第八章 λ-矩阵

本章包含λ-矩阵的标准形、不变因子、初等因子及矩阵相似判定相关的基础定理。

定义8.1 λ-矩阵

设 $P$ 是数域，以 $\lambda$ 的多项式为元素的矩阵称为 $\lambda$-矩阵（或多项式矩阵），记为 $A(\lambda )$。

例子：定义8.1 λ-矩阵 — 例子

定义8.2 λ-矩阵的初等变换

对 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda )$ 的下列三种变换称为初等变换：

（1）互换 $A(\lambda )$ 的两行（列）；

（2）用非零常数 $c$ 乘 $A(\lambda )$ 的某一行（列）；

（3）$A(\lambda )$ 的某一行（列）加上另一行（列）的 $\phi (\lambda )$ 倍，其中 $\phi (\lambda )$ 是 $\lambda$ 的多项式。

例子：定义8.2 λ-矩阵的初等变换 — 例子

定义8.3 λ-矩阵等价

如果 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda )$ 可以经过有限次初等变换化为 $B(\lambda )$，则称 $A(\lambda )$ 与 $B(\lambda )$ 等价，记为 $A(\lambda )\cong B(\lambda )$。

例子：定义8.3 λ-矩阵等价 — 例子

定义8.4 行列式因子

设 $A(\lambda )$ 是 $s\times n$ 的 $\lambda$-矩阵，$A(\lambda )$ 的一切 $k$ 阶子式的最大公因式（首一的）称为 $A(\lambda )$ 的 $k$ 阶行列式因子，记为 $D_k(\lambda )$（$k=1,2,\dots ,\min (s,n)$）。

例子：定义8.4 行列式因子 — 例子

定义8.5 不变因子

设 $A(\lambda )$ 的各阶行列式因子为 $D_1(\lambda ),D_2(\lambda ),\dots ,D_r(\lambda )$（$r=\mathrm{rank}A(\lambda )$），令

$$d_1(\lambda )=D_1(\lambda ),d_2(\lambda )=\frac{D_2(\lambda )}{D_1(\lambda )},\dots ,d_r(\lambda )=\frac{D_r(\lambda )}{D_{r-1}(\lambda )},$$

则 $d_1(\lambda ),d_2(\lambda ),\dots ,d_r(\lambda )$ 称为 $A(\lambda )$ 的不变因子。它们满足 $d_i(\lambda )\mid d_{i+1}(\lambda )$。

例子：定义8.5 不变因子 — 例子

定义8.6 初等因子

将每个次数大于零的不变因子分解为互素的一次因式的方幂之积（在复数域上），所有这些一次因式的方幂（相同的按出现次数计）称为 $A(\lambda )$ 的初等因子。

例子：定义8.6 初等因子 — 例子

定义8.7 最小多项式（λ-矩阵视角）

$A$ 的最后一个不变因子 $d_n(\lambda )$ 就是 $A$ 的最小多项式。

例子：定义8.7 最小多项式（λ-矩阵视角） — 例子

定理8.1 λ-矩阵可逆的充要条件

$n\times n$ 的 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda )$ 是可逆的充分必要条件为行列式 $|A(\lambda )|$ 是一非零的数。

证

必要性：若 $A(\lambda )$ 可逆，存在 $B(\lambda )$ 使 $A(\lambda )B(\lambda )=E$。取行列式，$|A(\lambda )|\cdot |B(\lambda )|=1$。$|A(\lambda )|$ 和 $|B(\lambda )|$ 都是 $\lambda$ 的多项式，两个多项式之积为1，故两者都是非零常数。

充分性：若 $|A(\lambda )|=c\ne 0$（常数），则 $A(\lambda {)}^{\ast }=|A(\lambda )|\cdot A(\lambda {)}^{-1}$，即 $A(\lambda {)}^{-1}=\frac{1}{c}A(\lambda {)}^{\ast }$。$A(\lambda {)}^{\ast }$ 的元素是 $A(\lambda )$ 的代数余子式，都是 $\lambda$ 的多项式，故 $A(\lambda {)}^{-1}$ 也是 $\lambda$-矩阵，$A(\lambda )$ 可逆。

证毕

例子：定理8.1 λ-矩阵的初等变换 — 例子

定理8.2 λ-矩阵的标准形

任意一个非零的 $s\times n$ 的 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda )$ 都等价于一个下述形式的矩阵：

$$\left(\begin{array}{cccccc}{d}_1(\lambda )& & & & & \\ & d_2(\lambda )& & & & \\ & & \ddots & & & \\ & & & d_r(\lambda )& & \\ & & & & 0& \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 0\end{array}\right),$$

其中 $r⩾1$，$d_i(\lambda )(i=1,2,\dots ,r)$ 是首项系数为1的多项式，且

$$d_i(\lambda )\mid d_{i+1}(\lambda ),i=1,2,\dots ,r-1.$$

证

对 $A(\lambda )$ 做初等行变换和初等列变换。

第一步：在所有非零元素中，选一个次数最低的元素，通过行交换和列交换移到 $(1,1)$ 位置，记为 $a_{11}(\lambda )$。

第二步：用 $a_{11}(\lambda )$ 去除第一行其余元素：$a_{1j}(\lambda )=a_{11}(\lambda )q_j(\lambda )+r_j(\lambda )$（$j>1$），将第 $j$ 列减去第1列的 $q_j(\lambda )$ 倍，使 $a_{1j}(\lambda )$ 变为 $r_j(\lambda )$。若某个 $r_j(\lambda )\ne 0$，其次数低于 $a_{11}(\lambda )$，将其换到 $(1,1)$ 位置重新操作。重复此过程，直到第一行除 $(1,1)$ 外全为零。同理处理第一列。

第三步：此时矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}{d}_1(\lambda )& 0\\ 0& A_1(\lambda )\end{array}\right)$。若 $A_1(\lambda )$ 中某元素不能被 $d_1(\lambda )$ 整除，将该元素所在行加到第一行，再用 $d_1(\lambda )$ 做除法，得到更低次数的余式，回到第二步。最终 $d_1(\lambda )$ 能整除 $A_1(\lambda )$ 的所有元素。

第四步：对 $A_1(\lambda )$ 重复上述过程，得到 $d_2(\lambda )$，且 $d_1(\lambda )\mid d_2(\lambda )$。继续直到完成。

证毕

例子：定理8.2 λ-矩阵的等价标准形 — 例子

定理8.3 等价λ-矩阵的不变量

等价的 $\lambda$-矩阵具有相同的秩与相同的各阶行列式因子。

证

初等变换不改变 $\lambda$-矩阵的秩（因为可逆 $\lambda$-矩阵左乘或右乘不改变秩，类似于定理4.4的论证）。

初等变换对行列式因子的影响：三种初等变换分别是（1）交换两行（列），（2）某行（列）乘以非零常数 $c$，（3）某行（列）加上另一行（列）的 $\phi (\lambda )$ 倍。

对于 $k$ 阶子式：（1）交换两行只改变子式的符号；（2）某行乘以 $c$，含该行的 $k$ 阶子式乘以 $c$；（3）某行加上另一行的 $\phi (\lambda )$ 倍，$k$ 阶子式变为原子式加上 $\phi (\lambda )$ 乘以另一个 $k$ 阶子式。

因此，初等变换后所有 $k$ 阶子式的最大公因式（$k$ 阶行列式因子 $D_k(\lambda )$）最多差一个非零常数因子。取首一的最大公因式，则 $D_k(\lambda )$ 不变。

证毕

例子：定理8.3 行列式因子 — 例子

定理8.4 λ-矩阵标准形的唯一性

$\lambda$-矩阵的标准形是唯一的。

证

设 $A(\lambda )$ 有两个标准形 $D_1(\lambda )$ 和 $D_2(\lambda )$。它们都与 $A(\lambda )$ 等价，故互相等价。由定理8.3，它们有相同的各阶行列式因子。

标准形 $\text{diag}(d_1(\lambda ),\dots ,d_r(\lambda ),0,\dots ,0)$ 的 $k$ 阶行列式因子为 $D_k(\lambda )=d_1(\lambda )d_2(\lambda )\dots d_k(\lambda )$（因为 $d_i\mid d_{i+1}$，$k$ 阶子式的最大公因式就是前 $k$ 个对角元素之积）。

因此 $d_1(\lambda )=D_1(\lambda )$，$d_2(\lambda )=D_2(\lambda )/D_1(\lambda )$，一般地 $d_k(\lambda )=D_k(\lambda )/D_{k-1}(\lambda )$。行列式因子唯一确定不变因子，故标准形唯一。

证毕

例子：定理8.4 不变因子 — 例子

定理8.5 λ-矩阵等价的充要条件

两个 $\lambda$-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者它们有相同的不变因子。

证

行列式因子：必要性由定理8.3。充分性：若行列式因子相同，则不变因子相同（$d_k=D_k/D_{k-1}$），标准形相同，故都等价于同一标准形，互相等价。

不变因子：不变因子由行列式因子唯一确定（$d_k=D_k/D_{k-1}$），反之亦然（$D_k=d_1\cdots d_k$）。故不变因子相同 $\iff$ 行列式因子相同 $\iff$ 等价。

证毕

例子：定理8.5 初等因子 — 例子

定理8.6 可逆λ-矩阵与初等矩阵

矩阵 $A(\lambda )$ 是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积。由此又得到矩阵等价的另一条件：两个 $s\times n$ 的 $\lambda$-矩阵等价的充分必要条件是存在可逆的 $s\times s$ $\lambda$-矩阵 $P(\lambda )$ 与可逆的 $n\times n$ $\lambda$-矩阵 $Q(\lambda )$，使

$$A(\lambda )=P(\lambda )B(\lambda )Q(\lambda ).$$

证

必要性：若 $A(\lambda )$ 可逆，$|A(\lambda )|=c\ne 0$，秩为 $n$。由定理8.2，$A(\lambda )$ 等价于标准形 $E_n$（因为不变因子 $d_1=\cdots =d_n=1$，行列式因子 $D_n=|A(\lambda )|=c$，但 $D_k=d_1\cdots d_k$，$D_n=1$，矛盾——实际上 $|A(\lambda )|=c$ 是常数，标准形为 $E_n$）。故存在初等矩阵 $P_1,\dots ,P_k,Q_1,\dots ,Q_l$ 使 $P_k\cdots P_{1}A{Q}_1\cdots Q_l=E_n$，$A=P_1^{-1}\cdots P_k^{-1}{Q}_l^{-1}\cdots Q_1^{-1}$。初等矩阵的逆仍是初等矩阵。

充分性：初等矩阵的行列式是非零常数，乘积的行列式也是非零常数，由定理8.1，$A(\lambda )$ 可逆。

等价条件：$A(\lambda )$ 与 $B(\lambda )$ 等价 $\iff$ $A(\lambda )$ 可经初等变换化为 $B(\lambda )$ $\iff$ 存在初等矩阵使 $P_k\cdots P_{1}A{Q}_1\cdots Q_l=B$ $\iff$ 存在可逆矩阵 $P=P_k\cdots P_1$，$Q=Q_1\cdots Q_l$ 使 $PAQ=B$。

证毕

例子：定理8.6 矩阵相似的充要条件 — 例子

定理8.7 矩阵相似的充要条件（特征矩阵等价）

设 $A,B$ 是数域 $P$ 上两个 $n\times n$ 矩阵，$A$ 与 $B$ 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 $\lambda E-A$ 和 $\lambda E-B$ 等价。

证

必要性：若 $B=X^{-1}AX$，则 $\lambda E-B=\lambda E-X^{-1}AX=X^{-1}(\lambda E-A)X$。$X$ 是可逆的数字矩阵（也是可逆的 $\lambda$-矩阵），由定理8.6，$\lambda E-A$ 与 $\lambda E-B$ 等价。

充分性：若 $\lambda E-A$ 与 $\lambda E-B$ 等价，由定理8.6，存在可逆 $\lambda$-矩阵 $P(\lambda ),Q(\lambda )$ 使 $\lambda E-A=P(\lambda )(\lambda E-B)Q(\lambda )$。

需要证明存在可逆数字矩阵 $X$ 使 $B=X^{-1}AX$。这需要用到以下关键引理：若 $P(\lambda )(\lambda E-B)=(\lambda E-A)Q(\lambda )$，则存在数字矩阵 $X$ 使 $P(\lambda )=(\lambda E-A)R(\lambda )+X$，$Q(\lambda )=S(\lambda )(\lambda E-A)+X$，其中 $R(\lambda ),S(\lambda )$ 是 $\lambda$-矩阵。

代入得 $((\lambda E-A)R(\lambda )+X)(\lambda E-B)=(\lambda E-A)(S(\lambda )(\lambda E-B)+X)$，展开化简得 $X(\lambda E-B)=(\lambda E-A)X$，比较 $\lambda$ 的系数得 $X=X$（恒等），常数项 $-XB=-AX$，即 $AX=XB$，$B=X^{-1}AX$。

还需证 $X$ 可逆：由 $P(\lambda )=(\lambda E-A)R(\lambda )+X$，$P(\lambda )$ 可逆，$|P(\lambda )|=c\ne 0$。取 $\lambda$ 使 $|(\lambda E-A)R(\lambda )+X|\ne 0$（这样的 $\lambda$ 存在，因为行列式是 $\lambda$ 的多项式，不为零多项式），故 $X$ 可逆。

证毕

例子：定理8.7 若尔当标准形的存在性 — 例子

定理8.8 复矩阵相似的充要条件（初等因子）

两个同阶复矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。

证

由定理8.7，$A$ 与 $B$ 相似 $\iff$ $\lambda E-A$ 与 $\lambda E-B$ 等价 $\iff$ 它们有相同的不变因子（定理8.5）。

不变因子唯一确定初等因子（将每个不变因子分解为互素一次因式方幂的乘积，所有方幂构成初等因子），反之初等因子也唯一确定不变因子（将初等因子按一次因式分类，同一次因式的最高次幂属于最后一个不变因子，次高的属于倒数第二个，依此类推）。

因此相同的不变因子 $\iff$ 相同的初等因子。

证毕

例子：定理8.8 若尔当标准形的唯一性 — 例子

定理8.9 初等因子的求法

首先用初等变换化特征矩阵 $\lambda E-A$ 为对角形，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是 $A$ 的全部初等因子。

证

设 $\lambda E-A$ 等价于对角形 $\text{diag}(h_1(\lambda ),\dots ,h_n(\lambda ))$。将每个 $h_i(\lambda )$ 分解为一次因式方幂的乘积 $h_i(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{i1}}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{e_{is}}$。

关键在于：对角形不一定是标准形（不满足 $d_i\mid d_{i+1}$），但可以通过进一步的初等变换将同一次因式的方幂按大小重新排列，最终得到标准形。在此过程中，每个一次因式的方幂集合不变。

具体地，对于一次因式 $(\lambda -{\lambda }_j)$，$h_1,\dots ,h_n$ 中 $(\lambda -{\lambda }_j)$ 的方幂 $e_{1j},\dots ,e_{nj}$（其中 $e_{ij}=0$ 表示不含此因子），按从小到大排列为 $e_{(1)j}⩽e_{(2)j}⩽\cdots ⩽e_{(n)j}$，则不变因子中 $(\lambda -{\lambda }_j)$ 的方幂分别为 $e_{(1)j},e_{(2)j},\dots ,e_{(n)j}$。

因此所有非零方幂 $(\lambda -{\lambda }_j{)}^{e_{ij}}$（$e_{ij}>0$）就是 $A$ 的全部初等因子。

证毕

例子：定理8.9 有理标准形 — 例子

定理8.10 复矩阵的若尔当标准形

每个 $n$ 阶的复矩阵 $A$ 都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵 $A$ 唯一决定的，它称为 $A$ 的若尔当标准形。

证

存在性：设 $A$ 的初等因子为 $(\lambda -{\lambda }_1{)}^{n_1},\dots ,(\lambda -{\lambda }_s{)}^{n_s}$。对每个初等因子 $(\lambda -{\lambda }_k{)}^{n_k}$，构造 $n_k$ 阶若尔当块

$$J_k=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_k& 1& & \\ & {\lambda }_k& \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & {\lambda }_k\end{array}\right).$$

$J_k$ 的特征矩阵 $\lambda E_{n_k}-J_k$ 的唯一非1不变因子为 $(\lambda -{\lambda }_k{)}^{n_k}$，故 $J_k$ 的初等因子恰为 $(\lambda -{\lambda }_k{)}^{n_k}$。

令 $J=\text{diag}(J_1,\dots ,J_s)$，则 $J$ 的初等因子为 $(\lambda -{\lambda }_1{)}^{n_1},\dots ,(\lambda -{\lambda }_s{)}^{n_s}$，与 $A$ 相同。由定理8.8，$A$ 与 $J$ 相似。

唯一性：若 $A$ 相似于两个若尔当形矩阵 $J$ 和 $J^{\prime }$，则 $J$ 与 $J^{\prime }$ 相似，有相同的初等因子。若尔当块的初等因子由其阶数和特征值唯一确定，故 $J$ 和 $J^{\prime }$ 的若尔当块（不计顺序）完全相同。

证毕

例子：定理8.10 最小多项式与不变因子的关系 — 例子

定理8.11 线性变换的若尔当标准形

设 $\mathcal{A}$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，在 $V$ 中必定存在一组基，使 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵是若尔当标准形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被 $\mathcal{A}$ 唯一决定的。

证

$\mathcal{A}$ 在任一基下的矩阵 $A$ 由定理8.10相似于若尔当标准形 $J$。由定理7.5，存在另一组基使 $\mathcal{A}$ 的矩阵为 $J$。唯一性由 $J$ 的唯一性保证。

证毕

例子：定理8.11 λ-矩阵可逆的充要条件 — 例子

定理8.12 可对角化与初等因子

复矩阵 $A$ 与对角矩阵相似的充分必要条件是，$A$ 的初等因子全为一次的。

证

必要性：若 $A$ 相似于对角矩阵 $\text{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$，其特征矩阵 $\lambda E-D=\text{diag}(\lambda -{\lambda }_1,\dots ,\lambda -{\lambda }_n)$，对角线上每个元素是一次式，分解后初等因子全为一次。

充分性：若初等因子全为一次，即 $(\lambda -{\lambda }_1),\dots ,(\lambda -{\lambda }_n)$，对应的若尔当块都是一阶的（$1\times 1$），若尔当标准形就是对角矩阵。

证毕

例子：定理8.12 λ-矩阵等价的充要条件 — 例子

定理8.13 可对角化与不变因子

复矩阵 $A$ 与对角矩阵相似的充分必要条件是，$A$ 的不变因子都没有重根。

证

不变因子没有重根 $\iff$ 每个不变因子分解为不同一次因式之积 $\iff$ 每个初等因子都是一次的（因为初等因子是不变因子的素因子方幂，无重根则方幂都是1次）$\iff$ $A$ 可对角化（定理8.12）。

证毕

例子：定理8.13 初等因子与相似 — 例子

定理8.14 有理标准形

数域 $P$ 上 $n\times n$ 方阵 $A$ 在 $P$ 上相似于唯一的一个有理标准形，称为 $A$ 的有理标准形。

证

设 $A$ 的不变因子为 $d_1(\lambda ),\dots ,d_r(\lambda )$（$d_i\mid d_{i+1}$），$d_i(\lambda )={\lambda }^{m_i}+a_{i,m_i-1}{\lambda }^{m_i-1}+\cdots +a_{i,0}$。

对每个不变因子 $d_i(\lambda )$，构造 $m_i$ 阶友矩阵（companion matrix）

$$C_i=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \dots & 0& -a_{i,0}\\ 1& 0& \dots & 0& -a_{i,1}\\ 0& 1& \dots & 0& -a_{i,2}\\ ⋮& & \ddots & & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& -a_{i,m_i-1}\end{array}\right).$$

$C_i$ 的特征矩阵的唯一非常数不变因子就是 $d_i(\lambda )$。令 $C=\text{diag}(C_1,\dots ,C_r)$，则 $C$ 的不变因子与 $A$ 相同，故 $A$ 与 $C$ 相似。

唯一性：有理标准形由不变因子唯一确定，而不变因子是相似不变量。

证毕

例子：定理8.14 矩阵的若尔当分解 — 例子

定理8.15 线性变换的有理标准形

设 $\mathcal{A}$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间的线性变换，则在 $V$ 中存在一组基，使 $\mathcal{A}$ 在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由 $\mathcal{A}$ 唯一决定，称为 $\mathcal{A}$ 的有理标准形。

证

$\mathcal{A}$ 在任一基下的矩阵 $A$ 由定理8.14相似于有理标准形 $C$。由定理7.5，存在基使 $\mathcal{A}$ 的矩阵为 $C$。唯一性由有理标准形的唯一性保证。

证毕

例子：定理8.15 幂零矩阵的若尔当标准形 — 例子

相关链接

• 第七章 线性变换
• 第九章 欧几里得空间
• 高等代数 定理索引
• 第八章 λ-矩阵 例子

来源引用

• 高等代数 第五版 full.md