第七章 线性变换

本章包含线性变换与矩阵的对应、特征值与特征向量、对角化及若尔当标准形相关的基础定理。

定义7.1 线性变换

设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，$\mathcal{A}$ 是 $V$ 到自身的映射。如果对任意 $\alpha ,\beta \in V$ 和 $k\in P$，有

$$\mathcal{A}(\alpha +\beta )=\mathcal{A}\alpha +\mathcal{A}\beta ,\mathcal{A}(k\alpha )=k\mathcal{A}\alpha ,$$

则称 $\mathcal{A}$ 为 $V$ 上的线性变换。

例子：定义7.1 线性变换 — 例子

定义7.2 线性变换的矩阵

设 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 是 $V$ 的一组基，$\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的线性变换。若

$$\mathcal{A}{\epsilon }_j=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{\epsilon }_i(j=1,2,\dots ,n),$$

即

$$(\mathcal{A}{\epsilon }_1,\mathcal{A}{\epsilon }_2,\dots ,\mathcal{A}{\epsilon }_n)=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n)A,$$

则 $A=(a_{ij})$ 称为 $\mathcal{A}$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 下的矩阵。

例子：定义7.2 线性变换的矩阵 — 例子

定义7.3 特征值与特征向量

设 $\mathcal{A}$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的线性变换。如果存在 ${\lambda }_0\in P$ 和非零向量 $\xi \in V$，使得

$$\mathcal{A}\xi ={\lambda }_0\xi ,$$

则称 ${\lambda }_0$ 为 $\mathcal{A}$ 的一个特征值，$\xi$ 为 $\mathcal{A}$ 的属于特征值 ${\lambda }_0$ 的一个特征向量。

例子：定义7.3 特征值与特征向量 — 例子

定义7.4 特征多项式

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，称

$$f(\lambda )=|\lambda E-A|$$

为 $A$ 的特征多项式。特征多项式的根即为矩阵 $A$ 的特征值。

例子：定义7.4 特征多项式 — 例子

定义7.5 特征子空间

设 ${\lambda }_0$ 是线性变换 $\mathcal{A}$ 的特征值，称

$$V_{{\lambda }_0}=\{\xi \in V\mid \mathcal{A}\xi ={\lambda }_0\xi \}$$

为 $\mathcal{A}$ 的属于特征值 ${\lambda }_0$ 的特征子空间。

例子：定义7.5 特征子空间 — 例子

定义7.6 可对角化

如果线性变换 $\mathcal{A}$（或矩阵 $A$）在某组基下的矩阵为对角矩阵，则称 $\mathcal{A}$（或 $A$）可对角化。

例子：定义7.6 可对角化 — 例子

定义7.7 不变子空间

设 $\mathcal{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $V$ 的子空间。如果对任意 $\alpha \in W$，都有 $\mathcal{A}\alpha \in W$，则称 $W$ 为 $\mathcal{A}$ 的不变子空间。

例子：定义7.7 不变子空间 — 例子

定义7.8 最小多项式

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵。满足 $f(A)=0$ 的次数最低的首一多项式 $f(\lambda )$ 称为 $A$ 的最小多项式。

例子：定义7.8 最小多项式 — 例子

定义7.9 若尔当标准形

形如

$$J_k(\lambda )={\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 1& & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda \end{array}\right)}_{k\times k}$$

的矩阵称为 $k$ 阶若尔当块。由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当标准形（或若尔当矩阵）。

定理7.1 线性变换由基上的像唯一确定

设 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 是线性空间 $V$ 的一组基，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 是 $V$ 中任意 $n$ 个向量。存在唯一的线性变换 $\mathcal{A}$，使

$$\mathcal{A}{\epsilon }_i={\alpha }_i,i=1,2,\dots ,n.$$

证

存在性：对任意 $\xi \in V$，$\xi$ 可唯一地表示为 $\xi ={\sum }_{i=1}^n{x}_i{\epsilon }_i$。定义 $\mathcal{A}\xi ={\sum }_{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i$。

验证线性：设 $\xi =\sum x_i{\epsilon }_i$，$\eta =\sum y_i{\epsilon }_i$，则

$\mathcal{A}(\xi +\eta )=\mathcal{A}\left(\sum (x_i+y_i){\epsilon }_i\right)=\sum (x_i+y_i){\alpha }_i=\sum x_i{\alpha }_i+\sum y_i{\alpha }_i=\mathcal{A}\xi +\mathcal{A}\eta$。

$\mathcal{A}(k\xi )=\mathcal{A}\left(\sum k{x}_i{\epsilon }_i\right)=\sum k{x}_i{\alpha }_i=k\sum x_i{\alpha }_i=k\mathcal{A}\xi$。

且 $\mathcal{A}{\epsilon }_i={\alpha }_i$（取 $\xi ={\epsilon }_i$，坐标为 $x_j={\delta }_{ij}$）。

唯一性：设 $\mathcal{B}$ 也是线性变换且 $\mathcal{B}{\epsilon }_i={\alpha }_i$。对任意 $\xi =\sum x_i{\epsilon }_i$，$\mathcal{B}\xi =\sum x_i\mathcal{B}{\epsilon }_i=\sum x_i{\alpha }_i=\mathcal{A}\xi$，故 $\mathcal{B}=\mathcal{A}$。

证毕

例子：定理7.1 线性变换的矩阵表示 — 例子

定理7.2 线性变换与矩阵的对应保持运算

设 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式对应一个 $n\times n$ 矩阵。这个对应具有以下的性质：

1. 线性变换的和对应于矩阵的和；
2. 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
3. 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
4. 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。

证

设 $\mathcal{A}{\epsilon }_j={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{\epsilon }_i$（矩阵 $A$），$\mathcal{B}{\epsilon }_j={\sum }_{i=1}^n{b}_{ij}{\epsilon }_i$（矩阵 $B$）。

1：$(\mathcal{A}+\mathcal{B}){\epsilon }_j=\mathcal{A}{\epsilon }_j+\mathcal{B}{\epsilon }_j=\sum (a_{ij}+b_{ij}){\epsilon }_i$，对应矩阵 $A+B$。

2：$(\mathcal{A}\mathcal{B}){\epsilon }_j=\mathcal{A}(\mathcal{B}{\epsilon }_j)=\mathcal{A}\left({\sum }_{k=1}^n{b}_{kj}{\epsilon }_k\right)={\sum }_{k=1}^n{b}_{kj}\mathcal{A}{\epsilon }_k={\sum }_{k=1}^n{b}_{kj}{\sum }_{i=1}^n{a}_{ik}{\epsilon }_i={\sum }_{i=1}^n\left({\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}\right){\epsilon }_i$，对应矩阵 $AB$。

3：$(k\mathcal{A}){\epsilon }_j=k(\mathcal{A}{\epsilon }_j)=k\sum a_{ij}{\epsilon }_i=\sum (k{a}_{ij}){\epsilon }_i$，对应矩阵 $kA$。

4：若 $\mathcal{A}$ 可逆，设逆变换为 ${\mathcal{A}}^{-1}$，对应矩阵 $C$。则 $\mathcal{A}{\mathcal{A}}^{-1}=\mathcal{E}$，由2，$AC=E$，故 $C=A^{-1}$。反之，若 $A$ 可逆，由对应关系存在线性变换 $\mathcal{B}$ 对应 $A^{-1}$，则 $\mathcal{A}\mathcal{B}$ 对应 $A{A}^{-1}=E$，即 $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{E}$，$\mathcal{A}$ 可逆。

证毕

例子：定理7.2 线性变换在不同基下的矩阵 — 例子

定理7.3 向量坐标的计算

设线性变换 $\mathcal{A}$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 下的矩阵是 $A$，向量 $\xi$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 下的坐标是 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，则 $\mathcal{A}\xi$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 下的坐标 $(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ 可以按公式

$$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

计算。

证

$\xi ={\sum }_{j=1}^n{x}_j{\epsilon }_j$，$\mathcal{A}\xi ={\sum }_{j=1}^n{x}_j\mathcal{A}{\epsilon }_j={\sum }_{j=1}^n{x}_j{\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{\epsilon }_i={\sum }_{i=1}^n\left({\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\right){\epsilon }_i$。

因此 $y_i={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j$，即 $Y=AX$。

证毕

例子：定理7.3 相似矩阵的性质 — 例子

定理7.4 线性变换在不同基下矩阵的关系

设线性空间 $V$ 中线性变换 $\mathcal{A}$ 在两组基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 和 ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n$ 下的矩阵分别为 $A$ 和 $B$，从基 $\epsilon$ 到 $\eta$ 的过渡矩阵是 $X$，于是

$$B=X^{-1}AX.$$

证

由定义，$\mathcal{A}{\epsilon }_j={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{\epsilon }_i$（矩阵 $A$），$\mathcal{A}{\eta }_j={\sum }_{i=1}^n{b}_{ij}{\eta }_i$（矩阵 $B$），$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n)=({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)X$。

设 $X$ 的第 $j$ 列为 $(x_{1j},\dots ,x_{nj}{)}^T$，则 ${\eta }_j={\sum }_{k=1}^n{x}_{kj}{\epsilon }_k$。

$\mathcal{A}{\eta }_j={\sum }_{k=1}^n{x}_{kj}\mathcal{A}{\epsilon }_k={\sum }_{k=1}^n{x}_{kj}{\sum }_{i=1}^n{a}_{ik}{\epsilon }_i={\sum }_{i=1}^n\left({\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{x}_{kj}\right){\epsilon }_i$。

另一方面，$\mathcal{A}{\eta }_j={\sum }_{i=1}^n{b}_{ij}{\eta }_i={\sum }_{i=1}^n{b}_{ij}{\sum }_{k=1}^n{x}_{ki}{\epsilon }_k={\sum }_{k=1}^n\left({\sum }_{i=1}^n{x}_{ki}{b}_{ij}\right){\epsilon }_k$。

比较系数，${\sum }_k{a}_{ik}{x}_{kj}={\sum }_{i^{\prime }}{x}_{i{i}^{\prime }}{b}_{i^{\prime }j}$，即 $AX=XB$，故 $B=X^{-1}AX$。

证毕

例子：定理7.4 特征值与特征向量 — 例子

定理7.5 线性变换与矩阵相似的对应

线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的。反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。

证

前半部分：由定理7.4，$B=X^{-1}AX$，$X$ 可逆，故 $A$ 与 $B$ 相似。

后半部分：设 $B=X^{-1}AX$，$X$ 可逆。在 $n$ 维空间 $V$ 中取基 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$，定义线性变换 $\mathcal{A}$ 使其在 $\epsilon$ 下的矩阵为 $A$。令 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n$ 满足 $({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n)=({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)X$，则 $\eta$ 也是一组基（$X$ 可逆）。由定理7.4，$\mathcal{A}$ 在 $\eta$ 下的矩阵为 $X^{-1}AX=B$。

证毕

例子：定理7.5 特征多项式的性质 — 例子

定理7.6 相似矩阵的特征多项式

相似的矩阵有相同的特征多项式。

证

设 $B=X^{-1}AX$，则 $|\lambda E-B|=|\lambda E-X^{-1}AX|=|X^{-1}(\lambda E-A)X|=|X^{-1}|\cdot |\lambda E-A|\cdot |X|=|\lambda E-A|$。

证毕

例子：定理7.6 哈密顿-凯莱定理 — 例子

哈密顿-凯莱（Hamilton-Cayley）定理

设 $A$ 是数域 $P$ 上一 $n\times n$ 矩阵，$f(\lambda )=|\lambda E-A|$ 是 $A$ 的特征多项式，则

$$f(A)=A^n-(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn})A^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n|A|E=O.$$

推论：设 $\mathcal{A}$ 是有限维空间 $V$ 的线性变换，$f(\lambda )$ 是 $\mathcal{A}$ 的特征多项式，那么 $f(\mathcal{A})=0$。

证

设 $f(\lambda )=|\lambda E-A|$。令 $B(\lambda )=(\lambda E-A{)}^{\ast }$ 为 $\lambda E-A$ 的伴随矩阵。$B(\lambda )$ 的每个元素是 $\lambda E-A$ 的 $n-1$ 阶子式，故是 $\lambda$ 的次数不超过 $n-1$ 的多项式。设

$$B(\lambda )=B_0{\lambda }^{n-1}+B_1{\lambda }^{n-2}+\cdots +B_{n-1},$$

其中 $B_i$ 是 $n\times n$ 常数矩阵。

由伴随矩阵的性质，$(\lambda E-A)B(\lambda )=|\lambda E-A|E=f(\lambda )E$。

设 $f(\lambda )={\lambda }^n+c_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +c_n$，则

$$(\lambda E-A)(B_0{\lambda }^{n-1}+B_1{\lambda }^{n-2}+\cdots +B_{n-1})=({\lambda }^n+c_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +c_n)E.$$

比较两边 ${\lambda }^k$ 的系数：

${\lambda }^n$：$B_0=E$；

${\lambda }^{n-1}$：$B_1-A{B}_0=c_{1}E$，即 $B_1=A{B}_0+c_{1}E=A+c_{1}E$；

${\lambda }^k$（$0⩽k⩽n-2$）：$B_{n-k}-A{B}_{n-k-1}=c_{n-k}E$；

${\lambda }^0$：$-A{B}_{n-1}=c_{n}E$。

将第 $k$ 式左乘 $A^k$（$k=0,1,\dots ,n$），然后全部相加：

$A^0{B}_0+A^1(B_1-A{B}_0)+A^2(B_2-A{B}_1)+\cdots +A^n(-A{B}_{n-1})=c_{0}E+c_{1}A+\cdots +c_n{A}^n$。

左边逐项消去后等于零，右边为 $f(A)$。故 $f(A)=O$。

推论：$\mathcal{A}$ 在某基下对应矩阵 $A$，$f(\mathcal{A})$ 对应 $f(A)=O$，零矩阵对应零变换，故 $f(\mathcal{A})=0$。

证毕

定理7.7 可对角化的充要条件

设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换，$\mathcal{A}$ 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，$\mathcal{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

证

充分性：设 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 是 $\mathcal{A}$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量，$\mathcal{A}{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i$。取 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 为 $V$ 的基，则 $\mathcal{A}$ 在此基下的矩阵为 $\text{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$，是对角矩阵。

必要性：设 $\mathcal{A}$ 在基 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n$ 下的矩阵为对角矩阵 $\text{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$，则 $\mathcal{A}{\eta }_i={\lambda }_i{\eta }_i$，每个 ${\eta }_i$ 都是特征向量，且基向量线性无关，故有 $n$ 个线性无关的特征向量。

证毕

例子：定理7.7 对角化的充要条件 — 例子

定理7.8 不同特征值的特征向量线性无关

属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

推论1：如果在 $n$ 维线性空间 $V$ 中，线性变换 $\mathcal{A}$ 的特征多项式在数域 $P$ 中有 $n$ 个不同的根，即 $\mathcal{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值，那么 $\mathcal{A}$ 在某组基下的矩阵是对角形的。

推论2：在复数域上的线性空间中，如果线性变换 $\mathcal{A}$ 的特征多项式没有重根，那么 $\mathcal{A}$ 在某组基下的矩阵是对角形的。

证

对特征值个数 $k$ 做归纳法。$k=1$ 时，一个非零特征向量自然线性无关。

设 $k-1$ 个不同特征值的特征向量线性无关。设 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k$ 分别属于不同特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$，且

$$c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_k{\alpha }_k=0.$$

用 $\mathcal{A}$ 作用：$c_1{\lambda }_1{\alpha }_1+c_2{\lambda }_2{\alpha }_2+\cdots +c_k{\lambda }_k{\alpha }_k=0$。

第一式乘以 ${\lambda }_k$ 减去第二式：$c_1({\lambda }_k-{\lambda }_1){\alpha }_1+\cdots +c_{k-1}({\lambda }_k-{\lambda }_{k-1}){\alpha }_{k-1}=0$。

由归纳假设，${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{k-1}$ 线性无关，故 $c_i({\lambda }_k-{\lambda }_i)=0$（$i=1,\dots ,k-1$）。因为 ${\lambda }_k\ne {\lambda }_i$，故 $c_i=0$（$i=1,\dots ,k-1$）。代入第一式得 $c_k{\alpha }_k=0$，${\alpha }_k\ne 0$，故 $c_k=0$。

推论1：$n$ 个不同特征值各有一个特征向量，由本定理这 $n$ 个特征向量线性无关，由定理7.7，$\mathcal{A}$ 可对角化。

推论2：复数域上特征多项式必有 $n$ 个根，无重根则 $n$ 个不同特征值，由推论1得证。

证毕

例子：定理7.8 不变子空间 — 例子

定理7.9 不同特征值的特征向量组合

如果 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ 是线性变换 $\mathcal{A}$ 的不同的特征值，而 ${\alpha }_{i1},\dots ,{\alpha }_{i{r}_i}$（$i=1,2,\dots ,k$）是属于特征值 ${\lambda }_i$ 的线性无关的特征向量，那么向量组 ${\alpha }_{11},\dots ,{\alpha }_{1r_1},\dots ,{\alpha }_{k1},\dots ,{\alpha }_{k{r}_k}$ 也线性无关。

证

对 $k$ 做归纳法。$k=1$ 时结论显然。

设对 $k-1$ 个特征值结论成立。设

$$\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{r_i}{c}_{ij}{\alpha }_{ij}=0.$$

令 ${\beta }_i={\sum }_{j=1}^{r_i}{c}_{ij}{\alpha }_{ij}$（$i=1,\dots ,k$），则 ${\sum }_{i=1}^k{\beta }_i=0$。

若某个 ${\beta }_i\ne 0$，则 ${\beta }_i$ 是属于 ${\lambda }_i$ 的特征向量（因为 ${\alpha }_{i1},\dots ,{\alpha }_{i{r}_i}$ 都属于 ${\lambda }_i$）。此时非零的 ${\beta }_i$ 分别属于不同特征值，由定理7.8它们线性无关，不可能组合为零，矛盾。故所有 ${\beta }_i=0$。

由 ${\beta }_i=0$，即 ${\sum }_{j=1}^{r_i}{c}_{ij}{\alpha }_{ij}=0$，而 ${\alpha }_{i1},\dots ,{\alpha }_{i{r}_i}$ 线性无关，故 $c_{ij}=0$。对所有 $i$ 都成立。

证毕

例子：定理7.9 值域与核 — 例子

定理7.10 线性变换的秩与矩阵的秩

线性变换的秩等于其对应矩阵的秩。

证

设 $\mathcal{A}$ 在基 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$ 下的矩阵为 $A$。$\mathcal{A}V$ 由 $\mathcal{A}{\epsilon }_1,\dots ,\mathcal{A}{\epsilon }_n$ 生成，而 $\mathcal{A}{\epsilon }_j={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{\epsilon }_i$，故 $\mathcal{A}{\epsilon }_j$ 在基下的坐标就是 $A$ 的第 $j$ 列。

$\mathcal{A}V$ 的维数 $=$ $\mathcal{A}{\epsilon }_1,\dots ,\mathcal{A}{\epsilon }_n$ 中极大线性无关组的向量个数 $=$ $A$ 的列秩 $=$ $A$ 的秩。

证毕

例子：定理7.10 线性变换的秩与零度 — 例子

定理7.11 秩与零度之和

设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换。则 $\mathcal{A}V$ 的一组基的原像及 ${\mathcal{A}}^{-1}(0)$ 的一组基合起来就是 $V$ 的一组基。由此还有

$$\mathcal{A}\text{的秩}+\mathcal{A}\text{的零度}=n.$$

推论：对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充分必要条件为它是满射。

证

设 $\mathcal{A}V$ 的维数为 $r$，取基 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_r$。对每个 ${\eta }_i$，取 ${\xi }_i\in V$ 使 $\mathcal{A}{\xi }_i={\eta }_i$。

设 ${\mathcal{A}}^{-1}(0)$ 的维数为 $s$，取基 ${\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_s$。

断言：${\xi }_1,\dots ,{\xi }_r,{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_s$ 是 $V$ 的基。

先证线性无关：设 ${\sum }_{i=1}^r{a}_i{\xi }_i+{\sum }_{j=1}^s{b}_j{\zeta }_j=0$。用 $\mathcal{A}$ 作用：${\sum }_{i=1}^r{a}_i{\eta }_i=0$（因为 $\mathcal{A}{\zeta }_j=0$）。${\eta }_1,\dots ,{\eta }_r$ 线性无关，故 $a_i=0$。于是 $\sum b_j{\zeta }_j=0$，${\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_s$ 线性无关，故 $b_j=0$。

再证生成：对任意 $\alpha \in V$，$\mathcal{A}\alpha \in \mathcal{A}V$，可表为 $\mathcal{A}\alpha ={\sum }_{i=1}^r{c}_i{\eta }_i=\mathcal{A}\left(\sum c_i{\xi }_i\right)$。故 $\mathcal{A}\left(\alpha -\sum c_i{\xi }_i\right)=0$，即 $\alpha -\sum c_i{\xi }_i\in {\mathcal{A}}^{-1}(0)$，可由 ${\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_s$ 表出。故 $\alpha$ 可由 ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_r,{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_s$ 表出。

因此 $n=r+s$，即秩 $+$ 零度 $=n$。

推论：$\mathcal{A}$ 单射 $\iff$ ${\mathcal{A}}^{-1}(0)=\{0\}$ $\iff$ 零度 $=0$ $\iff$ 秩 $=n$ $\iff$ $\mathcal{A}V=V$ $\iff$ $\mathcal{A}$ 满射。

证毕

例子：定理7.11 线性变换可逆的充要条件 — 例子

定理7.12 不变子空间的直和分解

设线性变换 $\mathcal{A}$ 的特征多项式为 $f(\lambda )$，它可分解成一次因式的乘积

$$f(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{r_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{r_2}\dots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{r_s},$$

则 $V$ 可分解成不变子空间的直和

$$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_s,$$

其中 $V_i=\{\xi \in V\mid (\mathcal{A}-{\lambda }_i\mathcal{E}{)}^{r_i}\xi =0\}$。

证

令 $f_i(\lambda )=\frac{f(\lambda )}{(\lambda -{\lambda }_i{)}^{r_i}}={\prod }_{j\ne i}(\lambda -{\lambda }_j{)}^{r_j}$。则 $f_1,f_2,\dots ,f_s$ 互素，故存在多项式 $u_1(\lambda ),\dots ,u_s(\lambda )$ 使

$$u_1(\lambda )f_1(\lambda )+\cdots +u_s(\lambda )f_s(\lambda )=1.$$

令 ${\mathcal{E}}_i=u_i(\mathcal{A})f_i(\mathcal{A})$，则 ${\mathcal{E}}_1+\cdots +{\mathcal{E}}_s=\mathcal{E}$（恒等变换）。

对任意 $\xi \in V$，$\xi ={\mathcal{E}}_1\xi +\cdots +{\mathcal{E}}_s\xi$。而 ${\mathcal{E}}_i\xi =u_i(\mathcal{A})f_i(\mathcal{A})\xi \in V_i$，因为 $(\mathcal{A}-{\lambda }_i\mathcal{E}{)}^{r_i}{\mathcal{E}}_i\xi =u_i(\mathcal{A})(\mathcal{A}-{\lambda }_i\mathcal{E}{)}^{r_i}{f}_i(\mathcal{A})\xi =u_i(\mathcal{A})f(\mathcal{A})\xi =0$（由哈密顿-凯莱定理）。

故 $V=V_1+V_2+\cdots +V_s$。

再证是直和：若 ${\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_s=0$（${\alpha }_i\in V_i$），则 $f_i(\mathcal{A}){\alpha }_i=0$（因为 $(\lambda -{\lambda }_i{)}^{r_i}\mid f_i(\lambda )\cdot (\lambda -{\lambda }_i{)}^{r_i}$ 不对，但 $f_i(\mathcal{A}){\alpha }_i$：由 ${\alpha }_i\in V_i$，$(\mathcal{A}-{\lambda }_i\mathcal{E}{)}^{r_i}{\alpha }_i=0$，而 $f_i(\lambda )$ 与 $(\lambda -{\lambda }_i{)}^{r_i}$ 互素，故存在 $p,q$ 使 $p{f}_i+q(\lambda -{\lambda }_i{)}^{r_i}=1$，$p(\mathcal{A})f_i(\mathcal{A}){\alpha }_i+q(\mathcal{A})(\mathcal{A}-{\lambda }_i\mathcal{E}{)}^{r_i}{\alpha }_i={\alpha }_i$，第二项为零，故 ${\alpha }_i=p(\mathcal{A})f_i(\mathcal{A}){\alpha }_i$）。

对 ${\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_s=0$，用 $f_j(\mathcal{A})$ 作用（$j\ne i$）：$f_j(\mathcal{A}){\alpha }_i=0$（当 $i\ne j$ 时，$f_j$ 含因子 $(\lambda -{\lambda }_i{)}^{r_i}$，故 $f_j(\mathcal{A})$ 作用在 $V_i$ 上为零），故 $f_j(\mathcal{A}){\alpha }_j=0$。但 $f_j(\lambda )$ 与 $(\lambda -{\lambda }_j{)}^{r_j}$ 互素，由上述论证，${\alpha }_j=0$。直和得证。

每个 $V_i$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间：若 $\xi \in V_i$，$(\mathcal{A}-{\lambda }_i\mathcal{E}{)}^{r_i}\xi =0$，则 $(\mathcal{A}-{\lambda }_i\mathcal{E}{)}^{r_i}\mathcal{A}\xi =\mathcal{A}(\mathcal{A}-{\lambda }_i\mathcal{E}{)}^{r_i}\xi =0$，故 $\mathcal{A}\xi \in V_i$。

证毕

例子：定理7.12 最小多项式 — 例子

定理7.13 若尔当标准形存在定理

设 $\mathcal{A}$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换，则 $V$ 中一定存在一组基，$\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵，称为 $\mathcal{A}$ 的若尔当标准形。

证

由定理7.12，$V=V_1\oplus \cdots \oplus V_s$，其中 $V_i=\ker (\mathcal{A}-{\lambda }_i\mathcal{E}{)}^{r_i}$。在每个 $V_i$ 中，$\mathcal{A}$ 的限制的特征多项式为 $(\lambda -{\lambda }_i{)}^{r_i}$。

只需证：若 $\mathcal{A}$ 是 $m$ 维空间 $W$ 上的线性变换，特征多项式为 $(\lambda -{\lambda }_0{)}^m$，则 $W$ 中存在一组基使 $\mathcal{A}$ 的矩阵为若尔当形。

令 $\mathcal{B}=\mathcal{A}-{\lambda }_0\mathcal{E}$，则 ${\mathcal{B}}^m=0$（幂零变换）。构造 $W$ 的基如下：

取 ${\mathcal{B}}^{m-1}W$ 的基，再取 ${\mathcal{B}}^{m-2}W$ 中补充向量使其与 ${\mathcal{B}}^{m-1}W$ 的基一起构成 ${\mathcal{B}}^{m-2}W$ 的基，依此类推。

具体地，设 ${\mathcal{B}}^{m-1}W$ 的维数为 $k_1$，取基 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_{k_1}$。这些向量在 ${\mathcal{B}}^{m-2}W$ 中，补充 ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_{k_2}$ 使 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_{k_1},{\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_{k_2}$ 构成 ${\mathcal{B}}^{m-2}W$ 的基。

对每个 ${\gamma }_j$，$\mathcal{B}{\gamma }_j\in {\mathcal{B}}^{m-1}W$，${\mathcal{B}}^2{\gamma }_j\in {\mathcal{B}}^{m}W=\{0\}$。由此生成若尔当链 ${\gamma }_j,\mathcal{B}{\gamma }_j,{\mathcal{B}}^2{\gamma }_j,\dots$。

继续此过程，最终得到 $W$ 的一组基，其中每个向量属于某条若尔当链。在每条链 $\alpha ,\mathcal{B}\alpha ,{\mathcal{B}}^2\alpha ,\dots ,{\mathcal{B}}^{t-1}\alpha$ 中，$\mathcal{A}({\mathcal{B}}^i\alpha )={\lambda }_0{\mathcal{B}}^i\alpha +{\mathcal{B}}^{i+1}\alpha$，对应若尔当块。

证毕

例子：定理7.13 最小多项式整除特征多项式 — 例子

定理7.14 复矩阵的若尔当标准形

每个 $n$ 阶复矩阵 $A$ 一定与一个若尔当形矩阵相似。这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外由 $A$ 唯一决定，称为 $A$ 的若尔当标准形。

证

存在性：由定理7.13，$A$ 对应的线性变换在某基下的矩阵为若尔当形 $J$，$A$ 与 $J$ 相似。

唯一性：设 $A$ 相似于两个若尔当形矩阵 $J_1$ 和 $J_2$，则 $J_1$ 与 $J_2$ 相似。相似矩阵有相同的特征多项式，故 $J_1$ 和 $J_2$ 有相同的特征值及代数重数。

对于特征值 $\lambda$，$J_1$ 中属于 $\lambda$ 的若尔当块由 $(J_1-\lambda E{)}^k$ 的秩决定（$k=1,2,\dots$）。具体地，属于 $\lambda$ 的阶数 $⩾k$ 的若尔当块个数为秩$({\mathcal{B}}^{k-1})-$ 秩$({\mathcal{B}}^k)$，其中 $\mathcal{B}=\mathcal{A}-\lambda \mathcal{E}$。相似矩阵的各次幂的秩相同，故 $J_1$ 和 $J_2$ 中各阶若尔当块个数相同，即 $J_1$ 和 $J_2$ 至多排列顺序不同。

证毕

例子：定理7.14 可对角化的最小多项式条件 — 例子

定理7.15 可对角化与最小多项式

数域 $P$ 上 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵相似的充分必要条件为 $A$ 的最小多项式是 $P$ 上互素的一次因式的乘积。

推论：复矩阵 $A$ 与对角矩阵相似的充分必要条件是 $A$ 的最小多项式没有重根。

证

必要性：若 $A$ 相似于对角矩阵 $\text{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$，设 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_s$ 是互不相同的特征值。令 $g(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\dots (\lambda -{\lambda }_s)$，则 $g(A)=0$（因为 $g({\lambda }_i)=0$，对角矩阵代入后每个对角元为零）。最小多项式 $m(\lambda )$ 整除 $g(\lambda )$，而 $g(\lambda )$ 是互素一次因式的乘积，故 $m(\lambda )$ 也是互素一次因式的乘积。

充分性：设最小多项式 $m(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1)\dots (\lambda -{\lambda }_s)$，其中 ${\lambda }_i$ 互不相同。由定理7.12，$V=V_1\oplus \cdots \oplus V_s$，其中 $V_i=\ker (\mathcal{A}-{\lambda }_i\mathcal{E})$（注意这里 $r_i=1$，因为最小多项式中每个一次因子只出现一次）。

$V_i$ 中的向量都是属于 ${\lambda }_i$ 的特征向量。取每个 $V_i$ 的基，合起来是 $V$ 的基，$\mathcal{A}$ 在此基下的矩阵是对角矩阵。

推论：在复数域上，一次因式总能分解，故 $A$ 可对角化 $\iff$ 最小多项式是互素一次因式之积 $\iff$ 最小多项式无重根。

证毕

例子：定理7.15 线性变换的运算 — 例子

相关链接

• 第六章 线性空间
• 第八章 λ-矩阵
• 高等代数 定理索引
• 第七章 线性变换 例子

来源引用

• 高等代数 第五版 full.md