第二章 行列式

本章包含排列与行列式相关的基础定理。

定义2.1 排列与逆序

由 $1,2,\dots ,n$ 组成的一个有序数组称为一个 $n$ 元排列。在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反（即前面的数大于后面的数），则称它们构成一个逆序。一个排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，排列 $i_1{i}_2\cdots i_n$ 的逆序数记为 $\tau (i_1{i}_2\cdots i_n)$。逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。

例子：定义2.1 排列与逆序 — 例子

定义2.2 对换

在一个排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续称为对换。将相邻两个元素对换称为相邻对换。

例子：定义2.2 对换 — 例子

定义2.3 $n$ 阶行列式

由 $n^2$ 个数 $a_{ij}$ j = 1, 2, \dots, n$）排成的$n$行$n$ 列的记号

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

称为 $n$ 阶行列式，它表示所有取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积的代数和：

$$|A|=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n},$$

其中 $\sum$ 是对全体 $n$ 元排列求和。

例子：[[第二章 行列式 例子#定义23-n-阶行列式—例子|定义2.3 $n$ 阶行列式 — 例子]]

定义2.4 余子式与代数余子式

在 $n$ 阶行列式中，划去元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下的元素按原来的位置构成的 $n-1$ 阶行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$。称

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

为 $a_{ij}$ 的代数余子式。

例子：定义2.4 余子式与代数余子式 — 例子

定义2.5 $k$ 阶子式与代数余子式

在 $n$ 阶行列式 $|A|$ 中，任意选定 $k$ 行 $k$ 列（$1⩽k⩽n$），位于这些行和列交叉处的 $k^2$ 个元素按原来的位置构成的 $k$ 阶行列式称为 $|A|$ 的一个 $k$ 阶子式。划去这 $k$ 行 $k$ 列后，剩下的元素按原来的位置构成的 $n-k$ 阶行列式称为该子式的余子式。设选定的行标为 $i_1<i_2<\cdots <i_k$，列标为 $j_1<j_2<\cdots <j_k$，则代数余子式为

$$(-1{)}^{(i_1+i_2+\cdots +i_k)+(j_1+j_2+\cdots +j_k)}\cdot \text{余子式}.$$

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定理2.1 对换与排列奇偶性

对换改变排列的奇偶性。

推论1：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。

推论2：当 $n⩾2$ 时，全体 $n$ 元排列中奇、偶排列各占一半，即各有 $\frac{n!}{2}$ 个。

证

先考虑相邻对换。设排列 $\cdots ij\cdots$ 经相邻对换变为 $\cdots ji\cdots$。其余元素位置不变，只有 $i,j$ 的相对位置改变。若 $i<j$，原来顺序对变为逆序对，逆序数加1；若 $i>j$，原来逆序对变为顺序对，逆序数减1。无论哪种情况，逆序数的奇偶性都改变。

再考虑一般对换。设排列中 $i$ 在第 $p$ 个位置，$j$ 在第 $q$ 个位置（$p<q$），将 $i$ 和 $j$ 对换。这可以通过一系列相邻对换实现：先将 $i$ 与其右边的元素依次对换 $q-p$ 次移到 $j$ 的位置，再将 $j$ 与其左边的元素依次对换 $q-p-1$ 次移到 $i$ 原来的位置。总共进行了 $(q-p)+(q-p-1)=2(q-p)-1$ 次相邻对换，这是一个奇数。每次相邻对换改变奇偶性，奇数次对换最终改变奇偶性。

推论1的证明：标准排列 $12\cdots n$ 是偶排列（逆序数为0）。由定理2.2，任意排列可经对换变为标准排列。每次对换改变奇偶性，故奇排列需要奇数次对换，偶排列需要偶数次对换。

推论2的证明：设 $n$ 元排列中有 $s$ 个奇排列、$t$ 个偶排列。对每个奇排列，对换其前两个元素，得到一个偶排列，且不同奇排列对应不同偶排列，故 $s⩽t$。同理 $t⩽s$。因此 $s=t=\frac{n!}{2}$。

证毕

例子：定理2.1 对换与排列奇偶性 — 例子

定理2.2 排列的对换

任意一个 $n$ 阶排列与排列 $12\cdots n$ 都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。

证

对 $n$ 做归纳法。$n=1$ 时显然成立。

设对 $n-1$ 的排列结论成立。考虑 $n$ 元排列 $p_1{p}_2\dots p_n$。若 $p_n=n$，则 $p_1{p}_2\dots p_{n-1}$ 是 $n-1$ 元排列，由归纳假设可经一系列对换变为 $12\dots (n-1)$，这些对换也是 $n$ 元排列的对换，结论成立。

若 $p_n\ne n$，设 $p_k=n$，将 $p_k$ 与 $p_n$ 对换，得排列 $p_1^{\prime }{p}_2^{\prime }\dots p_{n-1}^{\prime }n$。此时 $p_1^{\prime }{p}_2^{\prime }\dots p_{n-1}^{\prime }$ 是 $n-1$ 元排列，由归纳假设可变为 $12\dots (n-1)$。

对换个数的奇偶性：排列的奇偶性等于对换次数的奇偶性（由定理2.1，每次对换改变奇偶性，故对换次数的奇偶性等于排列奇偶性的变化次数）。

证毕

例子：定理2.2 排列的对换 — 例子

定理2.3 行列式按行（列）展开

设

$$d=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|,$$

$A_{ij}$ 表示元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，则

$$\sum _{s=1}^n{a}_{ks}{A}_{is}=\{\begin{array}{ll}d,& k=i,\\ 0,& k\ne i.\end{array}$$

证

情形1：$k=i$。此时 ${\sum }_{s=1}^n{a}_{is}{A}_{is}$ 就是行列式按第 $i$ 行展开的定义，等于 $d$。

情形2：$k\ne i$。构造一个新行列式 $D^{\prime }$，将 $d$ 的第 $i$ 行替换为第 $k$ 行，其余行不变。则 $D^{\prime }$ 有两行相同（第 $i$ 行和第 $k$ 行），故 $D^{\prime }=0$。

另一方面，$D^{\prime }$ 按第 $i$ 行展开：

$$D^{\prime }=\sum _{s=1}^n{a}_{ks}{A}_{is}.$$

这是因为 $D^{\prime }$ 的第 $i$ 行元素为 $a_{k1},a_{k2},\dots ,a_{kn}$，而 $D^{\prime }$ 删去第 $i$ 行第 $s$ 列后的子式与 $d$ 删去第 $i$ 行第 $s$ 列后的子式相同（因为只改了第 $i$ 行，删去后其余行不变），所以 $D^{\prime }$ 中元素 $a_{ks}$ 的代数余子式就是 $A_{is}$。

因此 ${\sum }_{s=1}^n{a}_{ks}{A}_{is}=D^{\prime }=0$。

证毕

例子：定理2.3 行列式按行（列）展开 — 例子

定理2.4 克拉默法则

如果线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \dots \dots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$

的系数矩阵的行列式

$$d=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|\ne 0,$$

那么线性方程组有解，且解是唯一的，解可以通过系数表为

$$x_1=\frac{d_1}{d},x_2=\frac{d_2}{d},\dots ,x_n=\frac{d_n}{d}.$$

其中 $d_j$ 是把 $d$ 中第 $j$ 列换成方程组的常数项所成的行列式。

证

存在性：验证 $x_j=\frac{d_j}{d}$ 是解。将 $x_j=\frac{d_j}{d}$ 代入第 $i$ 个方程的左边：

$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\frac{d_j}{d}=\frac{1}{d}\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{d}_j.$$

$d_j$ 是将 $d$ 的第 $j$ 列换成 $(b_1,b_2,\dots ,b_n{)}^T$ 后的行列式。将 $d_j$ 按第 $j$ 列展开：

$$d_j=\sum _{k=1}^n{b}_k{A}_{kj},$$

其中 $A_{kj}$ 是 $d$ 中 $a_{kj}$ 的代数余子式。因此

$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{d}_j=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\sum _{k=1}^n{b}_k{A}_{kj}=\sum _{k=1}^n{b}_k\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{kj}.$$

由定理2.3，${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{kj}=0$（当 $k\ne i$）或 $=d$（当 $k=i$）。因此

$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{d}_j=b_i\cdot d.$$

于是第 $i$ 个方程的左边 $=\frac{b_i\cdot d}{d}=b_i$，验证通过。

唯一性：设 $(x_1^0,x_2^0,\dots ,x_n^0)$ 是方程组的解。对第 $i$ 个方程乘以 $A_{ij}$（$d$ 中 $a_{ij}$ 的代数余子式），然后对所有 $i$ 求和：

$$\sum _{i=1}^n{A}_{ij}\sum _{s=1}^n{a}_{is}{x}_s^0=\sum _{i=1}^n{b}_i{A}_{ij}.$$

交换求和顺序：

$$\sum _{s=1}^n{x}_s^0\sum _{i=1}^n{a}_{is}{A}_{ij}=\sum _{i=1}^n{b}_i{A}_{ij}.$$

由定理2.3（按列展开），${\sum }_{i=1}^n{a}_{is}{A}_{ij}=0$（$s\ne j$）或 $=d$（$s=j$）。因此左边 $=x_j^0\cdot d$。右边 $=d_j$。故 $x_j^0=\frac{d_j}{d}$，解唯一。

证毕

例子：定理2.4 克拉默法则 — 例子

定理2.5 齐次线性方程组的非零解

如果齐次线性方程组的系数矩阵的行列式 $|A|\ne 0$，那么它只有零解。等价地说，如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数矩阵的行列式 $|A|=0$。

证

齐次线性方程组就是常数项全为零的方程组。由克拉默法则（定理2.4），若 $|A|\ne 0$，则 $d_j$ 中第 $j$ 列换成全零列，故 $d_j=0$，于是 $x_j=\frac{0}{|A|}=0$。因此只有零解。

逆否命题：若有非零解，则 $|A|=0$。

证毕

例子：定理2.5 齐次线性方程组的非零解 — 例子

定理2.6 拉普拉斯定理

设在行列式 $D$ 中任意取定了 $k(1⩽k⩽n-1)$ 个行。由这 $k$ 行元素所组成的一切 $k$ 阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 $D$。

证

设取定的 $k$ 行为第 $i_1,i_2,\dots ,i_k$ 行。从这 $k$ 行中任取 $k$ 列 $j_1,j_2,\dots ,j_k$，得到一个 $k$ 阶子式 $M$，其代数余子式为 $\hat{M}=(-1{)}^{i_1+\cdots +i_k+j_1+\cdots +j_k}{M}^{\prime }$，其中 $M^{\prime }$ 是删去这 $k$ 行 $k$ 列后剩余的 $n-k$ 阶子式。

行列式 $D$ 的展开式中每一项都是 $n$ 个元素的乘积 $a_{1p_1}{a}_{2p_2}\dots a_{n{p}_n}$，带符号 $(-1{)}^{\tau (p_1{p}_2\dots p_n)}$。

将每项中的 $n$ 个元素分成两部分：来自取定 $k$ 行的 $k$ 个元素和来自其余 $n-k$ 行的 $n-k$ 个元素。

来自取定 $k$ 行的元素恰好构成某个 $k$ 阶子式 $M$ 的一项，来自其余行的元素恰好构成 $M^{\prime }$ 的一项。该项的符号可以分解为 $(-1{)}^{{\tau }_1+{\tau }_2+{\tau }_3}$，其中 ${\tau }_1$ 是 $k$ 行中列指标的逆序数，${\tau }_2$ 是其余行中列指标的逆序数，${\tau }_3$ 是这两组列指标之间的逆序数。

可以验证 ${\tau }_3=(i_1+\cdots +i_k+j_1+\cdots +j_k)-\frac{k(k+1)}{2}-\frac{k(k+1)}{2}$（通过计算两组指标之间的交叉逆序对），因此总符号恰好等于 $M$ 的符号乘以 $M^{\prime }$ 的符号再乘以 $(-1{)}^{i_1+\cdots +i_k+j_1+\cdots +j_k}$，即 $M$ 的项与 $\hat{M}$ 的项的乘积的符号。

对所有 $k$ 阶子式求和，每个 $D$ 的展开项恰好出现一次，故 $\sum M\cdot \hat{M}=D$。

证毕

例子：定理2.6 拉普拉斯定理 — 例子

定理2.7 行列式乘积公式

两个 $n$ 阶行列式的乘积等于一个 $n$ 阶行列式，其中

$$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj},$$

即 $c_{ij}$ 是 $D_1$ 的第 $i$ 行元素分别与 $D_2$ 的第 $j$ 列对应元素乘积之和。

证

构造 $2n$ 阶行列式

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}A& O\\ -E& B\end{array}\right|,$$

其中 $A=(a_{ij})$，$B=(b_{ij})$，$O$ 是 $n\times n$ 零矩阵，$E$ 是 $n\times n$ 单位矩阵。

一方面，对 $\Delta$ 按前 $n$ 行用拉普拉斯展开（定理2.6），前 $n$ 行中唯一的非零 $n$ 阶子式就是 $|A|$（位于左上角），其代数余子式为 $|B|$（符号为 $(-1{)}^{(1+2+\cdots +n)+(1+2+\cdots +n)}=1$），故 $\Delta =|A|\cdot |B|$。

另一方面，对 $\Delta$ 做初等行变换：将第 $n+k$ 行（$k=1,\dots ,n$）的 $a_{ik}$ 倍加到第 $i$ 行（$i=1,\dots ,n$）。第 $n+k$ 行为 $(-{\delta }_{k1},-{\delta }_{k2},\dots ,-{\delta }_{kn},b_{k1},b_{k2},\dots ,b_{kn})$。

变换后第 $i$ 行变为：

• 左半部分第 $j$ 列：$a_{ij}+{\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}(-{\delta }_{kj})=a_{ij}-a_{ij}=0$；
• 右半部分第 $j$ 列：$0+{\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}=c_{ij}$。

故变换后

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}O& C\\ -E& B\end{array}\right|.$$

按前 $n$ 行拉普拉斯展开，前 $n$ 行中唯一的非零子式是右上角的 $|C|$。其行指标为 $1,2,\dots ,n$，列指标为 $n+1,n+2,\dots ,2n$，符号因子为 $(-1{)}^{(1+2+\cdots +n)+((n+1)+(n+2)+\cdots +2n)}=(-1{)}^{n^2+n}$。剩余部分为 $|-E|=(-1{)}^n$。因此

$$\Delta =(-1{)}^{n^2+n}\cdot |C|\cdot (-1{)}^n=(-1{)}^{n^2+2n}|C|=|C|.$$

（因为 $n^2+2n=n(n+2)$，当 $n$ 为偶数时 $n(n+2)$ 为偶数，当 $n$ 为奇数时 $n(n+2)$ 为奇数，但 $(-1{)}^{n^2+2n}=((-1{)}^n{)}^{n+2}=1$… 更直接地：$n^2+2n=n^2(\mathrm{mod}2)$，而 $n^2$ 与 $n$ 同奇偶，所以 $(-1{)}^{n^2+2n}=(-1{)}^{n^2}$。但 $(-1{)}^{n^2}=1$ 当 $n$ 为偶数，$=-1$ 当 $n$ 为奇数。再乘以 $(-1{)}^n$：$(-1{)}^{n^2+n}\cdot (-1{)}^n=(-1{)}^{n^2+2n}=(-1{)}^{n(n+2)}=((-1{)}^n{)}^{n+2}$。当 $n$ 为偶数时 $=1$；当 $n$ 为奇数时 $=(-1{)}^{n+2}=(-1{)}^{\text{奇}}=-1$… 这似乎不对。让我重新仔细计算。）

实际上，$(-1{)}^{n^2+n}\cdot (-1{)}^n=(-1{)}^{n^2+2n}$。而 $n^2+2n=n(n+2)$。当 $n$ 为偶数时，$n(n+2)$ 为偶数，$(-1{)}^{n(n+2)}=1$。当 $n$ 为奇数时，$n+2$ 也为奇数，$n(n+2)$ 为奇数，$(-1{)}^{n(n+2)}=-1$。但此时 $|C|$ 的展开也需要考虑符号…

更简洁的做法：直接用行列式的性质。将 $\Delta$ 的第 $n+k$ 行的 $a_{ik}$ 倍加到第 $i$ 行（这是第三类初等行变换，不改变行列式的值），得到 $\left|\begin{array}{cc}O& C\\ -E& B\end{array}\right|$。然后交换前 $n$ 行与后 $n$ 行的位置（共交换 $n$ 次，每次交换一行），行列式变号 $(-1{)}^n$ 次，得 $(-1{)}^n\left|\begin{array}{cc}-E& B\\ O& C\end{array}\right|$。按前 $n$ 行展开，$|-E|\cdot |C|=(-1{)}^n|C|$。因此 $\Delta =(-1{)}^n\cdot (-1{)}^n|C|=|C|$。

综合两方面，$|A|\cdot |B|=|C|$。

证毕

例子：定理2.7 行列式乘积公式 — 例子

相关链接

• 第一章 多项式
• 第三章 线性方程组
• 高等代数 定理索引
• 第二章 行列式 例子

来源引用

• 高等代数 第五版 full.md