第八章 λ-矩阵 例子

第八章 λ-矩阵 — 定理例子

定义8.1 λ-矩阵 — 例子

例1：$A(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\lambda +1& \lambda -2\\ {\lambda }^2& 3\end{array}\right)$ 是2阶 $\lambda$-矩阵。

例2：特征矩阵 $\lambda E-A=\left(\begin{array}{cc}\lambda -2& -1\\ 0& \lambda -3\end{array}\right)$（其中 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$）是 $\lambda$-矩阵。

定义：定义8.1 λ-矩阵

定义8.2 λ-矩阵的初等变换 — 例子

例1：$A(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\lambda & {\lambda }^2\\ 1& \lambda +1\end{array}\right)$，第2行加上第1行的 $(-\lambda )$ 倍：$\left(\begin{array}{cc}\lambda & {\lambda }^2\\ 1-{\lambda }^2& \lambda +1-{\lambda }^3\end{array}\right)$。

例2：与数字矩阵的初等变换不同，$\lambda$-矩阵的第3种初等变换允许乘以多项式 $\phi (\lambda )$，但不能用 $\phi (\lambda )$ 乘某行（列）（那不是初等变换，而是第3种：某行加另一行的 $\phi (\lambda )$ 倍）。

定义：定义8.2 λ-矩阵的初等变换

定义8.3 λ-矩阵等价 — 例子

例1：$\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\lambda }^2\end{array}\right)$ 等价（可通过初等变换互化，它们有相同的不变因子 $1,{\lambda }^2$）。

定义：定义8.3 λ-矩阵等价

定义8.4 行列式因子 — 例子

例1：$A(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\lambda -2& -1\\ 0& \lambda -3\end{array}\right)$。1阶子式有 $\lambda -2,-1,0,\lambda -3$，最大公因式 $D_1(\lambda )=1$。2阶子式只有 $|A(\lambda )|=(\lambda -2)(\lambda -3)$，$D_2(\lambda )=(\lambda -2)(\lambda -3)$。

定义：定义8.4 行列式因子

定义8.5 不变因子 — 例子

例1：上例中，$d_1(\lambda )=D_1=1$，$d_2(\lambda )=D_2/D_1=(\lambda -2)(\lambda -3)$。验证 $d_1\mid d_2$：$1\mid (\lambda -2)(\lambda -3)$，成立。

例2：$A(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\lambda }^2(\lambda -1)\end{array}\right)$，$D_1=1$，$D_2={\lambda }^2(\lambda -1)$，$d_1=1$，$d_2={\lambda }^2(\lambda -1)$。

定义：定义8.5 不变因子

定义8.6 初等因子 — 例子

例1：不变因子 $d_1=1$，$d_2=(\lambda -1{)}^2(\lambda -2)$。初等因子为 $(\lambda -1{)}^2$ 和 $(\lambda -2)$。

例2：不变因子 $d_1=\lambda -1$，$d_2=(\lambda -1)(\lambda -2{)}^2$。$d_1$ 的初等因子：$\lambda -1$；$d_2$ 的初等因子：$\lambda -1$，$(\lambda -2{)}^2$。全部初等因子：$\lambda -1$，$\lambda -1$，$(\lambda -2{)}^2$（$\lambda -1$ 出现两次）。

定义：定义8.6 初等因子

定义8.7 最小多项式（λ-矩阵视角） — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，$\lambda E-A$ 的不变因子为 $1,(\lambda -2{)}^2$，最后一个不变因子 $d_2=(\lambda -2{)}^2$ 就是 $A$ 的最小多项式。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$，不变因子为 $1,(\lambda -2)(\lambda -3)$，最小多项式 $m(\lambda )=(\lambda -2)(\lambda -3)$。

定义：定义8.7 最小多项式（λ-矩阵视角）

定理8.1 λ-矩阵的初等变换 — 例子

例1：$A(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$，交换第1、2行得 $\left(\begin{array}{cc}0& \lambda \\ \lambda & 1\end{array}\right)$，第1行乘 $\lambda$ 得 $\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^2& \lambda \\ 0& \lambda \end{array}\right)$，第1行加 $\lambda$ 倍第2行得 $\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1+{\lambda }^2\\ 0& \lambda \end{array}\right)$。

例2：$A(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\lambda -1& 0\\ 0& \lambda -2\end{array}\right)$ 已是对角形，$D_1(\lambda )=1$，$D_2(\lambda )=(\lambda -1)(\lambda -2)$。

定理：定理8.1 λ-矩阵可逆的充要条件

定理8.2 λ-矩阵的等价标准形 — 例子

例1：$A(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$。

做初等变换：第2列减 $\lambda$ 倍第1列 → $\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1-{\lambda }^2\\ 0& \lambda \end{array}\right)$… 更直接的方法：

交换第1、2列 → $\left(\begin{array}{cc}1& \lambda \\ \lambda & 0\end{array}\right)$，第2列减 $\lambda$ 倍第1列 → $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \lambda & -{\lambda }^2\end{array}\right)$，第2行减 $\lambda$ 倍第1行 → $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -{\lambda }^2\end{array}\right)$，第2行乘 $-1$ → $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\lambda }^2\end{array}\right)$。

标准形 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\lambda }^2\end{array}\right)$，不变因子 $d_1(\lambda )=1$，$d_2(\lambda )={\lambda }^2$。

例2：$A(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\lambda -1& 0\\ 0& \lambda -2\end{array}\right)$ 已是标准形，$d_1=\lambda -1$，$d_2=\lambda -2$… 不对，需满足 $d_1\mid d_2$。$\gcd (\lambda -1,\lambda -2)=1$，故 $d_1=1$，$d_2=(\lambda -1)(\lambda -2)$。标准形 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& (\lambda -1)(\lambda -2)\end{array}\right)$。

定理：定理8.2 λ-矩阵的标准形

定理8.3 行列式因子 — 例子

例1：$A(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$。

1阶子式：$\lambda ,1,0,\lambda$，$D_1(\lambda )=\gcd (\lambda ,1,0,\lambda )=1$。

2阶子式：${\lambda }^2$，$D_2(\lambda )={\lambda }^2$。

$d_1=D_1=1$，$d_2=\frac{D_2}{D_1}={\lambda }^2$ ✓。

例2：$A(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\lambda -1& 0\\ 0& \lambda -2\end{array}\right)$。

$D_1=\gcd (\lambda -1,\lambda -2)=1$，$D_2=(\lambda -1)(\lambda -2)$。

定理：定理8.3 等价λ-矩阵的不变量

定理8.4 不变因子 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ 的特征矩阵 $\lambda E-A=\left(\begin{array}{cc}\lambda -2& -1\\ 0& \lambda -2\end{array}\right)$。

$D_1=\gcd (\lambda -2,-1,0,\lambda -2)=1$，$D_2=(\lambda -2{)}^2$。

$d_1=1$，$d_2=(\lambda -2{)}^2$。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$，$\lambda E-A=\left(\begin{array}{cc}\lambda -3& 0\\ 0& \lambda -2\end{array}\right)$。

$D_1=1$，$D_2=(\lambda -3)(\lambda -2)$，$d_1=1$，$d_2=(\lambda -3)(\lambda -2)$。

定理：定理8.4 λ-矩阵标准形的唯一性

定理8.5 初等因子 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，不变因子 $d_1=1$，$d_2=(\lambda -2{)}^2$。

初等因子：$(\lambda -2{)}^2$（从 $d_2$ 分解，$d_1=1$ 无贡献）。

例2：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，$\lambda E-A$ 的不变因子 $d_1=1$，$d_2=\lambda -1$，$d_3=(\lambda -1)(\lambda -2)$。

初等因子：$\lambda -1$（来自 $d_2$），$\lambda -1$，$\lambda -2$（来自 $d_3$）。初等因子组 $\{\lambda -1,\lambda -1,\lambda -2\}$。

定理：定理8.5 λ-矩阵等价的充要条件

定理8.6 矩阵相似的充要条件 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 2\end{array}\right)$。

$\lambda E-A$ 的不变因子：$d_1=1$，$d_2=(\lambda -2{)}^2$。

$\lambda E-B$：$\left(\begin{array}{cc}\lambda -2& -3\\ 0& \lambda -2\end{array}\right)$，$D_1=1$，$D_2=(\lambda -2{)}^2$，$d_1=1$，$d_2=(\lambda -2{)}^2$。

不变因子相同，$A\sim B$ ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$。

$A$ 的不变因子 $d_2=(\lambda -2{)}^2$，$B$ 的 $\lambda E-B=\left(\begin{array}{cc}\lambda -2& 0\\ 0& \lambda -2\end{array}\right)$，$D_1=\lambda -2$，$D_2=(\lambda -2{)}^2$，$d_1=\lambda -2$，$d_2=\lambda -2$。

不变因子不同（$A$ 的 $d_1=1\ne \lambda -2$），$A$ 与 $B$ 不相似 ✓。

定理：定理8.6 可逆λ-矩阵与初等矩阵

定理8.7 若尔当标准形的存在性 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，初等因子 $(\lambda -2{)}^2$，若尔当块 $J_1=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$。$A$ 已是若尔当标准形。

例2：$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，特征值 $\lambda =0$（3重），初等因子 ${\lambda }^3$，若尔当块 $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$。$A$ 已是若尔当标准形。

例3：$A$ 的初等因子为 $(\lambda -1{)}^2$ 和 $\lambda -2$，若尔当标准形为 $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$。

定理：定理8.7 矩阵相似的充要条件（特征矩阵等价）

定理8.8 若尔当标准形的唯一性 — 例子

例1：$A$ 的初等因子 $(\lambda -3)(\lambda -2)$，若尔当标准形 $\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$，唯一（不计块顺序）。

例2：初等因子 $(\lambda -1{)}^2,\lambda -1$，若尔当标准形 $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，唯一。

定理：定理8.8 复矩阵相似的充要条件（初等因子）

定理8.9 有理标准形 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，不变因子 $d_1=1$，$d_2={\lambda }^2-4\lambda +4$。

$d_2$ 的友矩阵 $C=\left(\begin{array}{cc}0& -4\\ 1& 4\end{array}\right)$… 实际上 ${\lambda }^2-4\lambda +4$ 的友矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}0& -4\\ 1& 4\end{array}\right)$。

验证：特征多项式 ${\lambda }^2-4\lambda +4=(\lambda -2{)}^2$ ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$，不变因子 $d_1=1$，$d_2={\lambda }^2-5\lambda +6$。

友矩阵 $\left(\begin{array}{cc}0& -6\\ 1& 5\end{array}\right)$，特征值 $2,3$ ✓。

定理：定理8.9 初等因子的求法

定理8.10 最小多项式与不变因子的关系 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，最后一个不变因子 $d_2=(\lambda -2{)}^2$，最小多项式 $m(\lambda )=(\lambda -2{)}^2=d_2$ ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，不变因子 $d_1=1$，$d_2=\lambda -1$，$d_3=(\lambda -1)(\lambda -2)$。

最小多项式 $m(\lambda )=d_3=(\lambda -1)(\lambda -2)$。验证：$(A-E)(A-2E)=O$ ✓。

定理：定理8.10 复矩阵的若尔当标准形

定理8.11 λ-矩阵可逆的充要条件 — 例子

例1：$A(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}1& \lambda \\ 0& 1\end{array}\right)$，$|A(\lambda )|=1$（非零常数），可逆 ✓。

$A(\lambda {)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -\lambda \\ 0& 1\end{array}\right)$，验证 $A(\lambda )\cdot A(\lambda {)}^{-1}=E$ ✓。

例2：$A(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& 1\end{array}\right)$，$|A(\lambda )|=\lambda$（不是非零常数），不可逆。

定理：定理8.11 线性变换的若尔当标准形

定理8.12 λ-矩阵等价的充要条件 — 例子

例1：$A(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$ 和 $B(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\lambda }^2\end{array}\right)$。

$A(\lambda )$ 的行列式因子 $D_1=1$，$D_2={\lambda }^2$；$B(\lambda )$ 的 $D_1=1$，$D_2={\lambda }^2$。行列式因子相同，等价 ✓。

例2：$A(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right)$，$D_1=\lambda$，$D_2={\lambda }^2$。$B(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\lambda }^2\end{array}\right)$，$D_1=1$，$D_2={\lambda }^2$。$D_1$ 不同，不等价 ✓。

定理：定理8.12 可对角化与初等因子

定理8.13 初等因子与相似 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$。

$A$ 的初等因子：$(\lambda -1{)}^2,\lambda -2$。

$B$：$\lambda E-B=\left(\begin{array}{ccc}\lambda -1& 0& 0\\ 0& \lambda -1& -1\\ 0& 0& \lambda -2\end{array}\right)$，$D_1=1$，$D_2=\lambda -1$，$D_3=(\lambda -1{)}^2(\lambda -2)$，$d_1=1$，$d_2=\lambda -1$，$d_3=(\lambda -1)(\lambda -2)$，初等因子 $\lambda -1,\lambda -1,\lambda -2$。

$A$ 和 $B$ 的初等因子不同，不相似 ✓。

定理：定理8.13 可对角化与不变因子

定理8.14 矩阵的若尔当分解 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$。

$D=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$（对角，可对角化），$N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$（幂零，$N^2=O$），$DN=ND$ ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$ 已可对角化，$D=A$，$N=O$。

定理：定理8.14 有理标准形

定理8.15 幂零矩阵的若尔当标准形 — 例子

例1：$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$N^3=O$。

$N$ 的特征值全为0，初等因子 ${\lambda }^3$，若尔当标准形就是 $N$ 本身（3阶若尔当块）。

例2：$N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\oplus \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$，$N^2=O$，初等因子 ${\lambda }^2,{\lambda }^2$，两个2阶若尔当块。

定理：定理8.15 线性变换的有理标准形