第十六章 Fourier级数 — 例子

定义 三角级数 — 例子

例1：$\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ 是三角级数的一般形式。

例2：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n}$ 是三角级数（仅含正弦项）。

定义：定义 三角级数

定义 Fourier系数 — 例子

例1：$f(x)=x$（$-\pi ⩽x⩽\pi$），$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }xdx=0$，$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }x\cos nxdx=0$（奇函数×偶函数），$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin nxdx=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}$。

定义：定义 Fourier系数

定义 Fourier级数 — 例子

例1：$f(x)=x$ 的Fourier级数为 $2{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin nx=2(\sin x-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{3}\sin 3x-\cdots )$。

例2：方波函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<\pi \\ -1,& -\pi <x<0\end{array}$ 的Fourier级数为 $\frac{4}{\pi }{\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{\sin (2n+1)x}{2n+1}$。

定义：定义 Fourier级数

定义 逐段光滑函数 — 例子

例1：$f(x)=|x|$（$-\pi ⩽x⩽\pi$）逐段光滑（在 $x=0$ 处导数不连续，但左右导数存在）。

例2：$f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处不是逐段光滑的（导数趋于无穷）。

定义：定义 逐段光滑函数

定义 Fourier级数的均方收敛 — 例子

例1：$f(x)=x$ 的Fourier级数部分和 $S_N(x)=2{\sum }_{n=1}^N\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin nx$，均方收敛于 $f(x)$：${\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x)-S_N(x){|}^{2}dx\to 0$（$N\to \infty$）。

定义：定义 Fourier级数的均方收敛

定义 一般周期的Fourier级数 — 例子

例1：$f(x)=x$（$0⩽x⩽2l$），周期 $2l$ 的Fourier级数：$a_0=2l$，$a_n=0$，$b_n=-\frac{2l}{n\pi }(-1{)}^n$，Fourier级数为 $l-\frac{2l}{\pi }{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}\sin \frac{n\pi x}{l}$。

定义：定义 一般周期的Fourier级数

定义 Fourier变换 — 例子

例1：$f(x)=e^{-|x|}$，$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-|x|}{e}^{-i\omega x}dx=\frac{2}{1+{\omega }^2}$。

例2：$f(x)=e^{-x^2}$，$\hat{f}(\omega )=\sqrt{\pi }{e}^{-{\omega }^2/4}$（Gaussian函数的Fourier变换仍为Gaussian）。

定义：定义 Fourier变换

定义 Fourier逆变换 — 例子

例1：$\hat{f}(\omega )=\frac{2}{1+{\omega }^2}$，逆变换 $f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{2}{1+{\omega }^2}{e}^{i\omega x}d\omega =e^{-|x|}$（还原原函数）。

定义：定义 Fourier逆变换

定理 Fourier系数公式 — 例子

例1：$f(x)=x^2$（$-\pi ⩽x⩽\pi$），$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{2}dx=\frac{2{\pi }^2}{3}$，$a_n=\frac{4(-1{)}^n}{n^2}$，$b_n=0$（偶函数）。

定理：定理 Fourier系数公式

定理 Riemann引理 — 例子

例1：${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin nxdx=0$（$f$ 可积）。例如 ${\int }_0^{\pi }x\sin nxdx=\frac{(-1{)}^{n+1}\pi }{n}\to 0$。

定理：定理 Riemann引理

定理 Fourier级数收敛定理 — 例子

例1：$f(x)=x$ 的Fourier级数在 $(-\pi ,\pi )$ 上收敛于 $x$，在 $x=\pm \pi$ 处收敛于0（左右极限平均值）。

定理：定理 Fourier级数收敛定理

定理 Dirichlet引理 — 例子

例1：${\int }_0^{\delta }\frac{\sin (N+\frac{1}{2})t}{t}dt\to \frac{\pi }{2}$（$N\to \infty$），这是Dirichlet积分的核心估计。

定理：定理 Dirichlet引理

定理 Fourier系数的衰减 — 例子

例1：$f(x)=x$ 的Fourier系数 $b_n=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}=O(\frac{1}{n})$（$f$ 逐段光滑但有不连续点，系数 $O(1/n)$）。

例2：$f(x)=x^2$ 的Fourier系数 $a_n=\frac{4(-1{)}^n}{n^2}=O(\frac{1}{n^2})$（$f$ 连续且逐段光滑，系数 $O(1/n^2)$）。

定理：定理 Fourier系数的衰减

定理 Fourier级数逐项积分 — 例子

例1：${\int }_0^{x}tdt=\frac{x^2}{2}$，逐项积分 $2\sum \frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{\int }_0^x\sin ntdt=2\sum \frac{(-1{)}^{n+1}}{n^2}(1-\cos nx)$，这正是 $x^2$ 的Fourier级数（常数项不同）。

定理：定理 Fourier级数逐项积分

定理 Fourier级数逐项微分 — 例子

例1：$f(x)=x^2$ 的Fourier级数逐项微分得 $2x$ 的Fourier级数（需 $f$ 连续且 $f^{\prime }$ 逐段光滑）。

定理：定理 Fourier级数逐项微分

定理 Fourier级数的平方逼近性质 — 例子

例1：$f(x)=x$ 的Fourier部分和 $S_N$ 是所有 $N$ 阶三角多项式中在均方意义下最接近 $f$ 的。

定理：定理 Fourier级数的平方逼近性质

定理 Parseval等式 — 例子

例1：$f(x)=x$（$-\pi ⩽x⩽\pi$），Parseval等式：$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum (a_n^2+b_n^2)$，即 $\frac{2{\pi }^2}{3}=4{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$，得 $\sum \frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$。

定理：定理 Parseval等式

定理 Weierstrass第二逼近定理 — 例子

例1：$f(x)=|x|$（$-\pi ⩽x⩽\pi$）连续且以 $2\pi$ 为周期，可用三角多项式一致逼近。

定理：定理 Weierstrass第二逼近定理

定理 等周不等式 — 例子

例1：周长为 $2\pi$ 的简单闭曲线所围面积的最大值为 $\pi$（圆），由等周不等式 $L^2⩾4\pi A$ 保证。

定理：定理 等周不等式

定理 Fourier积分收敛定理 — 例子

例1：$f(x)=e^{-|x|}$ 的Fourier积分在每点收敛于 $f(x)$（$f$ 连续且绝对可积）。

定理：定理 Fourier积分收敛定理

定理 卷积的Fourier变换 — 例子

例1：$f\ast g$ 的Fourier变换 $=\hat{f}\cdot \hat{g}$。例如 $e^{-|x|}\ast e^{-|x|}$ 的Fourier变换 $=\frac{4}{(1+{\omega }^2{)}^2}$。

定理：定理 卷积的Fourier变换

定理 Parseval等式（Fourier变换） — 例子

例1：${\int }_{-\infty }^{+\infty }|e^{-|x|}{|}^{2}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{4}{(1+{\omega }^2{)}^2}d\omega$。左边 $=1$，右边 $=\frac{1}{2\pi }\cdot 2\pi =1$ ✓

定理：定理 Parseval等式（Fourier变换）