第七章 定积分

本章包含定积分相关的重要定理。

§1 定积分的概念与可积条件

定义7.1.1 定积分（Riemann积分）

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有定义。对 $[a,b]$ 作分割

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b,$$

记 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，$\Vert T\Vert ={\max }_{1⩽i⩽n}\Delta x_i$（分割的模），在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 ${\xi }_i$，作Riemann和

$$S(T,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i.$$

如果极限

$$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i=I$$

存在且与分割及 ${\xi }_i$ 的取法无关，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上Riemann可积（简称可积），极限值 $I$ 称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记为

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=I.$$

例子：定义7.1.1 定积分（Riemann积分） — 例子

定义7.1.2 Darboux上和与Darboux下和

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，$T$ 是 $[a,b]$ 的一个分割。令

$$M_i=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\sup }f(x),m_i=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\inf }f(x),$$

则称

$$\overline{S}(T)=\sum _{i=1}^n{M}_i\Delta x_i$$

为Darboux上和，称

$$\underline{S}(T)=\sum _{i=1}^n{m}_i\Delta x_i$$

为Darboux下和。

例子：定义7.1.2 Darboux上和与Darboux下和 — 例子

定义7.1.3 上积分与下积分

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，称

$$\overline{{\int }_a^b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{T}{\inf }\overline{S}(T)$$

为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的上积分，称

$$\underline{{\int }_a^b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{T}{\sup }\underline{S}(T)$$

为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的下积分。

例子：定义7.1.3 上积分与下积分 — 例子

定义7.3.1 变上限积分

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则称

$$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t(a⩽x⩽b)$$

为 $f(x)$ 的变上限积分（或变上限函数）。

例子：定义7.3.1 变上限积分 — 例子

定义7.4.1 弧长

设曲线的参数方程为 $x=x(t),y=y(t)$（$\alpha ⩽t⩽\beta$），若 $x(t)$ 和 $y(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续且逐段光滑，则曲线的弧长定义为

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}\mathrm{d}t.$$

例子：定义7.4.1 弧长 — 例子

定理7.1.1 Darboux和极限相等

定理陈述：有界函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积的充分必要条件是，对于任意划分 $P$，当 $\lambda ={\max }_{1⩽i⩽n}(\Delta x_i)\to 0$ 时，Darboux大和与Darboux小和的极限相等。

证明：

核心想法：Darboux大和 $\overline{S}(P)$ 是所有可能Riemann和的上确界，Darboux小和 $\underline{S}(P)$ 是下确界。可积意味着Riemann和有唯一极限，这等价于上确界和下确界趋于同一个值。

第1步：回顾定义。对划分 $P:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$，记 $M_i={\sup }_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)$，$m_i={\inf }_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)$。Darboux大和与小和分别为：

$$\overline{S}(P)=\sum _{i=1}^n{M}_i\Delta x_i,\underline{S}(P)=\sum _{i=1}^n{m}_i\Delta x_i.$$

第2步：对同一划分 $P$ 的任意Riemann和 $S(P,\xi )=\sum f({\xi }_i)\Delta x_i$（其中 ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$），因为 $m_i⩽f({\xi }_i)⩽M_i$，所以：

$$\underline{S}(P)⩽S(P,\xi )⩽\overline{S}(P).$$

第3步（必要性）：设 $f$ 在 $[a,b]$ 可积，积分值为 $I$。则对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $\lambda (P)<\delta$ 时，$|S(P,\xi )-I|<\epsilon$ 对一切 $\xi$ 成立。

取 ${\xi }_i$ 使 $f({\xi }_i)$ 充分接近 $M_i$（上确界的性质），可得 $\overline{S}(P)-\epsilon <I+\epsilon$，即 $\overline{S}(P)<I+2\epsilon$。同理 $\underline{S}(P)>I-2\epsilon$。

因此 $0⩽\overline{S}(P)-\underline{S}(P)<4\epsilon$，即 $\overline{S}(P)-\underline{S}(P)\to 0$，两极限相等。

第4步（充分性）：设 ${\lim }_{\lambda \to 0}\overline{S}(P)={\lim }_{\lambda \to 0}\underline{S}(P)=L$。

由第2步，$\underline{S}(P)⩽S(P,\xi )⩽\overline{S}(P)$，且两端都趋于 $L$，由夹逼定理，$S(P,\xi )\to L$，即 $f$ 在 $[a,b]$ 可积。

证毕

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定理7.1.2 振幅趋于零

定理陈述：有界函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积的充分必要条件是，对任意划分，当 $\lambda \to 0$ 时，${\sum }_{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i\to 0$。

证明：

核心想法：$\sum {\omega }_i\Delta x_i$ 就是 $\overline{S}(P)-\underline{S}(P)$，所以这个条件与Darboux和极限相等完全等价。

第1步：记 ${\omega }_i=M_i-m_i$（$f$ 在 $[x_{i-1},x_i]$ 上的振幅），则：

$$\overline{S}(P)-\underline{S}(P)=\sum _{i=1}^n{M}_i\Delta x_i-\sum _{i=1}^n{m}_i\Delta x_i=\sum _{i=1}^n(M_i-m_i)\Delta x_i=\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i.$$

第2步：由定理7.1.1，$f$ 可积 $\iff$ $\overline{S}(P)-\underline{S}(P)\to 0$ $\iff$ $\sum {\omega }_i\Delta x_i\to 0$。

证毕

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定理7.1.3 可积的充要条件

定理陈述：有界函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积的充分必要条件是，对任意给定的 $\epsilon >0$ 存在着一种划分，使得相应的振幅满足 ${\sum }_{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon$。

证明：

核心想法：这个条件只要求”存在一种划分”而非”对一切足够细的划分”，但利用加细性质可以证明两者等价。

第1步（必要性）：设 $f$ 可积。由定理7.1.2，$\sum {\omega }_i\Delta x_i\to 0$（$\lambda \to 0$）。所以对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $\lambda <\delta$ 时 $\sum {\omega }_i\Delta x_i<\epsilon$。取一个满足 $\lambda <\delta$ 的划分即可。

第2步（充分性）：设对任意 $\epsilon >0$，存在划分 $P^{\ast }$ 使 $\sum {\omega }_i\Delta x_i<\epsilon$。

关键事实：对任意划分 $P$，若 $P$ 是 $P^{\ast }$ 的加细（即 $P^{\ast }$ 的分点都是 $P$ 的分点），则 ${\sum }_P{\omega }_i\Delta x_i⩽{\sum }_{P^{\ast }}{\omega }_i\Delta x_i$（加细不会增大振幅和）。

第3步：对任意 $\lambda$ 足够小的划分 $P$，将 $P$ 与 $P^{\ast }$ 的分点合并得到公共加细 $P\cup P^{\ast }$。则：

$$\sum _{P\cup P^{\ast }}{\omega }_i\Delta x_i⩽\sum _{P^{\ast }}{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon .$$

第4步：需要比较 ${\sum }_P{\omega }_i\Delta x_i$ 与 ${\sum }_{P\cup P^{\ast }}{\omega }_i\Delta x_i$。设 $P^{\ast }$ 有 $k$ 个分点，则 $P\cup P^{\ast }$ 比 $P$ 至多多 $k$ 个分点。每个多出的分点将某个小区间一分为二，振幅和的变化量不超过 $2\Vert f\Vert \cdot \lambda$（其中 $\Vert f\Vert =\sup |f|$）。所以：

$$\sum _P{\omega }_i\Delta x_i⩽\sum _{P\cup P^{\ast }}{\omega }_i\Delta x_i+2k\Vert f\Vert \lambda <\epsilon +2k\Vert f\Vert \lambda .$$

当 $\lambda \to 0$ 时，${\sum }_P{\omega }_i\Delta x_i⩽\epsilon$。由 $\epsilon$ 的任意性，$\sum {\omega }_i\Delta x_i\to 0$，$f$ 可积。

证毕

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§3 定积分的计算

定理7.3.1 变上限积分函数

定理陈述：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，作函数 $\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则 $\Phi (x)$ 在 $[a,b]$ 上连续；若 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续，则 $\Phi (x)$ 在点 $x_0$ 可导，且 ${\Phi }^{\prime }(x_0)=f(x_0)$。

证明：

核心想法：$\Phi (x+h)-\Phi (x)={\int }_x^{x+h}f(t)\mathrm{d}t$。当 $f$ 连续时，$f(t)$ 在 $x$ 附近接近 $f(x)$，所以积分近似于 $f(x)\cdot h$。

第1步（连续性）：因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，所以 $f$ 有界，设 $|f(x)|⩽M$。对任意 $x,x+h\in [a,b]$：

$$|\Phi (x+h)-\Phi (x)|=\left|{\int }_x^{x+h}f(t)\mathrm{d}t\right|⩽M|h|.$$

当 $h\to 0$ 时，$M|h|\to 0$，所以 $\Phi$ 在 $x$ 处连续。

第2步（可导性）：设 $f$ 在 $x_0$ 处连续。对 $h\ne 0$（$x_0+h\in [a,b]$）：

$$\frac{\Phi (x_0+h)-\Phi (x_0)}{h}=\frac{1}{h}{\int }_{x_0}^{x_0+h}f(t)\mathrm{d}t.$$

第3步：因为 $f$ 在 $x_0$ 连续，对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $|t-x_0|<\delta$ 时 $|f(t)-f(x_0)|<\epsilon$。

第4步：当 $|h|<\delta$ 时，对 $t\in [x_0,x_0+h]$（或 $[x_0+h,x_0]$），$|t-x_0|⩽|h|<\delta$，所以 $f(x_0)-\epsilon <f(t)<f(x_0)+\epsilon$。

第5步：积分得：

$$(f(x_0)-\epsilon )h⩽{\int }_{x_0}^{x_0+h}f(t)\mathrm{d}t⩽(f(x_0)+\epsilon )h(\text{当 }h>0).$$

（$h<0$ 时不等号方向反转，但最终结果相同。）

第6步：除以 $h$：

$$f(x_0)-\epsilon ⩽\frac{1}{h}{\int }_{x_0}^{x_0+h}f(t)\mathrm{d}t⩽f(x_0)+\epsilon .$$

即 $\left|\frac{\Phi (x_0+h)-\Phi (x_0)}{h}-f(x_0)\right|<\epsilon$。

第7步：由 $\epsilon$ 的任意性，${\Phi }^{\prime }(x_0)=f(x_0)$。

证毕

意义：这个定理建立了积分与微分的桥梁——变上限积分函数的导数就是被积函数。它是Newton-Leibniz公式的基础。

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例子：定理7.3.1 变上限积分函数 — 例子

定理7.3.2 微积分基本定理（Newton-Leibniz公式）

定理陈述：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则成立：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a).$$

证明：

核心想法：变上限积分 $\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 也是一个原函数（定理7.3.1），两个原函数只差一个常数，用端点条件确定常数即可。

第1步：因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，由定理7.3.1，$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 ${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$。所以 $\Phi (x)$ 是 $f$ 的一个原函数。

第2步：设 $F(x)$ 是 $f$ 的另一个原函数，则 $F^{\prime }(x)=f(x)={\Phi }^{\prime }(x)$。由定理5.1.4（导数为零的函数是常数），$F(x)-\Phi (x)=C$（常数）。

第3步：确定常数 $C$。令 $x=a$：

$$F(a)-\Phi (a)=F(a)-{\int }_a^{a}f(t)\mathrm{d}t=F(a)-0=C.$$

所以 $C=F(a)$，即 $F(x)=\Phi (x)+F(a)$。

第4步：令 $x=b$：

$$F(b)=\Phi (b)+F(a)={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t+F(a).$$

移项得 ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=F(b)-F(a)$。

证毕

意义：Newton-Leibniz公式将定积分的计算转化为求原函数，是微积分学最重要的定理之一。

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定理7.3.3 分部积分公式

定理陈述：设 $u(x),v(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有连续导数，则：

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x={u(x)v(x)|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x.$$

证明：

核心想法：对乘积的求导法则 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 两边积分。

第1步：因为 $u,v$ 有连续导数，所以 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 在 $[a,b]$ 上连续。

第2步：对等式两边从 $a$ 到 $b$ 积分，由Newton-Leibniz公式：

$${\int }_a^b(uv{)}^{\prime }\mathrm{d}x={\int }_a^b{u}^{\prime }v\mathrm{d}x+{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }\mathrm{d}x.$$

第3步：左端由Newton-Leibniz公式：

$${\int }_a^b(uv{)}^{\prime }\mathrm{d}x=u(b)v(b)-u(a)v(a)={uv|}_a^b.$$

第4步：代入移项：

$${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }\mathrm{d}x={uv|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }v\mathrm{d}x.$$

证毕

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例子：定理7.3.3 分部积分公式 — 例子

定理7.3.4 换元积分公式

定理陈述：设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，$x=\phi (t)$ 在区间 $[\alpha ,\beta ]$ 上有连续导数，其值域包含于 $[a,b]$，且满足 $\phi (\alpha )=a$ 和 $\phi (\beta )=b$，则：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t.$$

证明：

核心想法：设 $F$ 是 $f$ 的原函数，则 $F(\phi (t))$ 是 $f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)$ 的原函数（链式法则），两端都用Newton-Leibniz公式即可。

第1步：因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 是 $f$ 的原函数，$F^{\prime }(x)=f(x)$。

第2步：考虑复合函数 $G(t)=F(\phi (t))$。由链式法则（定理4.4.1）：

$$G^{\prime }(t)=F^{\prime }(\phi (t))\cdot {\phi }^{\prime }(t)=f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t).$$

所以 $G(t)$ 是 $f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)$ 的原函数。

第3步：对左端用Newton-Leibniz公式：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a).$$

第4步：对右端用Newton-Leibniz公式：

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=G(\beta )-G(\alpha )=F(\phi (\beta ))-F(\phi (\alpha ))=F(b)-F(a).$$

第5步：两端相等。

证毕

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定理7.3.5 奇偶函数积分

定理陈述：设 $f(x)$ 在对称区间 $[-a,a]$ 上可积，若 $f(x)$ 是奇函数，则 ${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0$；若 $f(x)$ 是偶函数，则 ${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x$。

证明：

核心想法：将积分拆成 $[-a,0]$ 和 $[0,a]$ 两段，对第一段作换元 $x=-t$，利用奇偶性化简。

第1步：拆分积分：

$${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{-a}^{0}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x.$$

第2步：对第一项作换元 $x=-t$，$\mathrm{d}x=-\mathrm{d}t$，当 $x=-a$ 时 $t=a$，当 $x=0$ 时 $t=0$：

$${\int }_{-a}^{0}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{0}f(-t)(-\mathrm{d}t)={\int }_0^{a}f(-t)\mathrm{d}t={\int }_0^{a}f(-x)\mathrm{d}x.$$

第3步（奇函数情形）：$f(-x)=-f(x)$，所以：

$${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^a(-f(x))\mathrm{d}x+{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x=0.$$

第4步（偶函数情形）：$f(-x)=f(x)$，所以：

$${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x.$$

证毕

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例子：定理7.3.5 奇偶函数积分 — 例子

定理7.3.6 周期函数积分

定理陈述：设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的可积函数，则对任意 $a$：

$${\int }_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x.$$

证明：

核心想法：将积分拆成三段，利用换元和周期性消去 $a$ 的依赖。

第1步：拆分积分：

$${\int }_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{T}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_T^{a+T}f(x)\mathrm{d}x.$$

（这里设 $0⩽a⩽T$；若 $a$ 不在此范围，可先取模调整，证明思路相同。）

第2步：对第二项作换元 $x=t+T$，$\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$，当 $x=T$ 时 $t=0$，当 $x=a+T$ 时 $t=a$：

$${\int }_T^{a+T}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{a}f(t+T)\mathrm{d}t={\int }_0^{a}f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x.$$

最后一步用了 $f(t+T)=f(t)$（周期性）。

第3步：合并：

$${\int }_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{T}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x.$$

证毕

意义：周期函数在一个完整周期上的积分值与起点无关。

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例子：定理7.3.6 周期函数积分 — 例子

§4 定积分的应用

定理7.4.1 弧长公式

定理陈述：若曲线由参数方程 $x=x(t),y=y(t)$（$\alpha ⩽t⩽\beta$）给出，且 $x(t),y(t)$ 有连续导数，则弧长为：

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t.$$

证明：

核心想法：将曲线分成许多小段，每段近似为直线段，求和后取极限。

第1步：对 $[\alpha ,\beta ]$ 作划分 $\alpha =t_0<t_1<\cdots <t_n=\beta$，曲线上对应点为 $P_i=(x(t_i),y(t_i))$。

第2步：折线长为：

$$L_n=\sum _{i=1}^n|P_{i-1}{P}_i|=\sum _{i=1}^n\sqrt{[x(t_i)-x(t_{i-1}){]}^2+[y(t_i)-y(t_{i-1}){]}^2}.$$

第3步：由微分中值定理，存在 ${\tau }_i,{\sigma }_i\in (t_{i-1},t_i)$ 使得：

$$x(t_i)-x(t_{i-1})=x^{\prime }({\tau }_i)\Delta t_i,y(t_i)-y(t_{i-1})=y^{\prime }({\sigma }_i)\Delta t_i.$$

第4步：因为 $x^{\prime },y^{\prime }$ 连续，在小区间上变化很小。当 $\lambda =\max \Delta t_i\to 0$ 时，${\tau }_i$ 和 ${\sigma }_i$ 都在 $[t_{i-1},t_i]$ 中，可以证明：

$$L_n\to {\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t.$$

具体地，记 ${\phi }_i=\sqrt{x^{\prime 2}({\tau }_i)+y^{\prime 2}({\sigma }_i)}$，${\psi }_i=\sqrt{x^{\prime 2}({\tau }_i)+y^{\prime 2}({\tau }_i)}$。由 $y^{\prime }$ 的连续性，$|y^{\prime }({\sigma }_i)-y^{\prime }({\tau }_i)|\to 0$，所以 $|{\phi }_i-{\psi }_i|\to 0$。而 $\sum {\psi }_i\Delta t_i$ 是连续函数 $\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}$ 的Riemann和，趋于积分值。因此 $L_n$ 也趋于同一积分值。

第5步：弧长定义为折线长的极限，即：

$$s=\underset{\lambda \to 0}{\lim }{L}_n={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t.$$

证毕

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例子：定理7.4.1 弧长公式 — 例子

§6 定积分的近似计算

定理7.6.1 Newton-Cotes公式误差估计

定理陈述：设 $f^{(n+1)}(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，则用Newton-Cotes公式计算 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 的误差 $R_n(f)$ 满足相应的估计式。

证明：

核心想法：Newton-Cotes公式用 $n$ 次插值多项式近似 $f$，误差来自插值余项的积分。

第1步：Newton-Cotes公式用等距节点 $x_k=a+kh$（$h=\frac{b-a}{n}$，$k=0,1,\dots ,n$）上的Lagrange插值多项式 $L_n(x)$ 近似 $f(x)$：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx {\int }_a^b{L}_n(x)\mathrm{d}x.$$

第2步：误差为：

$$R_n(f)={\int }_a^b[f(x)-L_n(x)]\mathrm{d}x={\int }_a^b\frac{f^{(n+1)}({\xi }_x)}{(n+1)!}\omega (x)\mathrm{d}x,$$

其中 $\omega (x)={\prod }_{k=0}^n(x-x_k)$，${\xi }_x\in [a,b]$。

第3步：当 $n$ 为偶数时，$\omega (x)$ 在 $[a,b]$ 上不变号，由积分中值定理：

$$R_n(f)=\frac{f^{(n+1)}(\eta )}{(n+1)!}{\int }_a^b\omega (x)\mathrm{d}x,\eta \in [a,b].$$

第4步：计算 ${\int }_a^b\omega (x)\mathrm{d}x$ 即得具体的误差系数。例如 $n=1$（梯形公式）时，$\omega (x)=(x-a)(x-b)$，${\int }_a^b(x-a)(x-b)\mathrm{d}x=-\frac{(b-a{)}^3}{6}$，所以：

$$R_1(f)=-\frac{(b-a{)}^3}{12}{f}^{\prime \prime }(\eta ).$$

第5步：当 $n$ 为奇数时，误差阶可以提高到 $n+2$（利用对称性），具体分析类似但更复杂。

证毕

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例子：定理7.6.1 Newton-Cotes公式误差估计 — 例子

相关链接

• 数学分析 定理索引
• 第六章 不定积分
• 第八章 反常积分

来源引用

• [数学分析 陈纪修 第三版 上](raw/数学分析 陈纪修 第三版 上/full.md)