高等代数定理索引

本索引收录《高等代数》（第五版，北大数学系前代数小组，王萼芳、石生明）各章定理。

第一章多项式

编号	定理名称	简要内容
1.1	整除的充要条件	$g (x) ∣ f (x) \Leftrightarrow$ 余式为零
1.2	最大公因式存在定理	最大公因式可表为组合
1.3	互素的充要条件	$u (x) f (x) + v (x) g (x) = 1$
1.4	互素与整除	互素且整除乘积则整除因子
1.5	不可约多项式的整除性质	不可约多项式整除乘积则整除因子之一
—	因式分解及唯一性定理	多项式可唯一分解为不可约多项式乘积
1.6	重因式与微商	$k$ 重因式是微商的 $k - 1$ 重因式
1.7	余数定理	$f (α)$ 等于 $x - α$ 除 $f (x)$ 的余数
1.8	多项式根的个数	$n$ 次多项式至多 $n$ 个根
1.9	多项式相等判定	$n + 1$ 个点值相同则多项式相等
1.10	高斯引理	本原多项式之积仍为本原
1.11	整系数多项式的分解	有理分解可化为整系数分解
1.12	有理根的性质	有理根 $\frac{r}{s}$ 满足 $s ∣ a_{n}, r ∣ a_{0}$
1.13	艾森斯坦判别法	素数条件判定有理数域不可约
1.14	多元多项式首项	乘积首项等于首项之积
1.15	对称多项式基本定理	对称多项式可表为初等对称多项式的多项式

详见：第一章多项式

第二章行列式

编号	定理名称	简要内容
2.1	对换与排列奇偶性	对换改变排列的奇偶性
2.2	排列的对换	任意排列可经对换变为标准排列
2.3	行列式按行（列）展开	代数余子式展开公式
2.4	克拉默法则	行列式非零时方程组有唯一解
2.5	齐次线性方程组的非零解	行列式非零则只有零解
2.6	拉普拉斯定理	$k$ 阶子式与代数余子式乘积之和
2.7	行列式乘积公式	两个行列式之积等于对应行列式

详见：第二章行列式

第三章线性方程组

编号	定理名称	简要内容
3.1	齐次线性方程组的非零解	方程个数少于未知量个数必有非零解
3.2	线性相关与线性表出	可表出且个数多则线性相关
3.3	极大线性无关组	极大线性无关组含相同个数向量
3.4	矩阵的秩	行秩 = 列秩 = 秩
3.5	齐次方程组非零解的充要条件	行列式为零
3.6	克拉默法则及其逆定理	唯一解 $\Leftrightarrow$ 行列式非零
3.7	有解判别定理	系数矩阵与增广矩阵同秩
3.8	基础解系	基础解系含 $n - r$ 个解
3.9	非齐次方程组解的结构	特解加导出组通解
3.10	结式	结式为零的充要条件
3.11	多项式方程组的解	复数解与结式根的关系

详见：第三章线性方程组

第四章矩阵

编号	定理名称	简要内容
4.1	矩阵乘积的行列式	$
4.2	矩阵乘积的秩	秩 $(A B) ⩽ min [$ 秩 $(A)$ , 秩 $(B)]$
4.3	可逆矩阵的充要条件	可逆 $\Leftrightarrow$ 非退化
4.4	可逆矩阵乘积的秩	左/右乘可逆矩阵秩不变
4.5	矩阵的等价标准形	任意矩阵等价于标准形
4.6	可逆矩阵与初等矩阵	可逆 $\Leftrightarrow$ 初等矩阵之积

详见：第四章矩阵

第五章二次型

编号	定理名称	简要内容
5.1	二次型化为平方和	非退化线性替换化平方和
5.2	对称矩阵合同于对角矩阵	对称矩阵可合同对角化
5.3	复二次型的规范形	复规范形唯一
5.4	惯性定理	实规范形唯一
5.5	复对称矩阵的合同标准形	复对称矩阵合同标准形由秩决定
5.6	正定二次型的充要条件	正惯性指数等于 $n$
5.7	正定矩阵的顺序主子式判定	顺序主子式全大于零
5.8	半正定二次型的等价条件	五个等价条件

详见：第五章二次型

第六章线性空间

编号	定理名称	简要内容
6.1	线性空间的维数	$n$ 个线性无关且可表出则 $n$ 维
6.2	子空间的判定	对运算封闭则为子空间
6.3	生成子空间	等价向量组生成相同子空间
6.4	基的扩充	子空间基可扩充为全空间基
6.5	子空间的交	交是子空间
6.6	子空间的和	和是子空间
6.7	维数公式	维 $(V_{1})$ + 维 $(V_{2})$ = 维 $(V_{1} + V_{2})$ + 维 $(V_{1} \cap V_{2})$
6.8	直和的充要条件	零向量表法唯一
6.9	直和的维数条件	维数之和等于和的维数
6.10	子空间的补空间	补空间存在
6.11	多个子空间直和的等价条件	四个等价条件
6.12	线性空间同构的充要条件	维数相同

详见：第六章线性空间

第七章线性变换

编号	定理名称	简要内容
7.1	线性变换由基上的像唯一确定	基上像确定则变换唯一
7.2	线性变换与矩阵的对应保持运算	和、积、数乘、逆均对应
7.3	向量坐标的计算	像的坐标 = 矩阵 × 原坐标
7.4	不同基下矩阵的关系	$B = X^{- 1} A X$
7.5	线性变换与矩阵相似的对应	相似矩阵对应同一变换
7.6	相似矩阵的特征多项式	相似矩阵特征多项式相同
—	哈密顿-凯莱定理	$f (A) = O$
7.7	可对角化的充要条件	有 $n$ 个线性无关特征向量
7.8	不同特征值的特征向量线性无关	不同特征值对应的特征向量线性无关
7.9	不同特征值的特征向量组合	各特征子空间基合起来仍线性无关
7.10	线性变换的秩与矩阵的秩	秩相等
7.11	秩与零度之和	秩 + 零度 = $n$
7.12	不变子空间的直和分解	按特征值分解为不变子空间直和
7.13	若尔当标准形存在定理	复线性变换必有若尔当标准形
7.14	复矩阵的若尔当标准形	复矩阵相似于若尔当形
7.15	可对角化与最小多项式	最小多项式无重根则可对角化

详见：第七章线性变换

第八章 λ-矩阵

编号	定理名称	简要内容
8.1	λ-矩阵可逆的充要条件	行列式为非零常数
8.2	λ-矩阵的标准形	等价于对角标准形
8.3	等价λ-矩阵的不变量	相同的秩与行列式因子
8.4	标准形的唯一性	标准形唯一
8.5	λ-矩阵等价的充要条件	相同的行列式因子或不变因子
8.6	可逆λ-矩阵与初等矩阵	可逆 $\Leftrightarrow$ 初等矩阵之积
8.7	矩阵相似的充要条件	特征矩阵等价
8.8	复矩阵相似的充要条件	相同的初等因子
8.9	初等因子的求法	对角化后分解一次因式方幂
8.10	复矩阵的若尔当标准形	每个复矩阵相似于若尔当形
8.11	线性变换的若尔当标准形	复线性变换有若尔当标准形
8.12	可对角化与初等因子	初等因子全为一次
8.13	可对角化与不变因子	不变因子无重根
8.14	有理标准形	有理标准形存在且唯一
8.15	线性变换的有理标准形	线性变换有有理标准形

详见：第八章 λ-矩阵

第九章欧几里得空间

编号	定理名称	简要内容
9.1	正交向量组的扩充	正交组可扩充为正交基
9.2	施密特正交化	任意基可化为标准正交基
9.3	欧氏空间同构的充要条件	维数相同
9.4	正交变换的等价刻画	四个等价条件
9.5	两两正交子空间的直和	两两正交则和为直和
9.6	正交补的存在与唯一性	正交补存在且唯一
9.7	实对称矩阵的正交对角化	正交矩阵对角化实对称矩阵
9.8	实二次型的正交化简	正交替换化实二次型为平方和

详见：第九章欧几里得空间

第十章双线性函数与辛空间

编号	定理名称	简要内容
10.1	线性函数的存在与唯一性	基上值确定则线性函数唯一
10.2	对偶空间的维数	对偶空间维数等于原空间维数
10.3	对偶基的过渡矩阵	过渡矩阵为 $(A^{T})^{- 1}$
10.4	二次对偶同构	$V ≅ V^{**}$
10.5	对称双线性函数的对角化	度量矩阵可对角化
10.6	反称双线性函数的标准形	辛正交基下的标准形
10.7	辛空间中子空间正交补的维数	维 $(W^{⊥})$ = 维 $(V)$ - 维 $(W)$
10.8	拉格朗日子空间基的扩充	拉格朗日子空间基可扩充为辛正交基
10.9	辛子空间基的扩充	辛子空间基可扩充为辛正交基
10.10	辛变换下的子空间对应	辛变换可将同类子空间互变
10.11	辛变换特征多项式的性质	$f (λ) = λ^{2 n} f (1/ λ)$
10.12	辛变换特征子空间的辛正交性	特征值乘积不为1则特征子空间辛正交

详见：第十章双线性函数与辛空间