第三章 线性方程组

本章包含线性方程组、向量组的线性相关性及矩阵的秩相关的基础定理。

定义3.1 线性组合与线性表出

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 是 $P^n$ 中的向量，$k_1,k_2,\dots ,k_s\in P$。称向量

$$\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s$$

为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 的一个线性组合，也称 $\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 线性表出。

例子：定义3.1 线性组合与线性表出 — 例子

定义3.2 线性相关与线性无关

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 是 $P^n$ 中的向量。如果存在不全为零的数 $k_1,k_2,\dots ,k_s\in P$，使得

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0,$$

则称 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 线性相关。否则，即只有当 $k_1=k_2=\cdots =k_s=0$ 时上式才成立，则称它们线性无关。

例子：定义3.2 线性相关与线性无关 — 例子

定义3.3 极大线性无关组

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 是一个向量组的部分组。如果它满足： （1）${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 线性无关； （2）向量组中每个向量都可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 线性表出， 则称 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 为该向量组的一个极大线性无关组。

例子：定义3.3 极大线性无关组 — 例子

定义3.4 向量组的秩

向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩。

例子：定义3.4 向量组的秩 — 例子

定义3.5 矩阵的秩

矩阵 $A$ 的行向量组的秩称为 $A$ 的行秩，列向量组的秩称为 $A$ 的列秩。行秩等于列秩，统称为矩阵 $A$ 的秩，记为 $r(A)$ 或 $\mathrm{rank}(A)$。

等价地，矩阵 $A$ 的秩等于 $A$ 中非零子式的最高阶数。

例子：定义3.5 矩阵的秩 — 例子

定义3.6 基础解系

齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解空间的一组基称为该方程组的基础解系。若 $r(A)=r$，则基础解系含 $n-r$ 个解向量。

例子：定义3.6 基础解系 — 例子

定理3.1 齐次线性方程组的非零解

在齐次线性方程组中，如果方程个数 $s<n$（未知量个数），那么它必有非零解。

证

齐次线性方程组的系数矩阵 $A$ 是 $s\times n$ 矩阵，$s<n$。对 $A$ 做初等行变换化为行阶梯形，非零行的个数（即秩 $r$）不超过 $s$，因此 $r⩽s<n$。

行阶梯形对应的方程组有 $n-r$ 个自由未知量。因为 $n-r⩾n-s>0$，至少有一个自由未知量。令自由未知量不全为零，即得非零解。

证毕

例子：定理3.1 齐次线性方程组的非零解 — 例子

定理3.2 线性相关与线性表出

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r$ 与 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$ 是两个向量组。如果

1. 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r$ 可以经 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$ 线性表出；
2. $r>s$；

那么向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r$ 必线性相关。

推论1：如果向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r$ 可以经 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$ 线性表出，且 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r$ 线性无关，那么 $r⩽s$。

推论2：任意 $n+1$ 个 $n$ 维向量必线性相关。

推论3：两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量。

证

由条件1，每个 ${\alpha }_i$ 可由 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_s$ 线性表出：

$${\alpha }_i=\sum _{j=1}^s{t}_{ji}{\beta }_j,i=1,2,\dots ,r.$$

要证 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ 线性相关，即找不全为零的 $k_1,\dots ,k_r$ 使 ${\sum }_{i=1}^r{k}_i{\alpha }_i=0$。

代入：

$$\sum _{i=1}^r{k}_i{\alpha }_i=\sum _{i=1}^r{k}_i\sum _{j=1}^s{t}_{ji}{\beta }_j=\sum _{j=1}^s\left(\sum _{i=1}^r{t}_{ji}{k}_i\right){\beta }_j.$$

只需使每个 ${\beta }_j$ 的系数为零，即解齐次线性方程组

$$\sum _{i=1}^r{t}_{ji}{k}_i=0,j=1,2,\dots ,s.$$

这是 $s$ 个方程、$r$ 个未知量的齐次线性方程组。因为 $r>s$，由定理3.1，必有非零解 $(k_1,\dots ,k_r)$。因此 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ 线性相关。

推论1：若 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ 线性无关且可由 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_s$ 表出，假设 $r>s$，则由定理3.2，${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$ 线性相关，矛盾。故 $r⩽s$。

推论2：$n+1$ 个 $n$ 维向量都可由 $n$ 个 $n$ 维单位向量 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$ 线性表出，而 $n+1>n$，由定理3.2，这 $n+1$ 个向量线性相关。

推论3：设两个等价的线性无关向量组分别含 $r$ 和 $s$ 个向量。等价意味着互相线性表出。由推论1，$r⩽s$ 且 $s⩽r$，故 $r=s$。

证毕

例子：定理3.2 线性相关与线性表出 — 例子

定理3.3 极大线性无关组

一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。

证

设向量组的两个极大线性无关组分别为 $A=\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r\}$ 和 $B=\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_s\}$。

因为 $A$ 是极大线性无关组，向量组中每个向量都可由 $A$ 线性表出，特别地，$B$ 中每个向量可由 $A$ 线性表出。又 $B$ 线性无关，由定理3.2推论1，$s⩽r$。

同理，$A$ 中每个向量可由 $B$ 线性表出，$A$ 线性无关，故 $r⩽s$。

因此 $r=s$。

证毕

例子：定理3.3 极大线性无关组 — 例子

定理3.4 矩阵的秩

$A$ 的秩 $=A$ 的列秩 $=A$ 的行秩。

证

设 $A$ 是 $s\times n$ 矩阵，$A$ 的秩为 $r$（即 $A$ 中非零子式的最高阶数）。只需证列秩 $=r$。

列秩 $⩾r$：设 $A$ 有一个 $r$ 阶非零子式 $D$，位于第 $i_1,\dots ,i_r$ 行和第 $j_1,\dots ,j_r$ 列的交叉处。由 $D\ne 0$，$D$ 的 $r$ 列线性无关（否则 $D=0$）。因此 $A$ 的第 $j_1,\dots ,j_r$ 列在这 $r$ 行上的截取线性无关，从而 $A$ 的这 $r$ 个列向量本身也线性无关。故列秩 $⩾r$。

列秩 $⩽r$：设列秩为 $c$，$A$ 的某 $c$ 个列向量线性无关。取这 $c$ 个列构成的 $s\times c$ 子矩阵 $B$。$B$ 的列秩为 $c$，故 $B$ 的行秩也为 $c$（对 $B$ 重复上述论证的前半部分可知 $B$ 的行秩 $⩾c$，而 $B$ 只有 $c$ 列，行秩 $⩽c$）。因此 $B$ 有 $c$ 行线性无关，这 $c$ 行与 $c$ 列交叉处的 $c$ 阶子式非零。这个子式也是 $A$ 的子式，故 $A$ 的秩 $r⩾c$。

因此列秩 $=r$。同理行秩 $=r$。

证毕

例子：定理3.4 矩阵的秩 — 例子

定理3.5 齐次线性方程组有非零解的充要条件

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的行列式 $|A|=0$。

证

设方程组有 $n$ 个方程、$n$ 个未知量。

必要性：若有非零解，则 $A$ 的列向量线性相关（因为存在非零组合使列为零），故 $A$ 的列秩 $<n$，即秩$(A)<n$，从而 $|A|=0$。

充分性：若 $|A|=0$，则秩$(A)<n$，列秩 $<n$，$A$ 的列向量线性相关，存在非零组合使列为零，即方程组有非零解。

证毕

例子：定理3.5 齐次线性方程组有非零解的充要条件 — 例子

定理3.6 克拉默法则及其逆定理

线性方程组有唯一解的充分必要条件是它的系数矩阵的行列式 $|A|\ne 0$。

证

充分性：$|A|\ne 0$ 时由克拉默法则（定理2.4），方程组有唯一解。

必要性：若方程组有唯一解，则齐次方程组 $Ax=0$ 只有零解（否则若 $\eta \ne 0$ 是齐次解，$\gamma +\eta$ 也是解，与唯一性矛盾）。由定理3.5，$|A|\ne 0$。

证毕

例子：定理3.6 克拉默法则及其逆定理 — 例子

定理3.7 线性方程组有解判别定理

线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。

证

设方程组为 $Ax=b$，系数矩阵 $A$ 为 $s\times n$，增广矩阵 $\bar{A}=(A\mid b)$。

必要性：若有解 $x_0$ 使 $A{x}_0=b$，则 $b$ 是 $A$ 的列向量的线性组合，故 $b$ 加入 $A$ 的列向量组不增加秩，即秩$(\bar{A})=$ 秩$(A)$。

充分性：若秩$(\bar{A})=$ 秩$(A)=r$，则 $b$ 属于 $A$ 的列向量张成的子空间（否则 $b$ 加入后秩会增加），即 $b$ 可由 $A$ 的列向量线性表出，方程组有解。

证毕

例子：定理3.7 线性方程组有解判别定理 — 例子

定理3.8 基础解系

在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于 $n-r$，其中 $r$ 为系数矩阵的秩。

证

设 $A$ 是 $s\times n$ 矩阵，秩$(A)=r<n$。对 $A$ 做初等行变换化为行最简形，不妨设前 $r$ 列为主元列，后 $n-r$ 列为自由列。

行最简形对应的方程组可写为

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =-c_{1,r+1}{x}_{r+1}-\cdots -c_{1n}{x}_n,\\ x_2& =-c_{2,r+1}{x}_{r+1}-\cdots -c_{2n}{x}_n,\\ & ⋮\\ x_r& =-c_{r,r+1}{x}_{r+1}-\cdots -c_{rn}{x}_n.\end{array}$$

令自由未知量 $(x_{r+1},\dots ,x_n)$ 依次取 $(1,0,\dots ,0)$，$(0,1,\dots ,0)$，$\dots$，$(0,0,\dots ,1)$，得到 $n-r$ 个解向量 ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{n-r}$。

线性无关：这 $n-r$ 个解向量的后 $n-r$ 个分量构成单位矩阵的各行，因此它们线性无关。

生成全部解：设 $\eta =(a_1,\dots ,a_r,a_{r+1},\dots ,a_n{)}^T$ 是任意解。令 $\tilde{\eta }=a_{r+1}{\eta }_1+a_{r+2}{\eta }_2+\cdots +a_n{\eta }_{n-r}$。则 $\tilde{\eta }$ 与 $\eta$ 的自由未知量取值相同（都是 $a_{r+1},\dots ,a_n$），而主元未知量由自由未知量唯一确定，故 $\tilde{\eta }=\eta$。

因此 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_{n-r}$ 是基础解系，含 $n-r$ 个解。

证毕

例子：定理3.8 基础解系 — 例子

定理3.9 非齐次线性方程组解的结构

如果 ${\gamma }_0$ 是方程组的一个特解，那么方程组的任一个解 $\gamma$ 都可以表成

$$\gamma ={\gamma }_0+\eta ,$$

其中 $\eta$ 是导出组的一个解。因此，方程组的全部解为

$$\gamma ={\gamma }_0+k_1{\eta }_1+k_2{\eta }_2+\cdots +k_{n-r}{\eta }_{n-r},$$

其中 ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{n-r}$ 是导出组的一个基础解系。

证

设方程组为 $Ax=b$，导出组为 $Ax=0$。

特解加导出组解仍是解：若 $A{\gamma }_0=b$，$A\eta =0$，则 $A({\gamma }_0+\eta )=A{\gamma }_0+A\eta =b+0=b$。

任一解可表为特解加导出组解：设 $\gamma$ 是 $Ax=b$ 的解，则 $A(\gamma -{\gamma }_0)=A\gamma -A{\gamma }_0=b-b=0$，故 $\eta =\gamma -{\gamma }_0$ 是导出组的解，$\gamma ={\gamma }_0+\eta$。

由定理3.8，导出组的全部解为 $k_1{\eta }_1+\cdots +k_{n-r}{\eta }_{n-r}$，因此方程组的全部解为 ${\gamma }_0+k_1{\eta }_1+\cdots +k_{n-r}{\eta }_{n-r}$。

证毕

例子：定理3.9 非齐次线性方程组解的结构 — 例子

定理3.10 结式

设

$$f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n,g(x)=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_m$$

是 $P[x]$ 中两个多项式，于是它们的结式 $R(f,g)=0$ 的充分必要条件是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $P[x]$ 中有非常数的公因式或者它们的第一个系数 $a_0,b_0$ 全为零。

证

结式 $R(f,g)$ 是一个 $m+n$ 阶行列式。$R(f,g)=0$ 等价于齐次线性方程组

$$\begin{array}{rl}{a}_0{u}_{m-1}+a_1{u}_{m-2}+\cdots +a_m{u}_{-1}& =0,\\ a_0{u}_m+a_1{u}_{m-1}+\cdots +a_m{u}_0& =0,\\ & ⋮\\ b_0{u}_{n-1}+b_1{u}_{n-2}+\cdots +b_n{u}_{-1}& =0,\\ & ⋮\end{array}$$

有非零解。

必要性：若 $R(f,g)=0$，则存在不全为零的多项式 $u(x)$（次数 $<m$）和 $v(x)$（次数 $<n$）使 $u(x)f(x)+v(x)g(x)=0$，即 $u(x)f(x)=-v(x)g(x)$。

若 $a_0,b_0$ 不全为零，不妨设 $a_0\ne 0$，则 $\mathrm{deg}f=n$。由 $uf=-vg$，$f\mid vg$。若 $(f,g)=1$，则 $f\mid v$，但 $\mathrm{deg}v<n=\mathrm{deg}f$，矛盾。故 $f,g$ 有非常数公因式。

充分性：若 $a_0=b_0=0$，则 $R(f,g)$ 的第一列全为零，故 $R(f,g)=0$。

若 $f,g$ 有非常数公因式 $d(x)$，设 $f=d\cdot f_1$，$g=d\cdot g_1$，则 $g_{1}f-f_{1}g=g_1\cdot d{f}_1-f_1\cdot d{g}_1=0$。取 $u=g_1$（$\mathrm{deg}{g}_1<m$），$v=-f_1$（$\mathrm{deg}{f}_1<n$），则 $uf+vg=0$，且 $u,v$ 不全为零。这给出上述齐次方程组的非零解，故 $R(f,g)=0$。

证毕

例子：定理3.10 结式 — 例子

定理3.11 多项式方程组的解

如果 $(x_0,y_0)$ 是方程组

$$\{\begin{array}{l}f(x,y)=0,\\ g(x,y)=0\end{array}$$

的一个复数解，那么 $y_0$ 就是 $R_x(f,g)$ 的一个根。

证

将 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 按 $x$ 的降幂排列：

$$f(x,y)=a_0(y)x^n+a_1(y)x^{n-1}+\cdots +a_n(y),g(x,y)=b_0(y)x^m+b_1(y)x^{m-1}+\cdots +b_m(y).$$

结式 $R_x(f,g)$ 是以 $a_i(y),b_j(y)$ 为元素的 $m+n$ 阶行列式，因此 $R_x(f,g)$ 是 $y$ 的多项式。

将 $y=y_0$ 代入，$R_x(f,g)$ 在 $y_0$ 处的值就是多项式 $f(x,y_0)$ 和 $g(x,y_0)$ 关于 $x$ 的结式。

因为 $(x_0,y_0)$ 是方程组的解，所以 $f(x_0,y_0)=0$ 且 $g(x_0,y_0)=0$，即 $x_0$ 是 $f(x,y_0)$ 和 $g(x,y_0)$ 的公共根。

若 $a_0(y_0)\ne 0$ 或 $b_0(y_0)\ne 0$，则 $f(x,y_0)$ 和 $g(x,y_0)$ 有公共根 $x_0$，由定理3.10，它们的结式为零，即 $R_x(f,g){|}_{y=y_0}=0$，$y_0$ 是 $R_x(f,g)$ 的根。

若 $a_0(y_0)=b_0(y_0)=0$，则结式行列式的第一列在 $y=y_0$ 时全为零，结式也为零。

证毕

例子：定理3.11 多项式方程组的解 — 例子

相关链接

• 第二章 行列式
• 第四章 矩阵
• 高等代数 定理索引
• 第三章 线性方程组 例子

来源引用

• 高等代数 第五版 full.md