第九章 欧几里得空间

本章包含欧氏空间的标准正交基、正交变换、子空间正交补及实对称矩阵正交对角化相关的基础定理。

定义9.1 欧几里得空间

设 $V$ 是实数域 $\mathbf{R}$ 上的线性空间。如果在 $V$ 上定义了一个二元实函数（称为内积），记为 $(\alpha ,\beta )$，满足对任意 $\alpha ,\beta ,\gamma \in V$ 和 $k\in \mathbf{R}$：

（1）$(\alpha ,\beta )=(\beta ,\alpha )$（对称性）；

（2）$(k\alpha ,\beta )=k(\alpha ,\beta )$（线性性之一）；

（3）$(\alpha +\beta ,\gamma )=(\alpha ,\gamma )+(\beta ,\gamma )$（线性性之二）；

（4）$(\alpha ,\alpha )⩾0$，且 $(\alpha ,\alpha )=0$ 当且仅当 $\alpha =0$（正定性），

则称 $V$ 为欧几里得空间（简称欧氏空间）。

例子：定义9.1 欧几里得空间 — 例子

定义9.2 向量的长度与距离

设 $V$ 是欧氏空间，$\alpha \in V$。称

$$|\alpha |=\sqrt{(\alpha ,\alpha )}$$

为 $\alpha$ 的长度（或模）。称

$$d(\alpha ,\beta )=|\alpha -\beta |$$

为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的距离。

例子：定义9.2 向量的长度与距离 — 例子

定义9.3 正交

设 $V$ 是欧氏空间。如果 $(\alpha ,\beta )=0$，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交，记为 $\alpha \perp \beta$。如果向量组中每个向量都非零且两两正交，则称为正交向量组。

例子：定义9.3 正交 — 例子

定义9.4 标准正交基

如果欧氏空间 $V$ 的一组基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 满足

$$({\epsilon }_i,{\epsilon }_j)={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& i=j,\\ 0,& i\ne j,\end{array}$$

则称其为标准正交基（或规范正交基）。

例子：定义9.4 标准正交基 — 例子

定义9.5 正交矩阵

设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵。如果 $A^{\prime }A=E$（即 $A^{-1}=A^{\prime }$），则称 $A$ 为正交矩阵。

例子：定义9.5 正交矩阵 — 例子

定义9.6 正交变换

设 $\mathcal{A}$ 是欧氏空间 $V$ 上的线性变换。如果对任意 $\alpha ,\beta \in V$，都有

$$(\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\beta )=(\alpha ,\beta ),$$

则称 $\mathcal{A}$ 为正交变换。

例子：定义9.6 正交变换 — 例子

定义9.7 正交补

设 $W$ 是欧氏空间 $V$ 的子空间。称

$$W^{\perp }=\{\alpha \in V\mid (\alpha ,\beta )=0,\forall \beta \in W\}$$

为 $W$ 的正交补。

例子：定义9.7 正交补 — 例子

定义9.8 对称变换

设 $\mathcal{A}$ 是欧氏空间 $V$ 上的线性变换。如果对任意 $\alpha ,\beta \in V$，都有

$$(\mathcal{A}\alpha ,\beta )=(\alpha ,\mathcal{A}\beta ),$$

则称 $\mathcal{A}$ 为对称变换。对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。

定理9.1 正交向量组的扩充

$n$ 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。

证

设 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 是正交向量组（$m<n$）。令 $W=L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$。

$W^{\perp }=\{\beta \in V\mid (\beta ,{\alpha }_i)=0,i=1,\dots ,m\}$。这是 $m$ 个齐次线性方程，$n$ 个未知量，解空间维数 $⩾n-m>0$，故 $W^{\perp }\ne \{0\}$。

取 ${\alpha }_{m+1}\in W^{\perp }$，${\alpha }_{m+1}\ne 0$，则 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m,{\alpha }_{m+1}$ 仍是正交向量组。重复此过程，直到得到 $n$ 个正交向量，即为正交基。

证毕

例子：定理9.1 内积的性质 — 例子

定理9.2 施密特正交化

对于 $n$ 维欧氏空间中任意一组基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$，都可以找到一组标准正交基 ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n$，使

$$L({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_i)=L({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_i),i=1,2,\dots ,n.$$

证

逐步构造：

第1步：令 ${\eta }_1^{\prime }={\epsilon }_1$，${\eta }_1=\frac{{\eta }_1^{\prime }}{|{\eta }_1^{\prime }|}$。则 $L({\eta }_1)=L({\epsilon }_1)$。

第2步：令 ${\eta }_2^{\prime }={\epsilon }_2-({\epsilon }_2,{\eta }_1){\eta }_1$。验证 $({\eta }_2^{\prime },{\eta }_1)=({\epsilon }_2,{\eta }_1)-({\epsilon }_2,{\eta }_1)({\eta }_1,{\eta }_1)=0$（因为 $|{\eta }_1|=1$）。${\eta }_2^{\prime }\ne 0$（否则 ${\epsilon }_2\in L({\eta }_1)=L({\epsilon }_1)$，与基矛盾）。令 ${\eta }_2=\frac{{\eta }_2^{\prime }}{|{\eta }_2^{\prime }|}$。

此时 $L({\eta }_1,{\eta }_2)=L({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)$（因为 ${\eta }_2^{\prime }$ 是 ${\epsilon }_2$ 减去 $L({\epsilon }_1)$ 中的分量）。

第 $k$ 步：设已构造 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_{k-1}$ 为标准正交组，$L({\eta }_1,\dots ,{\eta }_{k-1})=L({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_{k-1})$。令

$${\eta }_k^{\prime }={\epsilon }_k-\sum _{i=1}^{k-1}({\epsilon }_k,{\eta }_i){\eta }_i.$$

验证正交性：$({\eta }_k^{\prime },{\eta }_j)=({\epsilon }_k,{\eta }_j)-{\sum }_{i=1}^{k-1}({\epsilon }_k,{\eta }_i)({\eta }_i,{\eta }_j)=({\epsilon }_k,{\eta }_j)-({\epsilon }_k,{\eta }_j)=0$（$j<k$）。

${\eta }_k^{\prime }\ne 0$（否则 ${\epsilon }_k\in L({\eta }_1,\dots ,{\eta }_{k-1})=L({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_{k-1})$，与基矛盾）。

令 ${\eta }_k=\frac{{\eta }_k^{\prime }}{|{\eta }_k^{\prime }|}$，则 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_k$ 是标准正交组，$L({\eta }_1,\dots ,{\eta }_k)=L({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_k)$。

继续到 $k=n$ 即得标准正交基。

证毕

例子：定理9.2 柯西-布涅柯夫斯基不等式 — 例子

定理9.3 欧氏空间同构的充要条件

两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。

证

充分性：设维$(V)=$ 维$(W)=n$。取 $V$ 的标准正交基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 和 $W$ 的标准正交基 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$。定义 $\sigma :V\to W$，$\sigma (\sum x_i{\alpha }_i)=\sum x_i{\beta }_i$。

$\sigma$ 是线性空间的同构（定理6.12）。还需保持内积：$(\sigma (\alpha ),\sigma (\gamma ))=(\sum x_i{\beta }_i,\sum y_i{\beta }_i)=\sum x_i{y}_i=(\sum x_i{\alpha }_i,\sum y_i{\alpha }_i)=(\alpha ,\gamma )$。故 $\sigma$ 是欧氏空间同构。

必要性：欧氏空间同构首先是线性空间同构，由定理6.12，维数相同。

证毕

例子：定理9.3 正交基 — 例子

定理9.4 正交变换的等价刻画

设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：

1. $\mathcal{A}$ 是正交变换；
2. $\mathcal{A}$ 保持向量的长度不变，即对于 $\alpha \in V$，$|\mathcal{A}\alpha |=|\alpha |$；
3. 如果 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 是标准正交基，那么 $\mathcal{A}{\epsilon }_1,\mathcal{A}{\epsilon }_2,\dots ,\mathcal{A}{\epsilon }_n$ 也是标准正交基；
4. $\mathcal{A}$ 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。

证

1 $\Rightarrow$ 2：正交变换保持内积，$(\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\alpha )=(\alpha ,\alpha )$，即 $|\mathcal{A}\alpha {|}^2=|\alpha {|}^2$，$|\mathcal{A}\alpha |=|\alpha |$。

2 $\Rightarrow$ 1：保持长度不变，则 $|\mathcal{A}(\alpha +\beta ){|}^2=|\alpha +\beta {|}^2$。展开：

$|\mathcal{A}\alpha {|}^2+2(\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\beta )+|\mathcal{A}\beta {|}^2=|\alpha {|}^2+2(\alpha ,\beta )+|\beta {|}^2$。

由 $|\mathcal{A}\alpha {|}^2=|\alpha {|}^2$ 和 $|\mathcal{A}\beta {|}^2=|\beta {|}^2$，得 $(\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\beta )=(\alpha ,\beta )$，保持内积，故是正交变换。

1 $\Rightarrow$ 3：$(\mathcal{A}{\epsilon }_i,\mathcal{A}{\epsilon }_j)=({\epsilon }_i,{\epsilon }_j)={\delta }_{ij}$，故 $\mathcal{A}{\epsilon }_1,\dots ,\mathcal{A}{\epsilon }_n$ 是标准正交基。

3 $\Rightarrow$ 4：设 $\mathcal{A}$ 在标准正交基 $\epsilon$ 下的矩阵为 $A$，则 $\mathcal{A}{\epsilon }_j={\sum }_i{a}_{ij}{\epsilon }_i$。由3，$\mathcal{A}{\epsilon }_1,\dots ,\mathcal{A}{\epsilon }_n$ 也是标准正交基，故 ${\delta }_{jk}=(\mathcal{A}{\epsilon }_j,\mathcal{A}{\epsilon }_k)={\sum }_i{a}_{ij}{a}_{ik}$，即 $A^{T}A=E$，$A$ 是正交矩阵。

4 $\Rightarrow$ 1：设 $\mathcal{A}$ 在标准正交基下的矩阵 $A$ 是正交矩阵。$\alpha =\sum x_i{\epsilon }_i$，$\beta =\sum y_i{\epsilon }_i$，$\mathcal{A}\alpha$ 的坐标为 $AX$，$\mathcal{A}\beta$ 的坐标为 $AY$。$(\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\beta )=(AX{)}^T(AY)=X^T{A}^{T}AY=X^{T}Y=(\alpha ,\beta )$。故 $\mathcal{A}$ 保持内积，是正交变换。

证毕

例子：定理9.4 施密特正交化 — 例子

定理9.5 两两正交子空间的直和

如果子空间 $V_1,V_2,\dots ,V_s$ 两两正交，那么和 $V_1+V_2+\cdots +V_s$ 是直和。

证

由定理6.11，只需证零向量表法唯一。设 ${\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_s=0$（${\alpha }_i\in V_i$）。

对每个 $i$，$({\alpha }_i,{\alpha }_i)=({\alpha }_i,-{\sum }_{j\ne i}{\alpha }_j)=-{\sum }_{j\ne i}({\alpha }_i,{\alpha }_j)=0$（因为 $V_i$ 与 $V_j$ 正交，$j\ne i$）。

故 ${\alpha }_i=0$。零向量表法唯一，和是直和。

证毕

例子：定理9.5 正交矩阵 — 例子

定理9.6 正交补的存在与唯一性

$n$ 维欧氏空间 $V$ 的每一个子空间 $V_1$ 都有唯一的正交补。

证

存在性：设维$(V_1)=m$，取 $V_1$ 的标准正交基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$。由定理9.1，扩充为 $V$ 的标准正交基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m,{\alpha }_{m+1},\dots ,{\alpha }_n$。

令 $V_2=L({\alpha }_{m+1},\dots ,{\alpha }_n)$。对任意 $\alpha \in V_1$（$\alpha ={\sum }_{i=1}^m{a}_i{\alpha }_i$）和 $\beta \in V_2$（$\beta ={\sum }_{j=m+1}^n{b}_j{\alpha }_j$），$(\alpha ,\beta )={\sum }_{i,j}{a}_i{b}_j({\alpha }_i,{\alpha }_j)=0$，故 $V_2\subseteq V_1^{\perp }$。

又维$(V_2)=n-m$，而维$(V_1^{\perp })=n-m$（因为 $V_1^{\perp }$ 由 $m$ 个正交条件定义，维数为 $n-m$），故 $V_2=V_1^{\perp }$，$V_1^{\perp }$ 是 $V_1$ 的正交补。

唯一性：设 $W_1$ 和 $W_2$ 都是 $V_1$ 的正交补。$W_1\subseteq V_1^{\perp }$，$W_2\subseteq V_1^{\perp }$，且 $V=V_1\oplus W_1=V_1\oplus W_2$，维$(W_1)=$ 维$(W_2)=n-m=$ 维$(V_1^{\perp })$，故 $W_1=W_2=V_1^{\perp }$。

证毕

例子：定理9.6 实对称矩阵的特征值 — 例子

定理9.7 实对称矩阵的正交对角化

对于任意一个 $n$ 阶实对称矩阵 $A$，都存在一个 $n$ 阶正交矩阵 $T$，使

$$T^{\mathrm{T}}AT=T^{-1}AT$$

成对角形。

证

对 $n$ 做归纳法。$n=1$ 时 $A$ 已经是对角形。

设对 $n-1$ 阶实对称矩阵结论成立。$A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。

第一步：$A$ 的特征多项式是实系数多项式，在复数域中有根。设 ${\lambda }_1$ 是 $A$ 的一个特征值，则 ${\lambda }_1$ 必为实数（因为 $A\alpha ={\lambda }_1\alpha$ 取共轭转置得 ${\bar{\alpha }}^{T}A={\bar{\lambda }}_1{\bar{\alpha }}^T$，左乘 $\alpha$ 得 ${\bar{\alpha }}^{T}A\alpha ={\bar{\lambda }}_1{\bar{\alpha }}^T\alpha$，又 ${\bar{\alpha }}^{T}A\alpha ={\lambda }_1{\bar{\alpha }}^T\alpha$，故 ${\lambda }_1={\bar{\lambda }}_1$）。

第二步：取属于 ${\lambda }_1$ 的单位特征向量 ${\eta }_1$（$|{\eta }_1|=1$，$A{\eta }_1={\lambda }_1{\eta }_1$）。由定理9.1，将 ${\eta }_1$ 扩充为 ${\mathbf{R}}^n$ 的标准正交基 ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n$。

令 $T_1=({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n)$（正交矩阵），则

$$T_1^{-1}A{T}_1=T_1^{T}A{T}_1=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& {\alpha }^T\\ \alpha & A_1\end{array}\right).$$

由 $A$ 对称，$T_1^{T}A{T}_1$ 也对称，故 $\alpha =0$，$A_1$ 是 $n-1$ 阶实对称矩阵。

第三步：由归纳假设，存在 $n-1$ 阶正交矩阵 $Q$ 使 $Q^T{A}_{1}Q=\text{diag}({\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$。

令 $T_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& Q\end{array}\right)$（正交矩阵），$T=T_1{T}_2$（正交矩阵），则

$$T^{-1}AT=T_2^{-1}(T_1^{-1}A{T}_1)T_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& Q^T\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& A_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& Q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& Q^T{A}_{1}Q\end{array}\right)=\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n).$$

证毕

例子：定理9.7 实对称矩阵的正交对角化 — 例子

定理9.8 实二次型的正交化简

任意一个实二次型

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j,a_{ij}=a_{ji}$$

都可以经过正交的线性替换变成平方和

$${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2,$$

其中平方项的系数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ 就是矩阵 $A$ 的特征多项式全部的根。

证

由定理9.7，存在正交矩阵 $T$ 使 $T^{T}AT=\text{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$。令 $X=TY$（正交线性替换），则 $X^{T}AX=Y^T(T^{T}AT)Y={\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$。

${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 是 $T^{-1}AT$ 的对角元素，即 $A$ 的特征值，也就是 $|\lambda E-A|=0$ 的根。

证毕

例子：定理9.8 正交变换 — 例子

相关链接

• 第八章 λ-矩阵
• 第十章 双线性函数与辛空间
• 高等代数 定理索引
• 第九章 欧几里得空间 例子

来源引用

• 高等代数 第五版 full.md