f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上，取 $n$ 等分。上和 ${\overline{S}}_n={\sum }_{i=1}^n(\frac{i}{n}{)}^2\cdot \frac{1}{n}\to \frac{1}{3}$，下和 ${\underline{S}}_n={\sum }_{i=1}^n(\frac{i-1}{n}{)}^2\cdot \frac{1}{n}\to \frac{1}{3}$，上和与下和极限相等，故可积。

定理：定理 Darboux和极限相等

定理 振幅趋于零 — 例子

例1：$f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上，第 $i$ 个小区间上振幅 ${\omega }_i=(\frac{i}{n}{)}^2-(\frac{i-1}{n}{)}^2=\frac{2i-1}{n^2}$，$\sum {\omega }_i\Delta x_i=\sum \frac{2i-1}{n^3}\to 0$（$n\to \infty$），故可积。

定理：定理 振幅趋于零

定理 可积的充要条件 — 例子

例1：连续函数 $f(x)=\sin x$ 在 $[0,\pi ]$ 上可积（连续函数必可积）。${\int }_0^{\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi }=2$。

例2：$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0⩽x⩽1\\ 2,& 1<x⩽2\end{array}$ 在 $[0,2]$ 上只有1个间断点，故可积。${\int }_0^{2}f(x)dx=1+2=3$。

定理：定理 可积的充要条件

定理 变上限积分函数 — 例子

例1：$\Phi (x)={\int }_0^x{t}^{2}dt=\frac{x^3}{3}$，${\Phi }^{\prime }(x)=x^2=f(x)$ ✓（定理7.3.1）

例2：$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}{e}^{-t}dt=e^{-x^2}\cdot 2x$（复合函数求导）。

定理：定理 变上限积分函数

定理 微积分基本定理（Newton-Leibniz公式） — 例子

例1：${\int }_0^1{x}^{2}dx=[\frac{x^3}{3}{]}_0^1=\frac{1}{3}$（Newton-Leibniz公式）。

例2：${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=[\sin x{]}_0^{\pi /2}=1$。

例3：${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=[\ln x{]}_1^e=1$。

定理：定理 微积分基本定理（Newton-Leibniz公式）

定理 分部积分公式 — 例子

例1：${\int }_0^{\pi /2}x\sin xdx=[-x\cos x{]}_0^{\pi /2}+{\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=0+[\sin x{]}_0^{\pi /2}=1$（分部积分）。

例2：$I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx$ 的递推：$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$。

定理：定理 分部积分公式

定理 换元积分公式 — 例子

例1：${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$，令 $x=\sin t$（换元）：$={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}tdt=\frac{\pi }{4}$。

例2：${\int }_0^4\frac{dx}{1+\sqrt{x}}$，令 $t=\sqrt{x}$（换元）：$={\int }_0^2\frac{2t}{1+t}dt=2[t-\ln (1+t){]}_0^2=2(2-\ln 3)$。

定理：定理 换元积分公式

定理 奇偶函数积分 — 例子

例1：${\int }_{-1}^1{x}^{3}dx=0$（$x^3$ 是奇函数，奇函数在对称区间积分为零）。

例2：${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin xdx=0$（$\sin x$ 是奇函数）。

例3：${\int }_{-1}^1(1+x^2)dx=2{\int }_0^1(1+x^2)dx=2[x+\frac{x^3}{3}{]}_0^1=\frac{8}{3}$（$1+x^2$ 是偶函数，偶函数在对称区间积分等于半区间两倍）。

定理：定理 奇偶函数积分

定理 周期函数积分 — 例子

例1：${\int }_0^{2\pi }\sin xdx=0$，${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin xdx=0$（周期 $2\pi$ 的函数在任一周期上积分相等）。

例2：${\int }_a^{a+T}f(x)dx$ 与 $a$ 无关。例如 ${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}xdx={\int }_{\pi }^{3\pi }{\cos }^{2}xdx=\pi$。

定理：定理 周期函数积分

定理 弧长公式 — 例子

例1：$y=\frac{2}{3}{x}^{3/2}$（$0⩽x⩽1$）的弧长：$L={\int }_0^1\sqrt{1+x}dx=\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)$。

例2：摆线 $x=t-\sin t$，$y=1-\cos t$（$0⩽t⩽2\pi$）一拱弧长：$L={\int }_0^{2\pi }\sqrt{(1-\cos t{)}^2+{\sin }^{2}t}dt={\int }_0^{2\pi }2\sin \frac{t}{2}dt=8$。

定理：定理 弧长公式

定理 Newton-Cotes公式误差估计 — 例子

例1：用梯形公式计算 ${\int }_0^1{e}^{x}dx$：$T=\frac{1}{2}(e^0+e^1)=\frac{1+e}{2}\approx 1.8591$，精确值 $e-1\approx 1.7183$，误差 $|R|⩽\frac{e}{12}\approx 0.2267$。

定理：定理 Newton-Cotes公式误差估计