第三章 函数极限与连续函数 — 例子

定义 函数极限（$\epsilon$-$\delta$ 定义） — 例子

例1：${\lim }_{x\to 2}(3x-1)=5$。验证：$|3x-1-5|=3|x-2|$，取 $\delta =\epsilon /3$，当 $0<|x-2|<\delta$ 时 $|f(x)-5|<\epsilon$。

例2：${\lim }_{x\to 0}{x}^2=0$。$|x^2-0|=x^2$，取 $\delta =\sqrt{\epsilon }$，当 $|x|<\delta$ 时 $x^2<\epsilon$。

定义：[[第三章 函数极限与连续函数#定义 函数极限（$\epsilon$-$\delta$ 定义）]]

定义 函数的左极限与右极限 — 例子

例1：$f(x)=\frac{|x|}{x}$。${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1$，${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-1$。左极限 $\ne$ 右极限，故[[第三章 函数极限与连续函数#定义 函数极限（$\epsilon$-$\delta$ 定义）|极限]]${\lim }_{x\to 0}f(x)$ 不存在。

定义：定义 函数的左极限与右极限

定义 函数在无穷远处的极限 — 例子

例1：${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x}=0$。验证：对任意 $\epsilon >0$，取 $M=\frac{1}{\epsilon }$，当 $x>M$ 时 $|\frac{1}{x}|<\epsilon$。

定义：定义 函数在无穷远处的极限

定义 函数在一点连续 — 例子

例1：$f(x)=x^2$ 在 $x=2$ 连续：${\lim }_{x\to 2}{x}^2=4=f(2)$。

例2：$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\ne 1\\ 0,& x=1\end{array}$ 在 $x=1$ 不连续：${\lim }_{x\to 1}f(x)=1\ne 0=f(1)$。

定义：定义 函数在一点连续

定义 函数在一点左连续与右连续 — 例子

例1：$f(x)=\sqrt{x}$ 在 $x=0$ 右连续（${\lim }_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}=0=f(0)$），但无左连续概念（定义域限制）。

定义：定义 函数在一点左连续与右连续

定义 函数在区间上连续 — 例子

例1：$f(x)=\sin x$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续。

例2：$f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上连续，但在 $[0,+\infty )$ 上不连续（$x=0$ 处无定义）。

定义：定义 函数在区间上连续

定义 函数的间断点 — 例子

例1：$f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处是可去间断点（${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ 存在，但 $f(0)$ 无定义）。

例2：$f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处是第二类间断点（极限为无穷）。

例3：$f(x)=\text{sgn}(x)$ 在 $x=0$ 处是跳跃间断点（左极限-1，右极限1）。

定义：定义 函数的间断点

定义 一致连续 — 例子

例1：$f(x)=2x$ 在 $\mathbf{R}$ 上一致连续：$|f(x_1)-f(x_2)|=2|x_1-x_2|$，取 $\delta =\epsilon /2$。

例2：$f(x)=x^2$ 在 $\mathbf{R}$ 上不一致连续：取 $x_1=n+\frac{1}{n}$，$x_2=n$，$|x_1-x_2|=\frac{1}{n}\to 0$，但 $|f(x_1)-f(x_2)|=2+\frac{1}{n^2}>2$。但在 $[0,1]$ 上一致连续（[[第三章 函数极限与连续函数#定理-cantor定理|闭区间上连续 $\Rightarrow$ 一致连续]]）。

定义：定义 一致连续

定义 无穷大量（函数） — 例子

例1：${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty$：对任意 $M>0$，取 $\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}$，当 $0<|x|<\delta$ 时 $\frac{1}{x^2}>M$。

定义：定义 无穷大量（函数）

定义 无穷小量（函数） — 例子

例1：$x\to 0$ 时，$x$，$x^2$，$\sin x$ 都是无穷小量。

定义：定义 无穷小量（函数）

定义 无穷小量的阶 — 例子

例1：$x\to 0$ 时，$\sin x\sim x$（等价无穷小），$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$（二阶无穷小），$\sqrt[3]{x}$ 是 $\frac{1}{3}$ 阶无穷小。

定义：定义 无穷小量的阶

定理 极限惟一性 — 例子

例1：${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，极限惟一。若假设极限也为 $a\ne 1$，取 $\epsilon =\frac{|1-a|}{2}$ 即可推出矛盾。

定理：定理 极限惟一性

定理 局部保序性 — 例子

例1：${\lim }_{x\to 0}(x^2+1)=1>0$，由局部保序性，存在 $\delta >0$，当 $|x|<\delta$ 时 $x^2+1>0$。

例2：${\lim }_{x\to 1}(2x)=2>{\lim }_{x\to 1}x=1$，故在 $x=1$ 附近 $2x>x$。

定理：定理 局部保序性

定理 夹逼定理 — 例子

例1：求 ${\lim }_{x\to 0}{x}^2\sin \frac{1}{x}$。因 $-x^2⩽x^2\sin \frac{1}{x}⩽x^2$，且 ${\lim }_{x\to 0}(\pm x^2)=0$，由夹逼定理得极限为0。

例2：求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$。由 $|\sin x|⩽|x|⩽|\tan x|$（$0<|x|<\frac{\pi }{2}$），可得 $\cos x⩽\frac{\sin x}{x}⩽1$，由夹逼定理得极限为1。

定理：定理 夹逼定理

定理 四则运算 — 例子

例1：${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2+1}{x-1}=\frac{{\lim }_{x\to 2}(x^2+1)}{{\lim }_{x\to 2}(x-1)}=\frac{5}{1}=5$（由四则运算）。

例2：${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2-x}{x}={\lim }_{x\to 0}(x-1)=-1$（先约分再求极限）。

定理：定理 四则运算

定理 反函数存在性定理 — 例子

例1：$f(x)=x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增且连续，反函数$f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ 存在且连续。

例2：$f(x)=e^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增且连续，反函数 $f^{-1}(x)=\ln x$ 在 $(0,+\infty )$ 上连续。

定理：定理 反函数存在性定理

定理 反函数连续性定理 — 例子

例1：$f(x)=\sin x$ 在 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 上严格单调递增且连续，由反函数连续性定理，反函数 $\arcsin x$ 在 $[-1,1]$ 上连续。

定理：定理 反函数连续性定理

定理 复合函数连续性 — 例子

例1：$f(x)=\sin x$ 连续，$g(x)=x^2$ 连续，由复合函数连续性，则 $f\circ g(x)=\sin (x^2)$ 连续。

例2：$f(x)=e^x$ 连续，$g(x)=\cos x$ 连续，则 $e^{\cos x}$ 连续。

定理：定理 复合函数连续性

定理 初等函数连续性 — 例子

例1：${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2+\ln x}{e^x+\sin x}=\frac{1+0}{e+\sin 1}$（由初等函数连续性，直接代入）。

例2：${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1}{2}$。

定理：定理 初等函数连续性

定理 有界性定理 — 例子

例1：$f(x)=\sin x$ 在 $[0,\pi ]$ 上连续，由有界性定理故有界。事实上 $0⩽\sin x⩽1$。

例2：$f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上连续但无界——开区间不满足定理条件。

定理：定理 有界性定理

定理 最值定理 — 例子

例1：$f(x)=x^2$ 在 $[-1,2]$ 上连续，由最值定理，最大值 $f(2)=4$，最小值 $f(0)=0$。

例2：$f(x)=\sin x$ 在 $[0,2\pi ]$ 上连续，最大值1，最小值-1。

定理：定理 最值定理

定理 介值定理 — 例子

例1：证明 $x^3-x-1=0$ 在 $(1,2)$ 中有根。$f(1)=-1<0$，$f(2)=5>0$，由介值定理存在 $c\in (1,2)$ 使 $f(c)=0$。

例2：证明任何奇数次实系数多项式至少有一个实根。设 $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0$（$n$ 为奇数），${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$ 与 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ 异号，由介值定理得证。

定理：定理 介值定理

定理 一致连续性 — 例子

例1：$f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上一致连续（闭区间上连续），但在 $[0,+\infty )$ 上也一致连续（可证 $|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|⩽\sqrt{|x_1-x_2|}$）。

例2：$f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续：取 $x_1=\frac{1}{n}$，$x_2=\frac{1}{n+1}$，$|x_1-x_2|\to 0$ 但 $|f(x_1)-f(x_2)|=1\nrightarrow 0$。

定理：定理 一致连续性

定理 Cantor定理 — 例子

例1：$f(x)=\sin x$ 在 $[0,2\pi ]$ 上一致连续（闭区间上连续，由Cantor定理）。

例2：$f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上一致连续，但在 $\mathbf{R}$ 上不一致连续——Cantor定理要求闭区间。

定理：定理 Cantor定理

定理 等价无穷小代换 — 例子

例1：${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\tan 2x}={\lim }_{x\to 0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$（由等价无穷小代换，$\sin 3x\sim 3x$，$\tan 2x\sim 2x$）。

例2：${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}={\lim }_{x\to 0}\frac{\frac{x^2}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}$（$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$）。

定理：定理 等价无穷小代换