第五章 二次型 例子

第五章 二次型 — 定理例子

定义5.1 二次型 — 例子

例1：$f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1{x}_2+3x_2^2$ 是2元二次型。对应矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$（对称），$f=(x_1,x_2)A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$。

例2：$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-2x_1{x}_3+x_2^2$ 是3元二次型。对应矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$。

定义：定义5.1 二次型

定义5.2 线性替换 — 例子

例1：线性替换 $\{\begin{array}{l}{x}_1=y_1-y_2\\ x_2=y_1+y_2\end{array}$，对应矩阵 $C=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$，$|C|=2\ne 0$，是非退化线性替换。

例2：旋转替换 $\{\begin{array}{l}{x}_1=y_1\cos \theta -y_2\sin \theta \\ x_1=y_1\sin \theta +y_2\cos \theta \end{array}$，$|C|=1\ne 0$，是非退化的。

定义：定义5.2 线性替换

定义5.3 矩阵合同 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$，$C=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$，则 $C^{\prime }AC=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$，故 $A$ 合同于对角矩阵。

例2：合同关系保持秩：若 $A$ 合同于 $B$，则 $r(A)=r(B)$（因为 $C$ 可逆）。

定义：定义5.3 矩阵合同

定义5.4 规范形 — 例子

例1：$f=x_1^2+x_2^2-x_3^2$ 的实规范形就是它本身，正惯性指数 $p=2$，负惯性指数 $q=1$，符号差 $=2-1=1$。

例2：$f=-x_1^2-x_2^2$ 的正惯性指数 $p=0$，负惯性指数 $q=2$，符号差 $=-2$。

定义：定义5.4 规范形

定义5.5 正定二次型与正定矩阵 — 例子

例1：$f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2$ 是正定二次型：对任意 $(c_1,c_2)\ne (0,0)$，$c_1^2+c_2^2>0$。对应矩阵 $E$ 是正定矩阵。

例2：$f(x_1,x_2)=x_1^2-x_2^2$ 不是正定的：取 $(0,1)$ 得 $f=-1<0$。

例3：$f(x_1,x_2)=x_1^2$ 是半正定的：$f⩾0$，但取 $(0,1)$ 得 $f=0$（有非零向量使 $f=0$），不是正定的。

定义：定义5.5 正定二次型与正定矩阵

定理5.1 二次型化为平方和 — 例子

例1：将 $f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_2^2$ 化为平方和。

配方：$f=(x_1+x_2{)}^2+x_2^2$。令 $y_1=x_1+x_2$，$y_2=x_2$，则 $f=y_1^2+y_2^2$。

例2：将 $f(x_1,x_2)=2x_1{x}_2$ 化为平方和。

所有平方项系数为0，$a_{12}=1\ne 0$。令 $x_1=y_1+y_2$，$x_2=y_1-y_2$，则 $f=2(y_1^2-y_2^2)$。

再令 $z_1=\sqrt{2}{y}_1$，$z_2=\sqrt{2}{y}_2$，得 $f=z_1^2-z_2^2$。

定理：定理5.1 二次型化为平方和

定理5.2 对称矩阵合同于对角矩阵 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$，对应二次型 $f=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_2^2=(x_1+x_2{)}^2+x_2^2$。

令 $C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$，$C^{T}AC=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$，对角矩阵 ✓。

定理：定理5.2 对称矩阵合同于对角矩阵

定理5.3 复二次型的规范形 — 例子

例1：$f=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_2^2=(x_1+x_2{)}^2+x_2^2$，在 $\mathbf{C}$ 上规范形为 $z_1^2+z_2^2$，秩 $r=2$。

例2：$f=2x_1{x}_2$，化为 $2y_1^2-2y_2^2$，在 $\mathbf{C}$ 上令 $z_1=\sqrt{2}{y}_1$，$z_2=\sqrt{2}{y}_2$，规范形为 $z_1^2+z_2^2$（注意复数域中 $-z_2^2=(i{z}_2{)}^2$）。

定理：定理5.3 复二次型的规范形

定理5.4 实二次型的规范形（惯性定理） — 例子

例1：$f=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_2^2=(x_1+x_2{)}^2+x_2^2$，正惯性指数 $p=2$，负惯性指数 $0$，秩 $r=2$，规范形 $y_1^2+y_2^2$。

例2：$f=x_1^2-4x_2^2=y_1^2-y_2^2$（令 $y_1=x_1$，$y_2=2x_2$），正惯性指数 $p=1$，负惯性指数 $1$，秩 $r=2$，符号差 $2\times 1-2=0$。

例3：$f=-x_1^2-x_2^2$，规范形 $-y_1^2-y_2^2$，$p=0$，$r=2$。

定理：定理5.4 实二次型的规范形（惯性定理）

定理5.5 复对称矩阵的合同标准形 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$，秩 = 1。在 $\mathbf{C}$ 上合同于 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$。

$B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，秩 = 1。$A$ 与 $B$ 秩相同，故合同。

定理：定理5.5 复对称矩阵的合同标准形

定理5.6 正定二次型的充要条件 — 例子

例1：$f=x_1^2+x_2^2+x_3^2$，正惯性指数 $p=3=n$，正定 ✓。

例2：$f=x_1^2-x_2^2$，正惯性指数 $p=1<2=n$，不正定。取 $x=(0,1)$，$f=-1<0$。

例3：$f=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2⩾0$，但取 $x=(1,-1)$ 得 $f=0$，不是正定（是半正定），正惯性指数 $p=1<2$。

定理：定理5.6 正定二次型的充要条件

定理5.7 正定矩阵的顺序主子式判定 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$。

${\Delta }_1=2>0$，${\Delta }_2=4-1=3>0$。所有顺序主子式大于零，$A$ 正定 ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$。

${\Delta }_1=1>0$，${\Delta }_2=1-4=-3<0$。不是正定 ✓（取 $x=(1,-1)$，$x^{T}Ax=1-4+1=-2<0$）。

例3：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 7\\ 3& 7& 11\end{array}\right)$。

${\Delta }_1=1>0$，${\Delta }_2=5-4=1>0$，${\Delta }_3=1(55-49)-2(22-21)+3(14-15)=6-2-3=1>0$。正定 ✓。

定理：定理5.7 正定矩阵的顺序主子式判定

定理5.8 半正定二次型的等价条件 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$。

$f=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2⩾0$，半正定 ✓。

正惯性指数 = 秩 = 1（条件2 ✓）。$A=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)=C^{T}C$（条件4 ✓）。${\Delta }_1=1⩾0$，${\Delta }_2=0⩾0$（条件5 ✓）。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，零矩阵半正定。$A=O^{T}O$，所有主子式为0。

定理：定理5.8 半正定二次型的等价条件