第四章 矩阵 例子

第四章 矩阵 — 定理例子

定义4.1 矩阵的运算 — 例子

例1（加法）：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$，则 $A+B=\left(\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right)$。

例2（数乘）：$3A=3\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 9& 12\end{array}\right)$。

例3（乘法）：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$，则 $AB=\left(\begin{array}{cc}1\times 5+2\times 7& 1\times 6+2\times 8\\ 3\times 5+4\times 7& 3\times 6+4\times 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right)$。注意 $BA=\left(\begin{array}{cc}23& 34\\ 31& 46\end{array}\right)\ne AB$，矩阵乘法一般不满足交换律。

定义：定义4.1 矩阵的运算

定义4.2 可逆矩阵 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)$，$|A|=5-6=-1\ne 0$，故 $A$ 可逆。$A^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$。验证：$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 3& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$，$|A|=4-4=0$，$A$ 是奇异矩阵，不可逆。

定义：定义4.2 可逆矩阵

定义4.3 伴随矩阵 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$A_{11}=4$，$A_{12}=-3$，$A_{21}=-2$，$A_{22}=1$。$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{21}\\ A_{12}& A_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)$。验证：$A{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)=|A|E=-2E$。

例2：3阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$，$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$。$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1/2& 0\\ 0& 0& 1/3\end{array}\right)$。

定义：定义4.3 伴随矩阵

定义4.4 初等矩阵 — 例子

例1（换法）：$P(1,2)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，左乘 $A$ 等价于交换第1、2行。

例2（倍法）：$P(2(3))=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，左乘 $A$ 等价于第2行乘3。

例3（消法）：$P(1,2(5))=\left(\begin{array}{ccc}1& 5& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，左乘 $A$ 等价于第2行的5倍加到第1行。

定义：定义4.4 初等矩阵

定义4.5 矩阵等价 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$。$A$ 可通过初等行变换化为 $E$（$|A|=-2\ne 0$，满秩），故 $A\cong E$。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$，$r(A)=1$，$A$ 的等价标准形为 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$。

定义：定义4.5 矩阵等价

定义4.6 分块矩阵 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 0\\ 3& 4& 0& 0\\ 0& 0& 5& 6\\ 0& 0& 7& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& A_2\end{array}\right)$，其中 $A_1=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$A_2=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$。分块对角矩阵的行列式 $|A|=|A_1|\cdot |A_2|=(-2)\times (-2)=4$。

例2：分块矩阵乘法。$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}E& 0\\ 0& F\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}AE& BF\\ CE& DF\end{array}\right)$（要求各块大小匹配）。

定义：定义4.6 分块矩阵

定理4.1 矩阵乘积的行列式 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)$。

$|A|=-2$，$|B|=6$，$|A||B|=-12$。

$AB=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 10& 12\end{array}\right)$，$|AB|=48-60=-12=|A||B|$ ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$。$|A|=2$，$|B|=12$，$AB=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 8\end{array}\right)$，$|AB|=24=2\times 12$ ✓。

定理：定理4.1 矩阵乘积的行列式

定理4.2 矩阵乘积的秩 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$（秩1），$B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$（秩1）。

$AB=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，秩$(AB)=0⩽\min (1,1)=1$ ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 6\end{array}\right)$（秩1），$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$（秩2）。

$AB=A$，秩$(AB)=1⩽\min (1,2)=1$ ✓。

例3：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$（秩2），$B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)$（秩2）。$AB=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 10& 12\end{array}\right)$，秩$(AB)=2⩽\min (2,2)=2$ ✓。

定理：定理4.2 矩阵乘积的秩

定理4.3 可逆矩阵的充要条件 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$|A|=-2\ne 0$，$A$ 可逆。

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)$，$A^{-1}=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$。

验证：$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$，$|A|=0$，$A$ 不可逆。

定理：定理4.3 可逆矩阵的充要条件

定理4.4 可逆矩阵乘积的秩 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$（秩2），$P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$（可逆），$Q=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$（可逆）。

$PA=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 8& 10& 12\end{array}\right)$，秩$(PA)=2=$ 秩$(A)$ ✓。

定理：定理4.4 可逆矩阵乘积的秩

定理4.5 矩阵的等价标准形 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$，秩 = 1。

标准形为 $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，秩 = 2。标准形为 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=E_2$。

定理：定理4.5 矩阵的等价标准形

定理4.6 可逆矩阵与初等矩阵 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ 可逆（$|A|=-2\ne 0$），用初等行变换求逆：

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)\stackrel{r_2-3r_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)\stackrel{-\frac{1}{2}{r}_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\stackrel{r_1-2r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right).$$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$，$A$ 可表为初等矩阵的乘积。

例2（推论2）：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ 和 $B=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$ 秩都为2，故等价。验证：$B$ 可由 $A$ 交换两行得到。

定理：定理4.6 可逆矩阵与初等矩阵