第二章 数列极限 — 例子

定义2.1.1 上界与下界 — 例子

例1：$\{x_n\}=\{\frac{1}{n}\}$，上界为1（或任何 $⩾1$ 的数），下界为0（或任何 $⩽0$ 的数）。

例2：$\{x_n\}=\{(-1{)}^n\}$，上界为1，下界为-1。

定义：定义2.1.1 上界与下界

定义2.1.2 上确界与下确界 — 例子

例1：$S=(0,1)$，$\sup S=1$（1不在 $S$ 中，但比 $S$ 中元素都大，且任意 $\epsilon >0$，$1-\epsilon \in S$），$\inf S=0$。

例2：$S=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots \}$，$\sup S=1$（最大值），$\inf S=0$（下确界不在 $S$ 中）。

定义：定义2.1.2 上确界与下确界

定义2.2.1 数列极限 — 例子

例1：${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$。验证：对任意 $\epsilon >0$，取 $N=\lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil$，当 $n>N$ 时 $|\frac{1}{n}-0|<\epsilon$。

例2：${\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+1}=1$。$|\frac{n}{n+1}-1|=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$，取 $N=\lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil$。

例3：$\{(-1{)}^n\}$ 没有极限（在-1和1之间振荡）。

定义：定义2.2.1 数列极限

定义2.3.1 无穷大量 — 例子

例1：$\{n^2\}$ 是正无穷大量：对任意 $M>0$，取 $N=\lceil \sqrt{M}\rceil$，当 $n>N$ 时 $n^2>M$。

例2：$\{(-1{)}^{n}n\}$ 是无穷大量（但不是正无穷大量，因为振荡）。

定义：定义2.3.1 无穷大量

定义2.3.2 无穷小量 — 例子

例1：$\{\frac{1}{n}\}$，$\{\frac{1}{n^2}\}$，$\{\frac{(-1{)}^n}{n}\}$ 都是无穷小量。

定义：定义2.3.2 无穷小量

定义2.4.1 闭区间套 — 例子

例1：$[0,1]\supset [0,\frac{1}{2}]\supset [0,\frac{1}{3}]\supset \cdots$，区间长度 $\frac{1}{n}\to 0$，交集为 $\{0\}$。

定义：定义2.4.1 闭区间套

定义2.4.2 子列 — 例子

例1：$\{x_n\}=\{(-1{)}^n\}$，取 $n_k=2k$ 得子列 $\{1,1,1,\dots \}$，极限为1。取 $n_k=2k-1$ 得子列 $\{-1,-1,-1,\dots \}$，极限为-1。

定义：定义2.4.2 子列

定义2.4.3 基本数列（Cauchy数列） — 例子

例1：$\{x_n\}$，$x_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$。对 $m>n$，$|x_m-x_n|={\sum }_{k=n+1}^m\frac{1}{k^2}<{\sum }_{k=n+1}^m\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}<\frac{1}{n}\to 0$，故是Cauchy数列。

定义：定义2.4.3 基本数列（Cauchy数列）

定义2.4.4 单调数列 — 例子

例1：$\{\frac{1}{n}\}$ 单调递减，$\{n\}$ 单调递增。

例2：$\{(-1{)}^n\}$ 不是单调数列。

定义：定义2.4.4 单调数列

定理2.1.1 确界存在定理（实数系连续性定理） — 例子

例1：$S=\{x\in \mathbf{Q}\mid x^2<2\}$。在 $\mathbf{Q}$ 中，$S$ 没有上确界（$\sqrt{2}\notin \mathbf{Q}$）；但在 $\mathbf{R}$ 中，$\sup S=\sqrt{2}$ 存在。这体现了实数系的连续性。

例2：$S=\{\frac{1}{n}\mid n\in {\mathbf{N}}^{+}\}$，$\sup S=1$，$\inf S=0$。上确界是最大值，下确界不在 $S$ 中但存在。

定理：定理2.1.1 确界存在定理（实数系连续性定理）

定理2.1.2 确界惟一性 — 例子

例1：$S=(0,1)$，上确界只能是1。若 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 都是上确界，则 ${\beta }_1⩽{\beta }_2$ 且 ${\beta }_2⩽{\beta }_1$，故 ${\beta }_1={\beta }_2$。

定理：定理2.1.2 确界惟一性

定理2.2.1 极限惟一性 — 例子

例1：${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$，极限惟一。若假设极限也为 $a\ne 0$，则 $|\frac{1}{n}-0|<\frac{|a|}{2}$ 和 $|\frac{1}{n}-a|<\frac{|a|}{2}$ 同时成立时矛盾。

例2：$\{(-1{)}^n\}$ 不收敛，因为它有两个子列分别趋于1和-1，由极限惟一性的逆否命题知其发散。

定理：定理2.2.1 极限惟一性

定理2.2.2 收敛数列有界性 — 例子

例1：$\{x_n\}=\{\frac{n}{n+1}\}$ 收敛于1，有界：$0<x_n<1$。

例2：$\{n\}$ 无界，故不收敛（逆否命题的应用）。

定理：定理2.2.2 收敛数列有界性

定理2.2.3 保序性 — 例子

例1：若 $x_n=\frac{1}{n}>0$ 对所有 $n$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=0⩾0$（注意等号可以取到，即严格不等号取极限后变为非严格）。

例2：设 $x_n=1+\frac{1}{n}$，$y_n=2+\frac{1}{n}$，则 $x_n<y_n$，$\lim x_n=1<2=\lim y_n$。

定理：定理2.2.3 保序性

定理2.2.4 夹逼定理 — 例子

例1：求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\sin n}{n}$。因 $0⩽\frac{|\sin n|}{n}⩽\frac{1}{n}\to 0$，由夹逼定理得 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\sin n}{n}=0$。

例2：求 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{n}$。令 $a_n=\sqrt[n]{n}$，则 $1⩽a_n⩽1+\frac{2}{\sqrt{n}}$（$n⩾2$），由夹逼定理得 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{n}=1$。

定理：定理2.2.4 夹逼定理

定理2.2.5 四则运算 — 例子

例1：${\lim }_{n\to \infty }\frac{3n^2+2n+1}{n^2+5}={\lim }_{n\to \infty }\frac{3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{5}{n^2}}=\frac{3+0+0}{1+0}=3$。

例2：${\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=\frac{1}{1+0}=1$。

定理：定理2.2.5 四则运算

定理2.3.1 无穷大量与无穷小量的关系 — 例子

例1：$\{n\}$ 是正无穷大量，$\{\frac{1}{n}\}$ 是无穷小量，互为倒数。

例2：$\{n^2\}$ 是无穷大量，$\{\frac{1}{n^2}\}$ 是无穷小量。

定理：定理2.3.1 无穷大量与无穷小量的关系

定理2.3.2 无穷大量的乘积 — 例子

例1：$\{n\}$ 和 $\{n\}$ 都是正无穷大量，$\{n\cdot n\}=\{n^2\}$ 也是正无穷大量。

例2：$\{n\}$ 是正无穷大量，$\{(-1{)}^n\}$ 是有界量，$\{(-1{)}^{n}n\}$ 是无穷大量。

定理：定理2.3.2 无穷大量的乘积

定理2.3.3 Stolz定理 — 例子

例1：求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+\sqrt{2}+\cdots +\sqrt{n}}{n^{3/2}}$。设 $x_n={\sum }_{k=1}^n\sqrt{k}$，$y_n=n^{3/2}$，$y_n$ 严格递增且 $y_n\to \infty$。$\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=\frac{\sqrt{n+1}}{(n+1{)}^{3/2}-n^{3/2}}\to \frac{2}{3}$，故原极限为 $\frac{2}{3}$。

例2：求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\ln n}{n}$。设 $x_n=\ln n$，$y_n=n$，$\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=\frac{\ln (n+1)-\ln n}{1}=\ln (1+\frac{1}{n})\to 0$，故 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\ln n}{n}=0$。

定理：定理2.3.3 Stolz定理

定理2.4.1 单调有界数列收敛定理 — 例子

例1：$x_1=\sqrt{2}$，$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$。由归纳法可证 $x_n$ 单调递增且 $x_n<2$，故收敛。设极限为 $a$，则 $a=\sqrt{2+a}$，解得 $a=2$。

例2：$x_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n$，可证 $x_n$ 单调递增且 $x_n<3$，故收敛于 $e$。

定理：定理2.4.1 单调有界数列收敛定理

定理2.4.2 闭区间套定理 — 例子

例1：$[a_n,b_n]$，$a_n=-\frac{1}{n}$，$b_n=\frac{1}{n}$，则 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }[a_n,b_n]=\{0\}$。

例2：$[a_n,b_n]$，$a_n=0$，$b_n=\frac{1}{n}$，则 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }[0,\frac{1}{n}]=\{0\}$。

定理：定理2.4.2 闭区间套定理

定理2.4.3 实数集不可列 — 例子

例1：Cantor对角线法：假设 $(0,1)$ 中的实数可排列为 $x_1,x_2,\dots$，构造 $y=0.d_1{d}_2{d}_3\dots$，其中 $d_n$ 与 $x_n$ 的第 $n$ 位小数不同，则 $y\in (0,1)$ 但不在序列中，矛盾。

定理：定理2.4.3 实数集不可列

定理2.4.4 子列收敛性 — 例子

例1：$\{x_n\}=\{(-1{)}^n\}$ 不收敛，但子列 $\{x_{2k}\}=\{1\}$ 收敛于1，$\{x_{2k-1}\}=\{-1\}$ 收敛于-1。

例2：$\{x_n\}=\{\frac{1}{n}\}$ 收敛于0，其任何子列也收敛于0。

定理：定理2.4.4 子列收敛性

定理2.4.5 Bolzano-Weierstrass定理 — 例子

例1：$\{x_n\}=\{(-1{)}^n\}$ 有界（$|x_n|=1$），有收敛子列 $\{x_{2k}\}=\{1\}$。

例2：$\{x_n\}=\{\sin n\}$ 有界（$|\sin n|⩽1$），由Bolzano-Weierstrass定理必有收敛子列。

定理：定理2.4.5 Bolzano-Weierstrass定理

定理2.4.6 无界数列的性质 — 例子

例1：$\{n\}$ 无界，存在子列 $\{n_k\}=\{k\}\to +\infty$。

例2：$\{(-1{)}^{n}n\}$ 无界，存在子列 $\{2k\}\to +\infty$ 和 $\{-(2k-1)\}\to -\infty$。

定理：定理2.4.6 无界数列的性质

定理2.4.7 Cauchy收敛原理 — 例子

例1：$x_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$。对 $m>n$，$|x_m-x_n|={\sum }_{k=n+1}^m\frac{1}{k^2}<\frac{1}{n}\to 0$，故是Cauchy数列，收敛。

例2：$x_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$。取 $m=2n$，$|x_m-x_n|={\sum }_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}⩾n\cdot \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$，不是Cauchy数列，故发散。

定理：定理2.4.7 Cauchy收敛原理

定理2.4.8 实数系完备性与连续性等价 — 例子

例1：在有理数集 $\mathbf{Q}$ 中，Cauchy数列 $x_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 的极限 $e\notin \mathbf{Q}$，说明 $\mathbf{Q}$ 不完备。而在 $\mathbf{R}$ 中，Cauchy数列必收敛，这是实数系完备性的体现。

定理：定理2.4.8 实数系完备性与连续性等价