第四章 矩阵

本章包含矩阵运算、可逆矩阵、矩阵的秩及初等变换相关的基础定理。

定义4.1 矩阵的运算

设 $A=(a_{ij}{)}_{s\times n}$n}$，$B = (b_{ij})_{s \times n}$是数域$P$上的矩阵，$k \in P$。

加法：$A+B=(a_{ij}+b_{ij}{)}_{s\times n}$。

数乘：$kA=(k{a}_{ij}{)}_{s\times n}$。

乘法：设 $A=(a_{ij}{)}_{s\times n}$，$B=(b_{ij}{)}_{n\times m}$，则 $AB=(c_{ij}{)}_{s\times m}$，其中 $c_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$。

例子：定义4.1 矩阵的运算 — 例子

定义4.2 可逆矩阵

设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵。如果存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得

$$AB=BA=E_n,$$

则称 $A$ 为可逆矩阵（或非奇异矩阵），$B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记为 $A^{-1}$。若 $|A|=0$，则称 $A$ 为奇异矩阵。

例子：定义4.2 可逆矩阵 — 例子

定义4.3 伴随矩阵

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵，$A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式。称矩阵

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$$

为 $A$ 的伴随矩阵。

例子：定义4.3 伴随矩阵 — 例子

定义4.4 初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应三种初等矩阵：

（1）换法矩阵 $P(i,j)$：交换单位矩阵的第 $i$ 行和第 $j$ 行。

（2）倍法矩阵 $P(i(c))$（$c\ne 0$）：将单位矩阵第 $i$ 行乘以非零常数 $c$。

（3）消法矩阵 $P(i,j(k))$：将单位矩阵第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行。

例子：定义4.4 初等矩阵 — 例子

定义4.5 矩阵等价

如果矩阵 $A$ 可以经过有限次初等变换化为矩阵 $B$，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记为 $A\cong B$。

例子：定义4.5 矩阵等价 — 例子

定义4.6 分块矩阵

将一个矩阵用若干条横线和纵线分成若干个小矩阵（称为子块），以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

例子：定义4.6 分块矩阵 — 例子

定理4.1 矩阵乘积的行列式

设 $A,B$ 是数域 $P$ 上的两个 $n\times n$ 矩阵，那么

$$|AB|=|A||B|.$$

证

由定理2.7（行列式乘积公式），两个 $n$ 阶行列式的乘积等于对应矩阵乘积的行列式，即 $|A|\cdot |B|=|AB|$。

证毕

例子：定理4.1 矩阵乘积的行列式 — 例子

定理4.2 矩阵乘积的秩

设 $A$ 是数域 $P$ 上 $n\times m$ 矩阵，$B$ 是数域 $P$ 上 $m\times s$ 矩阵，于是

$$\text{秩}(AB)⩽\min [\text{秩}(A),\text{秩}(B)].$$

证

秩$(AB)⩽$ 秩$(A)$：$AB$ 的第 $j$ 列为 $A$ 乘以 $B$ 的第 $j$ 列，即 $AB$ 的每一列都是 $A$ 的列向量的线性组合。因此 $AB$ 的列空间包含于 $A$ 的列空间中，故秩$(AB)⩽$ 秩$(A)$。

秩$(AB)⩽$ 秩$(B)$：$AB$ 的第 $i$ 行为 $A$ 的第 $i$ 行乘以 $B$，即 $AB$ 的每一行都是 $B$ 的行向量的线性组合。因此 $AB$ 的行空间包含于 $B$ 的行空间中，故秩$(AB)⩽$ 秩$(B)$。

综合两方面，秩$(AB)⩽\min [$秩$(A)$, 秩$(B)]$。

证毕

例子：定理4.2 矩阵乘积的秩 — 例子

定理4.3 可逆矩阵的充要条件

矩阵 $A$ 是可逆的充分必要条件是 $A$ 非退化，而

$$A^{-1}=\frac{1}{d}{A}^{\ast }(d=|A|\ne 0).$$

证

必要性：若 $A$ 可逆，则存在 $A^{-1}$ 使 $A{A}^{-1}=E$。由定理4.1，$|A|\cdot |A^{-1}|=|E|=1$，故 $|A|\ne 0$，即 $A$ 非退化。

充分性：若 $|A|=d\ne 0$，由定理2.3（行列式按行展开），对任意 $i,k$：

$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{kj}=\{\begin{array}{ll}d,& k=i,\\ 0,& k\ne i.\end{array}$$

即 $A\cdot A^{\ast }=d\cdot E$，其中 $A^{\ast }$ 是 $A$ 的伴随矩阵（$A^{\ast }$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列元素为 $A_{ij}$）。

因此 $A\cdot \frac{1}{d}{A}^{\ast }=E$，同理 $\frac{1}{d}{A}^{\ast }\cdot A=E$。故 $A^{-1}=\frac{1}{d}{A}^{\ast }$。

证毕

例子：定理4.3 可逆矩阵的充要条件 — 例子

定理4.4 可逆矩阵乘积的秩

$A$ 是一个 $s\times n$ 矩阵，如果 $P$ 是 $s\times s$ 可逆矩阵，$Q$ 是 $n\times n$ 可逆矩阵，那么

$$\text{秩}(A)=\text{秩}(PA)=\text{秩}(AQ).$$

证

由定理4.2，秩$(PA)⩽$ 秩$(A)$。又 $A=P^{-1}(PA)$，故秩$(A)⩽$ 秩$(PA)$。因此秩$(A)=$ 秩$(PA)$。

同理，秩$(AQ)⩽$ 秩$(A)$，且 $A=(AQ)Q^{-1}$，故秩$(A)⩽$ 秩$(AQ)$。因此秩$(A)=$ 秩$(AQ)$。

证毕

例子：定理4.4 可逆矩阵乘积的秩 — 例子

定理4.5 矩阵的等价标准形

任意一个 $s\times n$ 矩阵 $A$ 都与一形式为

$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& \dots & 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& \dots & 0\\ 0& 0& \dots & 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0& \dots & 0\end{array}\right)$$

的矩阵等价，其中对角线上1的个数等于 $A$ 的秩。

证

设秩$(A)=r$。对 $A$ 做初等行变换和初等列变换：

第一步：若 $A=O$，则 $r=0$，标准形为零矩阵，结论成立。

若 $A\ne O$，必有某个 $a_{ij}\ne 0$。通过行交换和列交换将 $a_{ij}$ 移到左上角 $(1,1)$ 位置。用第一行的适当倍数加到其他行，使第一列除 $a_{ij}$ 外全为零；再用第一列的适当倍数加到其他列，使第一行除 $a_{ij}$ 外全为零。最后用第一行乘以 $\frac{1}{a_{ij}}$，使 $(1,1)$ 位置变为1。

此时矩阵变为 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& A_1\end{array}\right)$，其中 $A_1$ 是 $(s-1)\times (n-1)$ 矩阵。

第二步：对 $A_1$ 重复上述过程，将 $(2,2)$ 位置变为1，其余位置消为零。

继续：重复 $r$ 次后，得到 $\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$。若还能继续，说明秩 $>r$，矛盾。因此对角线上1的个数恰好为 $r$。

由于初等变换对应乘以初等矩阵，$A$ 与标准形等价。

证毕

例子：定理4.5 矩阵的等价标准形 — 例子

定理4.6 可逆矩阵与初等矩阵

$n$ 阶矩阵 $A$ 为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积。

推论1：两个 $s\times n$ 矩阵 $A,B$ 等价的充分必要条件是存在可逆的 $s\times s$ 矩阵 $P$ 与可逆的 $n\times n$ 矩阵 $Q$，使 $A=PBQ$。

推论2：两个 $s\times n$ 矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的秩。

证

必要性：若 $A$ 可逆，则 $|A|\ne 0$，秩$(A)=n$。由定理4.5，$A$ 等价于 $E_n$，即 $A$ 可经初等变换化为 $E_n$。每步初等变换对应左乘或右乘一个初等矩阵，故存在初等矩阵 $P_1,\dots ,P_k,Q_1,\dots ,Q_l$ 使

$$P_k\cdots P_{1}A{Q}_1\cdots Q_l=E_n.$$

因此

$$A=P_1^{-1}\cdots P_k^{-1}{Q}_l^{-1}\cdots Q_1^{-1}.$$

初等矩阵的逆仍是初等矩阵，故 $A$ 是初等矩阵的乘积。

充分性：若 $A=E_1{E}_2\dots E_t$，其中每个 $E_i$ 是初等矩阵，则 $|A|=|E_1|\cdot |E_2|\cdots |E_t|\ne 0$（初等矩阵的行列式不为零），故 $A$ 可逆。

推论1的证明：$A$ 与 $B$ 等价 $\iff$ $A$ 可经初等变换化为 $B$ $\iff$ 存在初等矩阵使 $P_k\cdots P_{1}A{Q}_1\cdots Q_l=B$ $\iff$ 存在可逆矩阵 $P=P_k\cdots P_1$，$Q=Q_1\cdots Q_l$ 使 $PAQ=B$，即 $A=P^{-1}B{Q}^{-1}$，令 $P^{\prime }=P^{-1}$，$Q^{\prime }=Q^{-1}$，则 $A=P^{\prime }B{Q}^{\prime }$。

推论2的证明：$A$ 与 $B$ 等价 $\iff$ 它们有相同的标准形 $\iff$ 它们有相同的秩。

证毕

例子：定理4.6 可逆矩阵与初等矩阵 — 例子

相关链接

• 第三章 线性方程组
• 第五章 二次型
• 高等代数 定理索引
• 第四章 矩阵 例子

来源引用

• 高等代数 第五版 full.md