第八章 反常积分

本章包含反常积分相关的重要定理。

§1 反常积分的概念

定义8.1.1 无穷限反常积分

设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上有定义，且在任何有限区间 $[a,A]$ 上可积。如果极限

$$\underset{A\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{A}f(x)\mathrm{d}x$$

存在且有限，则称 $f(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上的无穷限反常积分（简称无穷积分）收敛，记为

$${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=\underset{A\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{A}f(x)\mathrm{d}x.$$

若极限不存在（包括无穷大），则称该反常积分发散。类似可定义 ${\int }_{-\infty }^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 和 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$。

例子：定义8.1.1 无穷限反常积分 — 例子

定义8.1.2 无界函数的反常积分（瑕积分）

设函数 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上有定义，在 $a$ 点附近无界（$a$ 称为瑕点），且在任何区间 $[a+\epsilon ,b]$（$\epsilon >0$）上可积。如果极限

$$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

存在且有限，则称 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上的瑕积分（无界函数的反常积分）收敛，记为

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

例子：定义8.1.2 无界函数的反常积分（瑕积分） — 例子

定义8.2.1 绝对收敛与条件收敛

如果 ${\int }_a^{+\infty }|f(x)|\mathrm{d}x$ 收敛，则称 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 绝对收敛。如果 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛但 ${\int }_a^{+\infty }|f(x)|\mathrm{d}x$ 发散，则称 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 条件收敛。

例子：定义8.2.1 绝对收敛与条件收敛 — 例子

§2 反常积分的收敛判别法

定理8.2.1 Cauchy收敛原理（无穷限反常积分）

定理陈述：反常积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛的充分必要条件是：对任意给定的 $\epsilon >0$，存在 $A_0\ge a$，使得对任意 $A,A^{\prime }⩾A_0$，有：

$$\left|{\int }_A^{A^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x\right|<\epsilon .$$

证明：

核心想法：反常积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x={\lim }_{A\to +\infty }{\int }_a^{A}f(x)\mathrm{d}x$，令 $F(A)={\int }_a^{A}f(x)\mathrm{d}x$，则反常积分收敛等价于 ${\lim }_{A\to +\infty }F(A)$ 存在。对 $F(A)$ 用Cauchy收敛原理即可。

第1步：令 $F(A)={\int }_a^{A}f(x)\mathrm{d}x$。反常积分收敛等价于 ${\lim }_{A\to +\infty }F(A)$ 存在且有限。

第2步：由数列的Cauchy收敛原理（定理2.4.7），${\lim }_{A\to +\infty }F(A)$ 存在的充分必要条件是：对任意 $\epsilon >0$，存在 $A_0$，当 $A,A^{\prime }⩾A_0$ 时 $|F(A^{\prime })-F(A)|<\epsilon$。

第3步：计算 $F(A^{\prime })-F(A)$：

$$F(A^{\prime })-F(A)={\int }_a^{A^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_a^{A}f(x)\mathrm{d}x={\int }_A^{A^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x.$$

第4步：因此 $|F(A^{\prime })-F(A)|=\left|{\int }_A^{A^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x\right|<\epsilon$，这正是要证明的条件。

证毕

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例子：定理8.2.1 Cauchy收敛原理（无穷限反常积分） — 例子

定理8.2.2 比较判别法

定理陈述：设在 $[a,+\infty )$ 上恒有 $0⩽f(x)⩽K\phi (x)$，其中 $K$ 是正常数，则：

1. 若 ${\int }_a^{+\infty }\phi (x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
2. 若 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 ${\int }_a^{+\infty }\phi (x)\mathrm{d}x$ 发散

证明：

核心想法：非负函数的反常积分收敛等价于变上限积分有上界。$f⩽K\phi$ 意味着 $f$ 的积分不超过 $K$ 倍 $\phi$ 的积分。

第1步：因为 $f(x)⩾0$，$F(A)={\int }_a^{A}f(x)\mathrm{d}x$ 关于 $A$ 递增。反常积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛等价于 $F(A)$ 有上界。

第2步：由 $0⩽f(x)⩽K\phi (x)$，对任意 $A>a$：

$${\int }_a^{A}f(x)\mathrm{d}x⩽K{\int }_a^A\phi (x)\mathrm{d}x.$$

第3步（证明1）：若 ${\int }_a^{+\infty }\phi (x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\Phi (A)={\int }_a^A\phi (x)\mathrm{d}x$ 有上界 $M$。于是 $F(A)⩽KM$，$F(A)$ 也有上界，故 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛。

第4步（证明2）：若 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 $F(A)\to +\infty$。由 $K\Phi (A)⩾F(A)\to +\infty$，得 $\Phi (A)\to +\infty$，故 ${\int }_a^{+\infty }\phi (x)\mathrm{d}x$ 发散。

证毕

注意：结论2是结论1的逆否命题。

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例子：定理8.2.2 比较判别法 — 例子

定理8.2.3 Cauchy判别法

定理陈述：设在 $[a,+\infty )\subset (0,+\infty )$ 上恒有 $f(x)⩾0$，$K$ 是正常数：

1. 若 $f(x)⩽\frac{K}{x^p}$，且 $p>1$，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
2. 若 $f(x)⩾\frac{K}{x^p}$，且 $p⩽1$，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 发散

证明：

核心想法：与 ${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x$ 比较，后者收敛当且仅当 $p>1$。

第1步：先计算 ${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x$。

当 $p\ne 1$ 时：

$${\int }_a^A\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x=\frac{x^{1-p}}{1-p}{|}_a^A=\frac{A^{1-p}-a^{1-p}}{1-p}.$$

• 若 $p>1$，则 $1-p<0$，$A^{1-p}\to 0$（$A\to +\infty$），积分收敛于 $\frac{a^{1-p}}{p-1}$。
• 若 $p<1$，则 $1-p>0$，$A^{1-p}\to +\infty$，积分发散。

当 $p=1$ 时：${\int }_a^A\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln A-\ln a\to +\infty$，发散。

第2步（证明1）：$f(x)⩽\frac{K}{x^p}$，$p>1$。由比较判别法（定理8.2.2），${\int }_a^{+\infty }\frac{K}{x^p}\mathrm{d}x=K{\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x$ 收敛（第1步），所以 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛。

第3步（证明2）：$f(x)⩾\frac{K}{x^p}$，$p⩽1$。由比较判别法的逆否形式，${\int }_a^{+\infty }\frac{K}{x^p}\mathrm{d}x$ 发散（第1步），所以 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 发散。

证毕

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例子：定理8.2.3 Cauchy判别法 — 例子

定理8.2.4 积分第二中值定理

定理陈述：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，$g(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得：

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)\mathrm{d}x+g(b){\int }_{\xi }^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

证明：

核心想法：先证 $g$ 递减且 $g(b)=0$ 的特殊情形，然后通过线性变换化为一般情形。

第1步（特殊情形：$g$ 递减，$g(b)=0$）：此时 $g(x)⩾0$。令 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则 $F$ 连续（定理7.3.1）。

第2步：对积分作分部积分。因为 $g$ 单调，所以 $g$ 几乎处处可导。形式上：

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}F(x)=g(x)F(x){|}_a^b-{\int }_a^{b}F(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x.$$

第3步：$g(b)=0$，$F(a)=0$，所以 $g(x)F(x){|}_a^b=g(b)F(b)-g(a)F(a)=0$。

第4步：因此 ${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=-{\int }_a^{b}F(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x$。

因为 $g$ 递减，$g^{\prime }(x)⩽0$，所以 $-g^{\prime }(x)⩾0$，$-g^{\prime }(x)$ 可以看作一个非负的”权”。

第5步：设 $m={\min }_{[a,b]}F(x)$，$M={\max }_{[a,b]}F(x)$（$F$ 连续，最值存在）。则：

$$m\cdot (-{\int }_a^b{g}^{\prime }(x)\mathrm{d}x)⩽-{\int }_a^{b}F(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x⩽M\cdot (-{\int }_a^b{g}^{\prime }(x)\mathrm{d}x).$$

而 $-{\int }_a^b{g}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=g(a)-g(b)=g(a)$。

第6步：所以 $m\cdot g(a)⩽{\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x⩽M\cdot g(a)$。

第7步：由 $F$ 的连续性和介值定理，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $F(\xi )=\frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x}{g(a)}$，即：

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=g(a)F(\xi )=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)\mathrm{d}x.$$

（因为 $g(b)=0$，所以 $g(b){\int }_{\xi }^{b}f(x)\mathrm{d}x=0$，与一般形式一致。）

第8步（一般情形）：对一般单调 $g$，令 $\tilde{g}(x)=g(x)-g(b)$，则 $\tilde{g}$ 递减且 $\tilde{g}(b)=0$。由特殊情形：

$${\int }_a^{b}f(x)\tilde{g}(x)\mathrm{d}x=\tilde{g}(a){\int }_a^{\xi }f(x)\mathrm{d}x=(g(a)-g(b)){\int }_a^{\xi }f(x)\mathrm{d}x.$$

展开左端：

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x-g(b){\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=(g(a)-g(b)){\int }_a^{\xi }f(x)\mathrm{d}x.$$

整理：

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)\mathrm{d}x+g(b)\left[{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_a^{\xi }f(x)\mathrm{d}x\right]=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)\mathrm{d}x+g(b){\int }_{\xi }^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

证毕

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例子：定理8.2.4 积分第二中值定理 — 例子

定理8.2.5 Abel判别法和Dirichlet判别法

定理陈述：若下列两个条件之一满足，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)\mathrm{d}x$ 收敛：

1. Abel判别法：${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，$g(x)$ 单调有界
2. Dirichlet判别法：$F(A)={\int }_a^{A}f(x)\mathrm{d}x$ 有界，$g(x)$ 单调趋于零

证明：

核心想法：用Cauchy收敛原理和积分第二中值定理。关键是将 ${\int }_A^{A^{\prime }}f(x)g(x)\mathrm{d}x$ 通过积分第二中值定理分离出 $g$ 的值。

Abel判别法的证明：

第1步：设 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，$g(x)$ 单调有界，$|g(x)|⩽M$。

第2步：由Cauchy收敛原理（定理8.2.1），对任意 $\epsilon >0$，存在 $A_0$，当 $A^{\prime }>A⩾A_0$ 时 $\left|{\int }_A^{A^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x\right|<\epsilon$。

第3步：由积分第二中值定理（定理8.2.4），存在 $\xi \in [A,A^{\prime }]$ 使得：

$${\int }_A^{A^{\prime }}f(x)g(x)\mathrm{d}x=g(A){\int }_A^{\xi }f(x)\mathrm{d}x+g(A^{\prime }){\int }_{\xi }^{A^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x.$$

第4步：取绝对值：

$$\left|{\int }_A^{A^{\prime }}f(x)g(x)\mathrm{d}x\right|⩽|g(A)|\left|{\int }_A^{\xi }f(x)\mathrm{d}x\right|+|g(A^{\prime })|\left|{\int }_{\xi }^{A^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x\right|⩽M\epsilon +M\epsilon =2M\epsilon .$$

第5步：由Cauchy收敛原理，${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)\mathrm{d}x$ 收敛。

Dirichlet判别法的证明：

第1步：设 $|F(A)|=\left|{\int }_a^{A}f(x)\mathrm{d}x\right|⩽M$，$g(x)$ 单调趋于零。不妨设 $g$ 递减趋于零（递增时取负号即可），则 $g(x)⩾0$。

第2步：对任意 $A^{\prime }>A⩾a$，由积分第二中值定理：

$${\int }_A^{A^{\prime }}f(x)g(x)\mathrm{d}x=g(A){\int }_A^{\xi }f(x)\mathrm{d}x+g(A^{\prime }){\int }_{\xi }^{A^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x.$$

第3步：注意 ${\int }_A^{\xi }f(x)\mathrm{d}x=F(\xi )-F(A)$，$|{\int }_A^{\xi }f(x)\mathrm{d}x|⩽2M$。同理 $|{\int }_{\xi }^{A^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x|⩽2M$。

第4步：因为 $g(x)\to 0$，对任意 $\epsilon >0$，存在 $A_0$，当 $x⩾A_0$ 时 $g(x)<\epsilon$。当 $A⩾A_0$ 时：

$$\left|{\int }_A^{A^{\prime }}f(x)g(x)\mathrm{d}x\right|⩽g(A)\cdot 2M+g(A^{\prime })\cdot 2M<4M\epsilon .$$

第5步：由Cauchy收敛原理，${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)\mathrm{d}x$ 收敛。

证毕

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例子：定理8.2.5 Abel判别法和Dirichlet判别法 — 例子

§3 瑕积分

定理8.2.1’ Cauchy收敛原理（瑕积分）

定理陈述：反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$（$b$ 为瑕点）收敛的充分必要条件是：对任意给定的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对任意 $\eta ,{\eta }^{\prime }\in (0,\delta )$，有：

$$\left|{\int }_{b-\eta }^{b-{\eta }^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x\right|<\epsilon .$$

证明：

核心想法：瑕积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\lim }_{\eta \to 0^{+}}{\int }_a^{b-\eta }f(x)\mathrm{d}x$，令 $G(\eta )={\int }_a^{b-\eta }f(x)\mathrm{d}x$，对 $G(\eta )$ 用Cauchy收敛原理。

第1步：令 $G(\eta )={\int }_a^{b-\eta }f(x)\mathrm{d}x$（$\eta >0$）。瑕积分收敛等价于 ${\lim }_{\eta \to 0^{+}}G(\eta )$ 存在。

第2步：由函数极限的Cauchy收敛原理，${\lim }_{\eta \to 0^{+}}G(\eta )$ 存在的充分必要条件是：对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $0<\eta ,{\eta }^{\prime }<\delta$ 时 $|G(\eta )-G({\eta }^{\prime })|<\epsilon$。

第3步：计算 $G(\eta )-G({\eta }^{\prime })$：

$$G(\eta )-G({\eta }^{\prime })={\int }_a^{b-\eta }f(x)\mathrm{d}x-{\int }_a^{b-{\eta }^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{b-{\eta }^{\prime }}^{b-\eta }f(x)\mathrm{d}x.$$

（不妨设 ${\eta }^{\prime }<\eta$，否则取绝对值即可。）

第4步：因此 $|G(\eta )-G({\eta }^{\prime })|=\left|{\int }_{b-\eta }^{b-{\eta }^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x\right|<\epsilon$，这正是要证明的条件。

证毕

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例子：定理8.2.1’ Cauchy收敛原理（瑕积分） — 例子

定理8.2.3’ Cauchy判别法（瑕积分）

定理陈述：设在 $[a,b)$ 上恒有 $f(x)⩾0$，若当 $x$ 属于 $b$ 的某个左邻域时：

1. 若 $f(x)⩽\frac{K}{(b-x{)}^p}$，且 $p<1$，则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛
2. 若 $f(x)⩾\frac{K}{(b-x{)}^p}$，且 $p⩾1$，则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 发散

证明：

核心想法：与 $\int \frac{1}{(b-x{)}^p}\mathrm{d}x$ 比较，后者收敛当且仅当 $p<1$。

第1步：先计算 ${\int }_a^b\frac{1}{(b-x{)}^p}\mathrm{d}x$。作换元 $t=b-x$：

$${\int }_a^{b-\eta }\frac{1}{(b-x{)}^p}\mathrm{d}x={\int }_{\eta }^{b-a}\frac{1}{t^p}\mathrm{d}t.$$

当 $\eta \to 0^{+}$ 时，${\int }_0^{b-a}\frac{1}{t^p}\mathrm{d}t$ 收敛当且仅当 $p<1$（与定理8.2.3的推导完全类似）。

第2步（证明1）：$f(x)⩽\frac{K}{(b-x{)}^p}$，$p<1$。由比较判别法，${\int }_a^b\frac{K}{(b-x{)}^p}\mathrm{d}x$ 收敛（第1步），所以 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛。

第3步（证明2）：$f(x)⩾\frac{K}{(b-x{)}^p}$，$p⩾1$。由比较判别法的逆否形式，${\int }_a^b\frac{K}{(b-x{)}^p}\mathrm{d}x$ 发散（第1步），所以 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 发散。

证毕

注意：无穷限积分收敛要求 $p>1$，瑕积分收敛要求 $p<1$——两者恰好”相反”，因为换元 $t=b-x$ 将 $x\to b^{-}$ 变为 $t\to 0^{+}$，无穷远处的问题变成了原点附近的问题。

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例子：定理8.2.3’ Cauchy判别法（瑕积分） — 例子

相关链接

• 数学分析 定理索引
• 第七章 定积分
• 第九章 数项级数

来源引用

• [数学分析 陈纪修 第三版 上](raw/数学分析 陈纪修 第三版 上/full.md)