第六章 线性空间

本章包含线性空间的维数、基、子空间及同构相关的基础定理。

定义6.1 线性空间

设 $V$ 是一个非空集合，$P$ 是一个数域。在 $V$ 上定义了加法运算（$V\times V\to V$）和数乘运算（$P\times V\to V$），如果这两种运算满足以下八条规律：

加法四条：（1）$\alpha +\beta =\beta +\alpha$；（2）$(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$；（3）存在零元素 $0\in V$，使 $\alpha +0=\alpha$；（4）对每个 $\alpha$，存在负元素 $-\alpha$，使 $\alpha +(-\alpha )=0$。

数乘四条：（5）$1\cdot \alpha =\alpha$；（6）$k(l\alpha )=(kl)\alpha$；（7）$(k+l)\alpha =k\alpha +l\alpha$；（8）$k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta$。

则称 $V$ 为数域 $P$ 上的线性空间（或向量空间）。

例子：定义6.1 线性空间 — 例子

定义6.2 维数与基

如果线性空间 $V$ 中有 $n$ 个线性无关的向量，且 $V$ 中任意 $n+1$ 个向量都线性相关，则称 $V$ 为 $n$ 维线性空间，$n$ 称为 $V$ 的维数，记为 $\dim V=n$。$V$ 中 $n$ 个线性无关且能线性表出 $V$ 中一切向量的向量组称为 $V$ 的一组基。

例子：定义6.2 维数与基 — 例子

定义6.3 坐标

设 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基，$\alpha \in V$ 可唯一表示为

$$\alpha =x_1{\epsilon }_1+x_2{\epsilon }_2+\cdots +x_n{\epsilon }_n,$$

则称 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 为 $\alpha$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 下的坐标。

例子：定义6.3 坐标 — 例子

定义6.4 过渡矩阵

设 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$ 和 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两组基，且

$$({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n)=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n)A,$$

则 $A$ 称为由基 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$ 到基 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n$ 的过渡矩阵。

例子：定义6.4 过渡矩阵 — 例子

定义6.5 子空间

设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，$W$ 是 $V$ 的非空子集。如果 $W$ 对 $V$ 的加法和数乘运算也构成 $P$ 上的线性空间，则称 $W$ 为 $V$ 的子空间。

例子：定义6.5 子空间 — 例子

定义6.6 生成子空间

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s\in V$，称

$$L({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s)=\{k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s\mid k_i\in P\}$$

为由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 生成的子空间。

例子：定义6.6 生成子空间 — 例子

定义6.7 子空间的交与和

设 $V_1,V_2$ 是线性空间 $V$ 的子空间。称

$$V_1\cap V_2=\{\alpha \mid \alpha \in V_1\text{ 且 }\alpha \in V_2\}$$

为 $V_1$ 与 $V_2$ 的交。称

$$V_1+V_2=\{{\alpha }_1+{\alpha }_2\mid {\alpha }_1\in V_1,{\alpha }_2\in V_2\}$$

为 $V_1$ 与 $V_2$ 的和。

例子：定义6.7 子空间的交与和 — 例子

定义6.8 直和

设 $V_1,V_2$ 是线性空间 $V$ 的子空间。如果 $V_1+V_2$ 中每个向量 $\alpha$ 的分解式 $\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2$（${\alpha }_1\in V_1,{\alpha }_2\in V_2$）是唯一的，则称 $V_1+V_2$ 为直和，记为 $V_1\oplus V_2$。

例子：定义6.8 直和 — 例子

定义6.9 同构

设 $V$ 和 $V^{\prime }$ 是数域 $P$ 上的线性空间。如果存在双射 $\sigma :V\to V^{\prime }$，使得对任意 $\alpha ,\beta \in V$ 和 $k\in P$，有

$$\sigma (\alpha +\beta )=\sigma (\alpha )+\sigma (\beta ),\sigma (k\alpha )=k\sigma (\alpha ),$$

则称 $V$ 与 $V^{\prime }$ 同构，$\sigma$ 称为同构映射。

定理6.1 线性空间的维数

如果在线性空间 $V$ 中有 $n$ 个线性无关的向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$，且 $V$ 中任一向量都可以经它们线性表出，那么 $V$ 是 $n$ 维的。

证

要证 $V$ 中任意 $n+1$ 个向量线性相关，从而 $V$ 的维数为 $n$。

设 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_{n+1}$ 是 $V$ 中任意 $n+1$ 个向量。每个 ${\beta }_i$ 都可由 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 线性表出，即 ${\beta }_i={\sum }_{j=1}^n{c}_{ij}{\alpha }_j$。

考虑线性组合 ${\sum }_{i=1}^{n+1}{k}_i{\beta }_i=0$，代入得 ${\sum }_{i=1}^{n+1}{k}_i{\sum }_{j=1}^n{c}_{ij}{\alpha }_j={\sum }_{j=1}^n\left({\sum }_{i=1}^{n+1}{c}_{ij}{k}_i\right){\alpha }_j=0$。

因为 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关，故 ${\sum }_{i=1}^{n+1}{c}_{ij}{k}_i=0$（$j=1,\dots ,n$）。这是 $n$ 个方程、$n+1$ 个未知量 $k_1,\dots ,k_{n+1}$ 的齐次线性方程组，方程个数小于未知量个数，必有非零解。故 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_{n+1}$ 线性相关。

因此 $V$ 中最多有 $n$ 个线性无关的向量，维数为 $n$。

证毕

例子：定理6.1 线性空间的维数 — 例子

定理6.2 子空间的判定

如果线性空间 $V$ 的非空子集合 $W$ 对于 $V$ 的两种运算是封闭的，那么 $W$ 就是一个子空间。

证

需要验证 $W$ 满足线性空间的八条公理。由于 $W$ 对加法封闭，加法交换律、结合律在 $V$ 中成立自然在 $W$ 中也成立。由于 $W$ 对数乘封闭，数乘的各条公理也自然成立。

只需验证 $W$ 中有零元和负元。因为 $W$ 非空，取 $\alpha \in W$。由数乘封闭性，$0\cdot \alpha =0\in W$（零元在 $W$ 中）。又 $(-1)\cdot \alpha =-\alpha \in W$（负元在 $W$ 中）。

因此 $W$ 是 $V$ 的子空间。

证毕

例子：定理6.2 子空间的判定 — 例子

定理6.3 生成子空间

1. 两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价；
2. $L({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r)$ 的维数等于向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r$ 的秩。

证

1：设两个向量组为 $A=\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r\}$ 和 $B=\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_s\}$。

必要性：若 $L(A)=L(B)$，则 $A$ 中每个向量属于 $L(B)$，可由 $B$ 线性表出；$B$ 中每个向量属于 $L(A)$，可由 $A$ 线性表出。故 $A$ 与 $B$ 等价。

充分性：若 $A$ 与 $B$ 等价，$A$ 中每个向量可由 $B$ 表出，故 $L(A)\subseteq L(B)$；同理 $L(B)\subseteq L(A)$。故 $L(A)=L(B)$。

2：设 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ 的极大线性无关组为 ${\alpha }_{i_1},\dots ,{\alpha }_{i_k}$（秩为 $k$）。极大线性无关组与原向量组等价，故 $L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)=L({\alpha }_{i_1},\dots ,{\alpha }_{i_k})$。而 ${\alpha }_{i_1},\dots ,{\alpha }_{i_k}$ 线性无关且生成此空间，故是一组基，维数为 $k$。

证毕

例子：定理6.3 生成子空间 — 例子

定理6.4 基的扩充

设 $W$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个 $m$ 维子空间，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$ 是 $W$ 的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基。

证

若 $m=n$，则 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 已经是 $V$ 的基。

若 $m<n$，则 $W\ne V$，存在 ${\alpha }_{m+1}\in V$ 但 ${\alpha }_{m+1}\notin W$，即 ${\alpha }_{m+1}$ 不能由 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 线性表出。因此 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m,{\alpha }_{m+1}$ 线性无关。

令 $W_1=L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{m+1})$，维数为 $m+1$。若 $m+1<n$，重复上述过程，添加 ${\alpha }_{m+2}$。

由于每步维数增加1，且维数不超过 $n$，经过 $n-m$ 步后得到 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$，它们线性无关且个数为 $n$，故是 $V$ 的基。

证毕

例子：定理6.4 基的扩充 — 例子

定理6.5 子空间的交

如果 $V_1,V_2$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，那么它们的交 $V_1\cap V_2$ 也是 $V$ 的子空间。

证

$0\in V_1$ 且 $0\in V_2$，故 $0\in V_1\cap V_2$，交非空。

设 $\alpha ,\beta \in V_1\cap V_2$，则 $\alpha ,\beta \in V_1$ 且 $\alpha ,\beta \in V_2$。因为 $V_1,V_2$ 是子空间，$\alpha +\beta \in V_1$ 且 $\alpha +\beta \in V_2$，故 $\alpha +\beta \in V_1\cap V_2$。

设 $\alpha \in V_1\cap V_2$，$k\in P$，则 $k\alpha \in V_1$ 且 $k\alpha \in V_2$，故 $k\alpha \in V_1\cap V_2$。

由定理6.2，$V_1\cap V_2$ 是子空间。

证毕

例子：定理6.5 子空间的交 — 例子

定理6.6 子空间的和

如果 $V_1,V_2$ 是 $V$ 的子空间，那么它们的和 $V_1+V_2$ 也是 $V$ 的子空间。

证

$0=0+0\in V_1+V_2$，和非空。

设 $\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2$，$\beta ={\beta }_1+{\beta }_2$（${\alpha }_i,{\beta }_i\in V_i$），则 $\alpha +\beta =({\alpha }_1+{\beta }_1)+({\alpha }_2+{\beta }_2)\in V_1+V_2$。

设 $\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2$（${\alpha }_i\in V_i$），$k\in P$，则 $k\alpha =k{\alpha }_1+k{\alpha }_2\in V_1+V_2$。

由定理6.2，$V_1+V_2$ 是子空间。

证毕

例子：定理6.6 子空间的和 — 例子

定理6.7 维数公式

如果 $V_1,V_2$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，那么

$$\text{维}(V_1)+\text{维}(V_2)=\text{维}(V_1+V_2)+\text{维}(V_1\cap V_2).$$

证

设维$(V_1\cap V_2)=m$，取 $V_1\cap V_2$ 的一组基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$。

由定理6.4，将 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 扩充为 $V_1$ 的基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_{n_1-m}$，其中维$(V_1)=n_1$。

同样扩充为 $V_2$ 的基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m,{\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_{n_2-m}$，其中维$(V_2)=n_2$。

断言：${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_{n_1-m},{\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_{n_2-m}$ 是 $V_1+V_2$ 的一组基。

首先，$V_1+V_2$ 中每个向量可表为 $v_1+v_2$（$v_i\in V_i$），$v_1$ 可由前 $n_1$ 个向量表出，$v_2$ 可由 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m,{\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_{n_2-m}$ 表出，故全体向量可生成 $V_1+V_2$。

其次，证它们线性无关。设

$$\sum _{i=1}^m{a}_i{\alpha }_i+\sum _{j=1}^{n_1-m}{b}_j{\beta }_j+\sum _{k=1}^{n_2-m}{c}_k{\gamma }_k=0.$$

移项得 $\sum a_i{\alpha }_i+\sum b_j{\beta }_j=-\sum c_k{\gamma }_k$。左边属于 $V_1$，右边属于 $V_2$，故两边都属于 $V_1\cap V_2$。因此 $-\sum c_k{\gamma }_k$ 可由 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 表出，但 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m,{\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_{n_2-m}$ 是 $V_2$ 的基，线性无关，故 $c_k=0$。同理 $b_j=0$，进而 $a_i=0$。

因此维$(V_1+V_2)=m+(n_1-m)+(n_2-m)=n_1+n_2-m$，即维$(V_1)+$ 维$(V_2)=$ 维$(V_1+V_2)+$ 维$(V_1\cap V_2)$。

证毕

例子：定理6.7 维数公式 — 例子

定理6.8 直和的充要条件（两个子空间）

和 $V_1+V_2$ 是直和的充分必要条件是等式 ${\alpha }_1+{\alpha }_2=0$ 只有在 ${\alpha }_i$ 全为零向量时才成立，其中 ${\alpha }_i\in V_i$。

推论：$V_1+V_2$ 是直和的充分必要条件是 $V_1\cap V_2=\{0\}$。

证

必要性：若 $V_1+V_2$ 是直和，则每个向量的分解式唯一。若 ${\alpha }_1+{\alpha }_2=0$（${\alpha }_i\in V_i$），则 $0=0+0$ 也是零向量的分解式。由唯一性，${\alpha }_1=0$，${\alpha }_2=0$。

充分性：设 ${\alpha }_1+{\alpha }_2=0$ 只有 ${\alpha }_1={\alpha }_2=0$ 时成立。若 $\alpha$ 有两种分解 $\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2={\alpha }_1^{\prime }+{\alpha }_2^{\prime }$，则 $({\alpha }_1-{\alpha }_1^{\prime })+({\alpha }_2-{\alpha }_2^{\prime })=0$，其中 ${\alpha }_1-{\alpha }_1^{\prime }\in V_1$，${\alpha }_2-{\alpha }_2^{\prime }\in V_2$。由条件，${\alpha }_1-{\alpha }_1^{\prime }=0$，${\alpha }_2-{\alpha }_2^{\prime }=0$，分解唯一，故是直和。

推论：$V_1+V_2$ 是直和 $\iff$ 零向量分解唯一 $\iff$ 若 $\alpha \in V_1\cap V_2$，则 $\alpha +(-\alpha )=0$（$\alpha \in V_1$，$-\alpha \in V_2$）只有 $\alpha =0$ 时成立 $\iff$ $V_1\cap V_2=\{0\}$。

证毕

例子：定理6.8 直和的充要条件 — 例子

定理6.9 直和的维数条件

设 $V_1,V_2$ 是 $V$ 的子空间，令 $W=V_1+V_2$，则 $W=V_1\oplus V_2$ 的充分必要条件为

$$\text{维}(W)=\text{维}(V_1)+\text{维}(V_2).$$

证

由维数公式，维$(W)=$ 维$(V_1)+$ 维$(V_2)-$ 维$(V_1\cap V_2)$。

若 $W=V_1\oplus V_2$，由定理6.8推论，$V_1\cap V_2=\{0\}$，维$(V_1\cap V_2)=0$，故维$(W)=$ 维$(V_1)+$ 维$(V_2)$。

反之，若维$(W)=$ 维$(V_1)+$ 维$(V_2)$，则维$(V_1\cap V_2)=0$，即 $V_1\cap V_2=\{0\}$，由定理6.8推论，$W=V_1\oplus V_2$。

证毕

例子：定理6.9 直和的维数条件 — 例子

定理6.10 子空间的补空间

设 $U$ 是线性空间 $V$ 的一个子空间，那么一定存在一个子空间 $W$，使

$$V=U\oplus W.$$

证

设维$(U)=m$，维$(V)=n$。取 $U$ 的一组基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$，由定理6.4，扩充为 $V$ 的基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m,{\alpha }_{m+1},\dots ,{\alpha }_n$。

令 $W=L({\alpha }_{m+1},\dots ,{\alpha }_n)$。$V$ 中每个向量可由 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 表出，即 $v={\sum }_{i=1}^m{a}_i{\alpha }_i+{\sum }_{j=m+1}^n{b}_j{\alpha }_j\in U+W$，故 $V=U+W$。

又维$(U)+$ 维$(W)=m+(n-m)=n=$ 维$(V)$，由定理6.9，$V=U\oplus W$。

证毕

例子：定理6.10 子空间的补空间 — 例子

定理6.11 多个子空间直和的等价条件

$V_1,V_2,\dots ,V_s$ 是 $V$ 的一些子空间，下列条件等价：

1. $W={\sum }_{i=1}^s{V}_i$ 是直和；
2. 零向量的表法唯一；
3. $V_i\cap {\sum }_{j\ne i}{V}_j=\{0\}$；
4. $\text{维}(W)={\sum }_{i=1}^s\text{维}(V_i)$。

证

1 $\Rightarrow$ 2：直和的定义就是每个向量表法唯一，零向量自然也唯一。

2 $\Rightarrow$ 3：设 $\alpha \in V_i\cap {\sum }_{j\ne i}{V}_j$，则 $\alpha \in V_i$，且 $\alpha ={\sum }_{j\ne i}{\alpha }_j$（${\alpha }_j\in V_j$）。于是 $0=-\alpha +{\sum }_{j\ne i}{\alpha }_j$，这是零向量的一种表法。零向量还有表法 $0=0+\cdots +0$。由零向量表法唯一，$-\alpha =0$，即 $\alpha =0$。故 $V_i\cap {\sum }_{j\ne i}{V}_j=\{0\}$。

3 $\Rightarrow$ 2：设 ${\sum }_{i=1}^s{\alpha }_i=0$（${\alpha }_i\in V_i$）。则 $-{\alpha }_k={\sum }_{i\ne k}{\alpha }_i\in {\sum }_{i\ne k}{V}_i$。又 $-{\alpha }_k\in V_k$，故 $-{\alpha }_k\in V_k\cap {\sum }_{i\ne k}{V}_i=\{0\}$，即 ${\alpha }_k=0$。对每个 $k$ 都成立，零向量表法唯一。

2 $\iff$ 4：对 $s$ 做归纳。$s=2$ 时由定理6.8和6.9已证。设对 $s-1$ 个子空间成立。

设零向量表法唯一。令 $W^{\prime }=V_1+\cdots +V_{s-1}$。先证 $W^{\prime }+V_s$ 是直和：若 ${\alpha }^{\prime }+{\alpha }_s=0$（${\alpha }^{\prime }\in W^{\prime }$，${\alpha }_s\in V_s$），则 ${\alpha }^{\prime }={\sum }_{i=1}^{s-1}{\alpha }_i$，于是 ${\sum }_{i=1}^s{\alpha }_i=0$，由零向量表法唯一，${\alpha }_i=0$，故 ${\alpha }^{\prime }=0$，${\alpha }_s=0$。因此 $W=W^{\prime }\oplus V_s$，维$(W)=$ 维$(W^{\prime })+$ 维$(V_s)$。

又零向量在 ${\sum }_{i=1}^{s-1}{V}_i$ 中表法也唯一（因为整体表法唯一，限制在前 $s-1$ 个空间自然唯一），由归纳假设，维$(W^{\prime })={\sum }_{i=1}^{s-1}$ 维$(V_i)$。故维$(W)={\sum }_{i=1}^s$ 维$(V_i)$。

反之，设维$(W)={\sum }_{i=1}^s$ 维$(V_i)$。由 $s=2$ 的结论，维$(W^{\prime })+$ 维$(V_s)=$ 维$(W)=$ 维$(W^{\prime }+V_s)$，故 $W=W^{\prime }\oplus V_s$。又维$(W^{\prime })={\sum }_{i=1}^{s-1}$ 维$(V_i)$，由归纳假设，${\sum }_{i=1}^{s-1}{V}_i$ 是直和。综合可得零向量表法唯一。

证毕

例子：定理6.11 多个子空间直和的等价条件 — 例子

定理6.12 线性空间同构的充要条件

数域 $P$ 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。

证

充分性：设维$(V)=$ 维$(W)=n$。取 $V$ 的基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 和 $W$ 的基 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$。定义映射 $\sigma :V\to W$，$\sigma ({\sum }_{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i)={\sum }_{i=1}^n{x}_i{\beta }_i$。

$\sigma$ 是双射（坐标向量一一对应），且 $\sigma (\alpha +\beta )=\sigma (\alpha )+\sigma (\beta )$，$\sigma (k\alpha )=k\sigma (\alpha )$（加法和数乘对应坐标运算），故 $\sigma$ 是同构。

必要性：若 $\sigma :V\to W$ 是同构，则 $\sigma$ 是双射且保持线性运算。设 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 是 $V$ 的基，则 $\sigma ({\alpha }_1),\dots ,\sigma ({\alpha }_n)$ 线性无关（若 $\sum k_i\sigma ({\alpha }_i)=0$，则 $\sigma (\sum k_i{\alpha }_i)=0$，由 $\sigma$ 单射，$\sum k_i{\alpha }_i=0$，$k_i=0$）。又 $W$ 中任一 $\beta$，存在 $\alpha \in V$ 使 $\sigma (\alpha )=\beta$，$\alpha =\sum x_i{\alpha }_i$，$\beta =\sum x_i\sigma ({\alpha }_i)$。故 $\sigma ({\alpha }_1),\dots ,\sigma ({\alpha }_n)$ 是 $W$ 的基，维$(W)=n$。

证毕

例子：定理6.12 线性空间同构的充要条件 — 例子

相关链接

• 第五章 二次型
• 第七章 线性变换
• 高等代数 定理索引
• 第六章 线性空间 例子

来源引用

• 高等代数 第五版 full.md