第七章 线性变换 例子

第七章 线性变换 — 定理例子

定义7.1 线性变换 — 例子

例1：$\mathcal{A}:{\mathbf{R}}^2\to {\mathbf{R}}^2$，$\mathcal{A}(x,y)=(2x,3y)$。验证：$\mathcal{A}((x_1,y_1)+(x_2,y_2))=(2(x_1+x_2),3(y_1+y_2))=\mathcal{A}(x_1,y_1)+\mathcal{A}(x_2,y_2)$，$\mathcal{A}(k(x,y))=(2kx,3ky)=k\mathcal{A}(x,y)$。故 $\mathcal{A}$ 是线性变换。

例2：$\mathcal{A}(x,y)=(x+1,y)$ 不是线性变换：$\mathcal{A}(0,0)=(1,0)\ne (0,0)$，线性变换必须将零向量映为零向量。

例3：零变换 $\mathcal{O}(\alpha )=0$ 和恒等变换 $\mathcal{I}(\alpha )=\alpha$ 都是线性变换。

定义：定义7.1 线性变换

定义7.2 线性变换的矩阵 — 例子

例1：$\mathcal{A}:{\mathbf{R}}^2\to {\mathbf{R}}^2$，$\mathcal{A}(x,y)=(2x,3y)$。在标准基 $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$ 下，$\mathcal{A}{e}_1=(2,0)=2e_1+0e_2$，$\mathcal{A}{e}_2=(0,3)=0e_1+3e_2$，故矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$。

例2：旋转变换 $\mathcal{A}(x,y)=(-y,x)$（逆时针旋转90°）。$\mathcal{A}{e}_1=(0,1)=0e_1+1e_2$，$\mathcal{A}{e}_2=(-1,0)=-1e_1+0e_2$，矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$。

定义：定义7.2 线性变换的矩阵

定义7.3 特征值与特征向量 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$。$|\lambda E-A|=(\lambda -2)(\lambda -3)=0$，特征值 ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=3$。${\lambda }_1=2$ 的特征向量：$(A-2E)x=0$，解得 $x=k(1,0)$。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$（旋转90°）。$|\lambda E-A|={\lambda }^2+1=0$，在 $\mathbf{R}$ 上无特征值，在 $\mathbf{C}$ 上特征值为 $\pm i$。

定义：定义7.3 特征值与特征向量

定义7.4 特征多项式 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$f(\lambda )=|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ -3& \lambda -4\end{array}\right|={\lambda }^2-5\lambda -2$。

例2：$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$，$f(\lambda )=(\lambda -3{)}^3$，特征值 $\lambda =3$（3重）。

定义：定义7.4 特征多项式

定义7.5 特征子空间 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，特征值 $\lambda =2$。$V_{\lambda =2}=\{x\mid (A-2E)x=0\}=\{k(1,0)\mid k\in \mathbf{R}\}$，1维特征子空间。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$，特征值 $\lambda =2$。$V_{\lambda =2}={\mathbf{R}}^2$，2维特征子空间。

定义：定义7.5 特征子空间

定义7.6 可对角化 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ 已经是对角矩阵，可对角化。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ 不可对角化：只有一个2重特征值 $\lambda =2$，但特征子空间只有1维，不足以凑成2个线性无关的特征向量。

定义：定义7.6 可对角化

定义7.7 不变子空间 — 例子

例1：$\mathcal{A}(x,y)=(2x,3y)$。$W=\{(x,0)\}$ 是不变子空间：$\mathcal{A}(x,0)=(2x,0)\in W$。

例2：$\{0\}$、$V$、特征子空间 $V_{\lambda }$ 都是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间。

定义：定义7.7 不变子空间

定义7.8 最小多项式 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$，$f(\lambda )=(\lambda -2)(\lambda -3)$。验证 $(A-2E)(A-3E)=0$，且 $(A-2E)\ne 0$，$(A-3E)\ne 0$，故最小多项式 $m(\lambda )=(\lambda -2)(\lambda -3)$。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，$(A-2E{)}^2=0$，$(A-2E)\ne 0$，故最小多项式 $m(\lambda )=(\lambda -2{)}^2$。

定义：定义7.8 最小多项式

定义7.9 若尔当标准形 — 例子

例1：$J_3(2)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ 是3阶若尔当块，特征值为2。

例2：$A=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 3& 1\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right)$ 是若尔当标准形，由两个2阶若尔当块 $J_2(2)$ 和 $J_2(3)$ 组成。

定义：定义7.9 若尔当标准形

定理7.1 线性变换的矩阵表示 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^2$ 中旋转变换 $\mathcal{A}$：$(x,y)\mapsto (-y,x)$（逆时针旋转90°）。

取标准基 ${\epsilon }_1=(1,0)$，${\epsilon }_2=(0,1)$。$\mathcal{A}({\epsilon }_1)=(0,1)=0\cdot {\epsilon }_1+1\cdot {\epsilon }_2$，$\mathcal{A}({\epsilon }_2)=(-1,0)=-1\cdot {\epsilon }_1+0\cdot {\epsilon }_2$。

矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$。

验证：$\mathcal{A}(x,y)=(-y,x)$，$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-y\\ x\end{array}\right)$ ✓。

例2：${\mathbf{R}}^2$ 中投影变换 $\mathcal{A}$：$(x,y)\mapsto (x,0)$（向 $x$ 轴投影）。$\mathcal{A}({\epsilon }_1)=(1,0)$，$\mathcal{A}({\epsilon }_2)=(0,0)$，矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$。

定理：定理7.1 线性变换由基上的像唯一确定

定理7.2 线性变换在不同基下的矩阵 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^2$ 中恒等变换 $\mathcal{A}=\mathcal{E}$。在基 ${\epsilon }_1=(1,0),{\epsilon }_2=(0,1)$ 下矩阵为 $E$。

换基 ${\eta }_1=(1,1),{\eta }_2=(1,-1)$。过渡矩阵 $X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$，$X^{-1}=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$。

$B=X^{-1}EX=E$。恒等变换在任何基下矩阵都是 $E$ ✓。

例2：旋转变换 $\mathcal{A}$ 在标准基下矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$。换基 ${\eta }_1=(1,1),{\eta }_2=(1,-1)$，$X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$。

$B=X^{-1}AX=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$… 计算中间步骤：

$X^{-1}A=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$。

$B=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$。

$|A|=1$，$|B|=1$，特征值相同 ✓。

定理：定理7.2 线性变换与矩阵的对应保持运算

定理7.3 相似矩阵的性质 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$，$X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$，$B=X^{-1}AX$。

$X^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$。

$|A|=3=|B|$ ✓，$\text{tr}(A)=4=\text{tr}(B)$ ✓，特征值都是 $1,3$ ✓。

定理：定理7.3 向量坐标的计算

定理7.4 特征值与特征向量 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$。

特征方程 $|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cc}\lambda -3& -1\\ 0& \lambda -2\end{array}\right|=(\lambda -3)(\lambda -2)=0$，特征值 ${\lambda }_1=3$，${\lambda }_2=2$。

${\lambda }_1=3$：$(3E-A)x=0$，$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 1\end{array}\right)x=0$，$x_2=0$，特征向量 $k(1,0)$。

${\lambda }_2=2$：$(2E-A)x=0$，$\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 0& 0\end{array}\right)x=0$，$x_1+x_2=0$，特征向量 $k(1,-1)$。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$（旋转90°），$|\lambda E-A|={\lambda }^2+1=0$，在 $\mathbf{R}$ 上无特征值，在 $\mathbf{C}$ 上 $\lambda =\pm i$。

定理：定理7.4 线性变换在不同基下矩阵的关系

定理7.5 特征多项式的性质 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$f(\lambda )={\lambda }^2-5\lambda -2$。

$\text{tr}(A)=5={\lambda }_1+{\lambda }_2$（系数关系），$|A|=-2={\lambda }_1{\lambda }_2$（常数项 $(-1{)}^2|A|=|A|$）。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$，$f(\lambda )=(\lambda -2)(\lambda -3)={\lambda }^2-5\lambda +6$。$\text{tr}(A)=5$，$|A|=6$ ✓。

定理：定理7.5 线性变换与矩阵相似的对应

定理7.6 哈密顿-凯莱定理 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$f(\lambda )={\lambda }^2-5\lambda -2$。

$A^2-5A-2E=\left(\begin{array}{cc}7& 10\\ 15& 22\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 15& 20\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，$f(\lambda )=(\lambda -2{)}^2={\lambda }^2-4\lambda +4$。

$A^2-4A+4E=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 0& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 0& 8\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)=O$ ✓。

定理：定理7.6 相似矩阵的特征多项式

定理7.7 对角化的充要条件 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ 已是对角矩阵，$n$ 个线性无关特征向量 $(1,0)$ 和 $(0,1)$，可对角化 ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，特征值 $\lambda =2$（2重），$(2E-A)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right)$，秩 = 1，几何重数 = $2-1=1<2$（代数重数），不可对角化。

例3：$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，特征值 $3,2$（互异），各有1个线性无关特征向量，共2个，可对角化。$X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$，$X^{-1}AX=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$。

定理：定理7.7 可对角化的充要条件

定理7.8 不变子空间 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^3$ 中投影变换 $\mathcal{A}(x,y,z)=(x,y,0)$。

$V_1=\{(x,y,0)\}$：$\mathcal{A}(x,y,0)=(x,y,0)\in V_1$，不变子空间 ✓。

$V_2=\{(0,0,z)\}$：$\mathcal{A}(0,0,z)=(0,0,0)\in V_2$，不变子空间 ✓。

例2：$\mathcal{A}$ 为旋转变换（绕 $z$ 轴），$V_1=\{(0,0,z)\}$ 不变（$z$ 轴不动），$V_2=\{(x,y,0)\}$ 不变（$xy$ 平面旋转后仍在平面内）。

定理：定理7.8 不同特征值的特征向量线性无关

定理7.9 值域与核 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^3$ 中 $\mathcal{A}(x,y,z)=(x,y,0)$。

$\mathcal{A}({\mathbf{R}}^3)=\{(x,y,0)\}$（值域，维2），${\mathcal{A}}^{-1}(0)=\{(0,0,z)\}$（核，维1）。

维$(\mathcal{A}(V))+$ 维$({\mathcal{A}}^{-1}(0))=2+1=3=$ 维$(V)$ ✓。

例2：$\mathcal{A}(x,y)=(x+y,x+y)$。值域 $=\{(t,t)\}$（维1），核 $=\{(t,-t)\}$（维1）。$1+1=2$ ✓。

定理：定理7.9 不同特征值的特征向量组合

定理7.10 线性变换的秩与零度 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，秩 = 2（非零行数），零度 = $3-2=1$。$2+1=3$ ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 6\end{array}\right)$，秩 = 1，零度 = $2-1=1$。$1+1=2$ ✓。

定理：定理7.10 线性变换的秩与矩阵的秩

定理7.11 线性变换可逆的充要条件 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$|A|=-2\ne 0$，可逆 ✓。$\mathcal{A}$ 是双射。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$，$|A|=0$，不可逆。$\mathcal{A}$ 不是双射（$(1,2)$ 和 $(0,0)$ 都映射到同一向量… 实际上 $\mathcal{A}(x,y)=(x+2y,2x+4y)$，$\mathcal{A}(2,-1)=(0,0)=\mathcal{A}(0,0)$，不是单射）。

定理：定理7.11 秩与零度之和

定理7.12 最小多项式 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$，特征多项式 $f(\lambda )=(\lambda -2)(\lambda -3)$。

$(A-2E)(A-3E)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O$。最小多项式 $m(\lambda )=(\lambda -2)(\lambda -3)$（不可再降次）。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$，特征多项式 $(\lambda -2{)}^2$。$A-2E=O$，最小多项式 $m(\lambda )=\lambda -2$（比特征多项式次数低）。

定理：定理7.12 不变子空间的直和分解

定理7.13 最小多项式整除特征多项式 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，特征多项式 $(\lambda -2{)}^2$。

$A-2E=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\ne O$，$(A-2E{)}^2=O$。最小多项式 $(\lambda -2{)}^2$，整除特征多项式 $(\lambda -2{)}^2$ ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，特征多项式 $(\lambda -1{)}^2(\lambda -2)$。

$(A-E)(A-2E)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=O$。

最小多项式 $m(\lambda )=(\lambda -1)(\lambda -2)$，整除 $(\lambda -1{)}^2(\lambda -2)$ ✓。

定理：定理7.13 若尔当标准形存在定理

定理7.14 可对角化的最小多项式条件 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$，最小多项式 $m(\lambda )=(\lambda -3)(\lambda -2)$，无重根，可对角化 ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，最小多项式 $m(\lambda )=(\lambda -2{)}^2$，有重根，不可对角化 ✓。

例3：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$，最小多项式 $m(\lambda )=\lambda -2$，无重根，可对角化 ✓（已是对角矩阵）。

定理：定理7.14 复矩阵的若尔当标准形

定理7.15 线性变换的运算 — 例子

例1：$\mathcal{A}(x,y)=(y,x)$（交换），$\mathcal{B}(x,y)=(2x,2y)$（数乘）。

$(\mathcal{A}+\mathcal{B})(x,y)=(y+2x,x+2y)$。

$(\mathcal{AB})(x,y)=\mathcal{A}(2x,2y)=(2y,2x)$。

$(\mathcal{BA})(x,y)=\mathcal{B}(y,x)=(2y,2x)$。$\mathcal{AB}=\mathcal{BA}$（可交换）。

例2：$\mathcal{A}(x,y)=(y,0)$，$\mathcal{B}(x,y)=(0,x)$。

$(\mathcal{AB})(x,y)=\mathcal{A}(0,x)=(x,0)$。

$(\mathcal{BA})(x,y)=\mathcal{B}(y,0)=(0,y)$。$\mathcal{AB}\ne \mathcal{BA}$（不可交换）。

定理：定理7.15 可对角化与最小多项式