第五章 二次型

本章包含二次型化简、规范形及正定二次型相关的基础定理。

定义5.1 二次型

设 $P$ 是一个数域，$x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是 $n$ 个文字。称二次齐次多项式

$$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j(a_{ij}=a_{ji}\in P)$$

为数域 $P$ 上的一个 $n$ 元二次型。用矩阵表示为 $f=X^{\prime }AX$，其中 $A=(a_{ij})$ 是对称矩阵，$X=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^{\prime }$。

例子：定义5.1 二次型 — 例子

定义5.2 线性替换

设 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 和 $y_1,y_2,\dots ,y_n$ 是两组文字，称

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=c_{11}{y}_1+c_{12}{y}_2+\cdots +c_{1n}{y}_n\\ x_2=c_{21}{y}_1+c_{22}{y}_2+\cdots +c_{2n}{y}_n\\ \cdots \\ x_n=c_{n1}{y}_1+c_{n2}{y}_2+\cdots +c_{nn}{y}_n\end{array}$$

为由 $x_1,\dots ,x_n$ 到 $y_1,\dots ,y_n$ 的一个线性替换。用矩阵表示为 $X=CY$。若 $|C|\ne 0$，则称为非退化线性替换。

例子：定义5.2 线性替换 — 例子

定义5.3 矩阵合同

设 $A,B$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵。如果存在可逆矩阵 $C$，使得

$$B=C^{\prime }AC,$$

则称 $A$ 与 $B$ 合同（或相合）。

例子：定义5.3 矩阵合同 — 例子

定义5.4 规范形

在复数域上，二次型可化为 $y_1^2+y_2^2+\cdots +y_r^2$（$r$ 为秩），称为复规范形。

在实数域上，二次型可化为 $y_1^2+\cdots +y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_r^2$，称为实规范形（或规范形），其中 $p$ 称为正惯性指数，$r-p$ 称为负惯性指数，$p-(r-p)=2p-r$ 称为符号差。

例子：定义5.4 规范形 — 例子

定义5.5 正定二次型与正定矩阵

设 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 是实二次型。如果对任意不全为零的实数 $c_1,c_2,\dots ,c_n$，都有

$$f(c_1,c_2,\dots ,c_n)>0,$$

则称 $f$ 为正定二次型，对应的实对称矩阵 $A$ 称为正定矩阵。类似可定义负定、半正定、半负定二次型与矩阵。

例子：定义5.5 正定二次型与正定矩阵 — 例子

定理5.1 二次型化为平方和

数域 $P$ 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式。

证

对变量个数 $n$ 做数学归纳法。

$n=1$ 时，$f(x_1)=a_{11}{x}_1^2$ 已经是平方和。

设对 $n-1$ 个变量的二次型结论成立。考虑 $n$ 个变量的二次型

$$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j,a_{ij}=a_{ji}.$$

情形1：某个 $a_{ii}\ne 0$，不妨设 $a_{11}\ne 0$。将含 $x_1$ 的项配方：

$$f=a_{11}{\left(x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}{x}_2+\cdots +\frac{a_{1n}}{a_{11}}{x}_n\right)}^2-\frac{1}{a_{11}}{\left(\sum _{j=2}^n{a}_{1j}{x}_j\right)}^2+\sum _{i=2}^n\sum _{j=2}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j.$$

令 $y_1=x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}{x}_2+\cdots +\frac{a_{1n}}{a_{11}}{x}_n$，其余 $y_i=x_i$（$i⩾2$），这是一个非退化线性替换。剩余部分是关于 $x_2,\dots ,x_n$ 的二次型，由归纳假设可化为平方和。

情形2：所有 $a_{ii}=0$，但某个 $a_{ij}\ne 0$（$i\ne j$），不妨设 $a_{12}\ne 0$。做线性替换 $x_1=y_1+y_2$，$x_2=y_1-y_2$，$x_k=y_k$（$k⩾3$）。则 $a_{12}{x}_1{x}_2=a_{12}(y_1^2-y_2^2)$，出现了平方项，化为情形1。

证毕

例子：定理5.1 二次型化为平方和 — 例子

定理5.2 对称矩阵合同于对角矩阵

在数域 $P$ 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵。

证

二次型 $f=X^{T}AX$ 经非退化线性替换 $X=CY$ 变为 $f=Y^T(C^{T}AC)Y$。由定理5.1，$f$ 可化为平方和，即 $C^{T}AC$ 为对角矩阵。因此 $A$ 合同于对角矩阵。

证毕

例子：定理5.2 对称矩阵合同于对角矩阵 — 例子

定理5.3 复二次型的规范形

任意一个复二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，并且规范形是唯一的。

规范形为

$$z_1^2+z_2^2+\cdots +z_r^2,$$

其中 $r$ 是二次型的秩。

证

由定理5.1，复二次型可化为平方和 $a_1{y}_1^2+a_2{y}_2^2+\cdots +a_r{y}_r^2$（$a_i\ne 0$）。在复数域中，每个 $a_i$ 都可开方，令 $z_i=\sqrt{a_i}{y}_i$（$i=1,\dots ,r$），$z_j=y_j$（$j>r$），即得规范形 $z_1^2+\cdots +z_r^2$。

唯一性：设二次型经两个非退化线性替换分别化为 $z_1^2+\cdots +z_r^2$ 和 $w_1^2+\cdots +w_s^2$。则对应的矩阵合同关系为 $C_1^{T}A{C}_1=\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$，$C_2^{T}A{C}_2=\left(\begin{array}{cc}{E}_s& O\\ O& O\end{array}\right)$。合同矩阵有相同的秩，故 $r=s$。

证毕

例子：定理5.3 复二次型的规范形 — 例子

定理5.4 实二次型的规范形（惯性定理）

任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，并且规范形是唯一的。

规范形为

$$y_1^2+\cdots +y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_r^2,$$

其中正平方项的个数 $p$ 称为正惯性指数，负平方项的个数 $r-p$ 称为负惯性指数，它们的差 $2p-r$ 称为符号差。

证

由定理5.1，实二次型可化为平方和 $c_1{y}_1^2+\cdots +c_p{y}_p^2-c_{p+1}{y}_{p+1}^2-\cdots -c_r{y}_r^2$（$c_i>0$）。令 $z_i=\sqrt{c_i}{y}_i$，即得规范形。

唯一性：设二次型经两个非退化线性替换分别化为

$$y_1^2+\cdots +y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_r^2\text{和}{z}_1^2+\cdots +z_q^2-z_{q+1}^2-\cdots -z_r^2.$$

要证 $p=q$。用反证法，设 $p>q$。

设 $X=C_{1}Y=C_{2}Z$，则 $Z=C_2^{-1}{C}_{1}Y$。令 $Z=(z_1,\dots ,z_n{)}^T$ 关于 $Y$ 的表达式为 $z_i={\sum }_{j=1}^n{b}_{ij}{y}_j$。

令 $y_{p+1}=\cdots =y_r=0$，$y_1,\dots ,y_p$ 任意。此时规范形1的值为 $y_1^2+\cdots +y_p^2>0$（除非全为零）。

但考虑方程组 $z_1=0,\dots ,z_q=0$，$y_{p+1}=0,\dots ,y_r=0$，这是 $q+(r-p)$ 个方程，$n$ 个未知量。因为 $q+(r-p)<p+(r-p)=r⩽n$，方程个数 $<n$，必有非零解 $Y_0$。对此解，规范形1的值 $=y_1^2+\cdots +y_p^2>0$，而规范形2的值 $=-z_{q+1}^2-\cdots -z_r^2⩽0$，矛盾。

同理 $q>p$ 也矛盾。故 $p=q$。

证毕

例子：定理5.4 实二次型的规范形（惯性定理） — 例子

定理5.5 复对称矩阵的合同标准形

任一复对称矩阵 $A$ 都合同于一个对角矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right),$$

其中对角线上1的个数 $r$ 等于 $A$ 的秩。两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等。

证

由定理5.3，$A$ 对应的二次型可化为规范形 $z_1^2+\cdots +z_r^2$，对应矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$，故 $A$ 合同于此矩阵。

合同矩阵有相同的秩（因为 $C^{T}AC$ 的秩 $=$ $A$ 的秩，由 $C$ 可逆及定理4.4）。反之，若两个复对称矩阵秩相同，则它们都合同于同一个 $\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$，由合同的传递性，它们互相合同。

证毕

例子：定理5.5 复对称矩阵的合同标准形 — 例子

定理5.6 正定二次型的充要条件

$n$ 元实二次型 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 $n$。

证

充分性：若正惯性指数 $p=n$，则规范形为 $y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2$。对任意 $X\ne 0$，$Y=C^{-1}X\ne 0$（$C$ 可逆），故 $f=y_1^2+\cdots +y_n^2>0$，$f$ 正定。

必要性：若 $f$ 正定，设规范形为 $y_1^2+\cdots +y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_r^2$。若 $p<n$，取 $Y$ 使 $y_1=\cdots =y_p=0$，$y_{p+1}\ne 0$，则 $f⩽0$，与正定矛盾。故 $p=n$（且 $r=n$）。

证毕

例子：定理5.6 正定二次型的充要条件 — 例子

定理5.7 正定矩阵的顺序主子式判定

实二次型是正定的充分必要条件为矩阵 $A$ 的顺序主子式全大于零，即

$${\Delta }_1>0,{\Delta }_2>0,\dots ,{\Delta }_n>0.$$

证

必要性：若 $f$ 正定，则对任意非零 $X$，$X^{T}AX>0$。特别地，取 $X=(x_1,\dots ,x_k,0,\dots ,0{)}^T$（前 $k$ 个分量不全为零），则 $X^{T}AX=(x_1,\dots ,x_k)A_k(x_1,\dots ,x_k{)}^T>0$，其中 $A_k$ 是 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子阵。因此 $A_k$ 对应的二次型正定，由定理5.6，$A_k$ 的正惯性指数为 $k$，故 $|A_k|>0$（正定矩阵的行列式为正，因为所有特征值为正，行列式等于特征值之积）。

充分性：对 $n$ 做归纳法。$n=1$ 时，${\Delta }_1=a_{11}>0$，$f=a_{11}{x}_1^2>0$（$x_1\ne 0$），正定。

设对 $n-1$ 阶矩阵结论成立。设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的所有顺序主子式大于零。将 $A$ 分块为

$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_{n-1}& \alpha \\ {\alpha }^T& a_{nn}\end{array}\right).$$

$A_{n-1}$ 的顺序主子式就是 $A$ 的前 $n-1$ 个顺序主子式，都大于零，由归纳假设 $A_{n-1}$ 正定，故 $A_{n-1}^{-1}$ 存在。

做合同变换：

$$\left(\begin{array}{cc}E& O\\ -{\alpha }^T{A}_{n-1}^{-1}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{A}_{n-1}& \alpha \\ {\alpha }^T& a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}E& -A_{n-1}^{-1}\alpha \\ O& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{A}_{n-1}& O\\ O& a_{nn}-{\alpha }^T{A}_{n-1}^{-1}\alpha \end{array}\right).$$

令 $d=a_{nn}-{\alpha }^T{A}_{n-1}^{-1}\alpha$。合同变换不改变行列式，故 $|A|=|A_{n-1}|\cdot d$。由 $|A|>0$ 和 $|A_{n-1}|>0$，得 $d>0$。

因此 $A$ 合同于 $\left(\begin{array}{cc}{A}_{n-1}& O\\ O& d\end{array}\right)$，其中 $A_{n-1}$ 正定，$d>0$。对任意 $X=(x_1,\dots ,x_n{)}^T\ne 0$，若 $(x_1,\dots ,x_{n-1})\ne 0$，则 $X^{T}AX=(x_1,\dots ,x_{n-1})A_{n-1}(x_1,\dots ,x_{n-1}{)}^T+d{x}_n^2>0$；若 $(x_1,\dots ,x_{n-1})=0$，则 $x_n\ne 0$，$X^{T}AX=d{x}_n^2>0$。故 $A$ 正定。

证毕

例子：定理5.7 正定矩阵的顺序主子式判定 — 例子

定理5.8 半正定二次型的等价条件

对于实二次型 $f(x_1,\dots ,x_n)=X^{\mathrm{T}}AX$，其中 $A$ 是实对称的，下列条件等价：

1. 半正定；
2. 正惯性指数与秩相等；
3. 有实可逆矩阵 $C$ 使 $C^{T}AC$ 为对角矩阵，且对角线元素全非负；
4. 有实矩阵 $C$ 使 $A=C^{T}C$；
5. 所有主子式皆大于或等于零。

证

1 $\Rightarrow$ 2：若 $f$ 半正定，规范形为 $y_1^2+\cdots +y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_r^2$。若 $p<r$，取 $y_{p+1}\ne 0$，其余为零，则 $f=-y_{p+1}^2<0$，与半正定矛盾。故 $p=r$。

2 $\Rightarrow$ 3：正惯性指数 $=r=$ 秩，规范形为 $y_1^2+\cdots +y_r^2$，对应对角矩阵对角线元素为 $1,\dots ,1,0,\dots ,0$，全非负。

3 $\Rightarrow$ 4：设 $C^{T}AC=D$，$D$ 对角线元素 $d_i⩾0$。令 $D^{1/2}$ 为对角矩阵，对角线元素为 $\sqrt{d_i}$。则 $A=(C^{-1}{)}^{T}D{C}^{-1}=(C^{-1}{)}^T(D^{1/2}{)}^T{D}^{1/2}{C}^{-1}=(D^{1/2}{C}^{-1}{)}^T(D^{1/2}{C}^{-1})$。令 $C^{\prime }=D^{1/2}{C}^{-1}$，则 $A=C^{\prime T}{C}^{\prime }$。

4 $\Rightarrow$ 1：设 $A=C^{T}C$，则 $f=X^T{C}^{T}CX=(CX{)}^T(CX)=\Vert CX{\Vert }^2⩾0$，故 $f$ 半正定。

1 $\Rightarrow$ 5：若 $f$ 半正定，$A$ 的任意 $k$ 阶主子阵 $A_k$ 对应的二次型也半正定（限制在相应坐标上），故 $|A_k|⩾0$（半正定矩阵的行列式非负）。

5 $\Rightarrow$ 1：所有主子式非负，特别地顺序主子式非负。若 $|A|=0$，则 $A$ 的某个特征值为零。其余特征值由主子式条件可证非负（需要更细致的论证，利用特征值是主子式的连续函数）。若 $|A|>0$，则所有顺序主子式 $>0$（由所有主子式 $⩾0$ 和 $|A|>0$ 可推出），由定理5.7，$A$ 正定，从而半正定。

证毕

例子：定理5.8 半正定二次型的等价条件 — 例子

相关链接

• 第四章 矩阵
• 第六章 线性空间
• 高等代数 定理索引
• 第五章 二次型 例子

来源引用

• 高等代数 第五版 full.md