第三章 线性方程组 例子

第三章 线性方程组 — 定理例子

定义3.1 线性组合与线性表出 — 例子

例1：${\alpha }_1=(1,0)$，${\alpha }_2=(0,1)$，则 $\beta =(3,4)=3{\alpha }_1+4{\alpha }_2$，$\beta$ 是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 的线性组合。

例2：${\alpha }_1=(1,2,3)$，${\alpha }_2=(2,4,6)$。$\beta =(3,6,9)={\alpha }_1+{\alpha }_2$，$\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性表出。但 $\gamma =(1,0,0)$ 不能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性表出（因为 ${\alpha }_2=2{\alpha }_1$，所有线性组合都是 $(k+2l,2k+4l,3k+6l)$ 的形式，第二、三分量之比恒为 $2:3$，而 $(1,0,0)$ 不满足）。

定义：定义3.1 线性组合与线性表出

定义3.2 线性相关与线性无关 — 例子

例1：${\alpha }_1=(1,0)$，${\alpha }_2=(2,0)$。$2{\alpha }_1-{\alpha }_2=(0,0)$，系数 $2,-1$ 不全为零，故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性相关。

例2：${\alpha }_1=(1,0)$，${\alpha }_2=(0,1)$。若 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2=(k_1,k_2)=(0,0)$，则 $k_1=k_2=0$，故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关。

例3：含零向量的向量组必线性相关：若 ${\alpha }_1=0$，则 $1\cdot {\alpha }_1+0\cdot {\alpha }_2+\cdots =0$，系数不全为零。

定义：定义3.2 线性相关与线性无关

定义3.3 极大线性无关组 — 例子

例1：向量组 ${\alpha }_1=(1,0)$，${\alpha }_2=(0,1)$，${\alpha }_3=(1,1)$。${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，且 ${\alpha }_3={\alpha }_1+{\alpha }_2$，故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 是一个极大线性无关组。同样 ${\alpha }_1,{\alpha }_3$ 和 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 也是极大线性无关组。

例2：${\alpha }_1=(1,2,3)$，${\alpha }_2=(2,4,6)=2{\alpha }_1$，${\alpha }_3=(1,0,1)$。${\alpha }_1,{\alpha }_3$ 线性无关且可表出所有向量，是极大线性无关组。

定义：定义3.3 极大线性无关组

定义3.4 向量组的秩 — 例子

例1：${\alpha }_1=(1,0)$，${\alpha }_2=(0,1)$，${\alpha }_3=(1,1)$。极大线性无关组含2个向量，秩为2。

例2：${\alpha }_1=(1,2,3)$，${\alpha }_2=(2,4,6)$。极大线性无关组为 $\{{\alpha }_1\}$（或 $\{{\alpha }_2\}$），秩为1。

定义：定义3.4 向量组的秩

定义3.5 矩阵的秩 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$，第2行是第1行的2倍，行秩为1。非零子式最高阶数为1（如 $|1|$），故 $r(A)=1$。

例2：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$|A|=1\ne 0$，3阶子式非零，故 $r(A)=3$。

例3：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$，$|A|=0$，但 $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right|=-3\ne 0$，故 $r(A)=2$。

定义：定义3.5 矩阵的秩

定义3.6 基础解系 — 例子

例1：齐次方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-x_3=0\\ 2x_1+4x_2-2x_3=0\end{array}$，系数矩阵秩 $r=1$，$n=3$，基础解系含 $3-1=2$ 个解向量。化简得 $x_1=-2x_2+x_3$，令 $(x_2,x_3)=(1,0)$ 得 ${\xi }_1=(-2,1,0)$，令 $(x_2,x_3)=(0,1)$ 得 ${\xi }_2=(1,0,1)$。$\{{\xi }_1,{\xi }_2\}$ 即为基础解系。

例2：$x_1+x_2+x_3=0$，$r=1$，$n=3$，基础解系含2个解向量。${\xi }_1=(-1,1,0)$，${\xi }_2=(-1,0,1)$。

定义：定义3.6 基础解系

定理3.1 齐次线性方程组的非零解 — 例子

例1：齐次方程组

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+3x_3=0,\\ 2x_1+x_2+x_3=0.\end{array}$$

方程个数 $s=2<3=n$，由定理3.1必有非零解。事实上，令 $x_3=1$，解得 $x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=-\frac{5}{3}$，非零解 $\left(\frac{1}{3},-\frac{5}{3},1\right)$。

例2：3个方程4个未知量的齐次方程组必有非零解（$3<4$）。

定理：定理3.1 齐次线性方程组的非零解

定理3.2 线性相关与线性表出 — 例子

例1：${\alpha }_1=(1,0)$，${\alpha }_2=(0,1)$，${\alpha }_3=(1,1)$。${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 可由 ${\beta }_1=(1,0),{\beta }_2=(0,1)$ 线性表出，$r=3>2=s$，由定理3.2，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关。验证：${\alpha }_1+{\alpha }_2-{\alpha }_3=0$。

例2（推论2）：${\mathbf{R}}^2$ 中任意3个向量必线性相关。例如 $(1,0),(0,1),(2,3)$，因为 $3>2$。

例3（推论3）：$\{(1,0),(0,1)\}$ 和 $\{(1,1),(1,-1)\}$ 是 ${\mathbf{R}}^2$ 中两个等价的线性无关向量组，各含2个向量，个数相同。

定理：定理3.2 线性相关与线性表出

定理3.3 极大线性无关组 — 例子

例1：向量组 ${\alpha }_1=(1,2,3)$，${\alpha }_2=(2,4,6)$，${\alpha }_3=(1,0,1)$。

${\alpha }_2=2{\alpha }_1$，${\alpha }_1,{\alpha }_3$ 线性无关，是极大线性无关组，秩为2。${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 也是极大线性无关组（${\alpha }_2=2{\alpha }_1$，${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，${\alpha }_1=\frac{1}{2}{\alpha }_2$）。两组极大线性无关组都含2个向量，与定理3.3一致。

定理：定理3.3 极大线性无关组

定理3.4 矩阵的秩 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$。

行秩：第2行 = 2 × 第1行，第1、3行线性无关，行秩 = 2。

列秩：第2列 = 2 × 第1列，第1、3列线性无关，列秩 = 2。

子式最高阶数：$\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 1\end{array}\right|=-2\ne 0$，2阶非零子式存在；$|A|=0$（第2行 = 2 × 第1行），秩 = 2。三者相等。

例2：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，秩 = 行秩 = 列秩 = 3。

定理：定理3.4 矩阵的秩

定理3.5 齐次线性方程组有非零解的充要条件 — 例子

例1：$\{\begin{array}{c}{x}_1+2x_2=0\\ 2x_1+4x_2=0\end{array}$，$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right|=0$，有非零解 $(2,-1)$。

例2：$\{\begin{array}{c}{x}_1+2x_2=0\\ 3x_1+4x_2=0\end{array}$，$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=-2\ne 0$，只有零解。

定理：定理3.5 齐次线性方程组有非零解的充要条件

定理3.6 克拉默法则及其逆定理 — 例子

例1：方程组 $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=3\\ x_1-x_2=1\end{array}$，$\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-2\ne 0$，有唯一解 $x_1=2,x_2=1$。

例2：方程组 $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=1\\ 2x_1+2x_2=2\end{array}$，$\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right|=0$，不是唯一解（有无穷多解）。

定理：定理3.6 克拉默法则及其逆定理

定理3.7 线性方程组有解判别定理 — 例子

例1：$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\\ 2x_1+2x_2=4\end{array}$，系数矩阵秩 = 1，增广矩阵秩 = 1，有解。

例2：$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=1\\ x_1+x_2=2\end{array}$，系数矩阵秩 = 1，增广矩阵秩 = 2，无解。

定理：定理3.7 线性方程组有解判别定理

定理3.8 基础解系 — 例子

例1：求齐次方程组 $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2-x_3=0\\ 2x_1+2x_2-2x_3=0\end{array}$ 的基础解系。

系数矩阵秩 = 1，$n-r=3-1=2$，基础解系含2个解。

化简为 $x_1+x_2-x_3=0$，即 $x_1=-x_2+x_3$。令 $(x_2,x_3)=(1,0)$ 得 ${\eta }_1=(-1,1,0)$；令 $(x_2,x_3)=(0,1)$ 得 ${\eta }_2=(1,0,1)$。${\eta }_1,{\eta }_2$ 是基础解系。

例2：$\{\begin{array}{c}{x}_1-x_2+x_3=0\end{array}$，秩 = 1，$n-r=2$。$x_1=x_2-x_3$。${\eta }_1=(1,1,0)$，${\eta }_2=(-1,0,1)$。

定理：定理3.8 基础解系

定理3.9 非齐次线性方程组解的结构 — 例子

例1：解 $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3=3\\ x_1-x_2+x_3=1\end{array}$。

特解：令 $x_3=0$，$x_1+x_2=3$，$x_1-x_2=1$，得 $x_1=2,x_2=1$，${\gamma }_0=(2,1,0)$。

导出组：$x_1+x_2+x_3=0$，$x_1-x_2+x_3=0$。相减 $2x_2=0$，$x_2=0$，$x_1+x_3=0$。基础解系 ${\eta }_1=(-1,0,1)$。

全部解：$(2,1,0)+k(-1,0,1)=(2-k,1,k)$，$k\in \mathbf{R}$。

定理：定理3.9 非齐次线性方程组解的结构

定理3.10 结式 — 例子

例1：$f(x)=x^2-1$，$g(x)=x-1$。

$R(f,g)=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right|=1(0-(-1))-0+0=1\ne 0$… 实际上 $f$ 和 $g$ 有公因式 $x-1$，$R(f,g)$ 应为0。重新计算：

结式矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$（$m=1$ 行 $f$ 的系数，$n=2$ 行 $g$ 的系数）。

$R=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right|=1$。但 $f(x)=(x-1)(x+1)$，$g(x)=x-1$，有公因式 $x-1$，$R$ 应为0。

实际上结式矩阵的构造：$f(x)=x^2+0\cdot x-1$（$n=2$），$g(x)=x-1$（$m=1$）。结式是 $(m+n)\times (m+n)=3\times 3$ 行列式：

$$R(f,g)=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right|=1(1-0)-0+(-1)(1-0)=1-1=0.$$

$R=0$，与 $f,g$ 有公因式一致 ✓。

定理：定理3.10 结式

定理3.11 多项式方程组的解 — 例子

例1：解方程组 $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=1\\ x-y=0\end{array}$。

$f(x,y)=x^2+y^2-1$，$g(x,y)=x-y$。$R_x(f,g)$：将 $f,g$ 按 $x$ 排列，$f=x^2+(y^2-1)$，$g=x-y$。

$$R_x=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& y^2-1\\ 1& -y& 0\\ 0& 1& -y\end{array}\right|=1(y^2-0)-0+(y^2-1)(0-1)=y^2-(-(y^2-1))=y^2+y^2-1=2y^2-1.$$

$R_x=0\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。由 $x=y$，解为 $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 和 $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。

定理：定理3.11 多项式方程组的解