第二章 行列式 例子

第二章 行列式 — 定理例子

定义2.1 排列与逆序 — 例子

例1：排列 $3142$ 的逆序：$(3,1),(3,2),(4,2)$，共3个，$\tau (3142)=3$，是奇排列。

例2：排列 $1234$ 的逆序数为 $\tau (1234)=0$，是偶排列（标准排列）。

例3：排列 $4321$ 的逆序：$(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1)$，共6个，$\tau (4321)=6$，是偶排列。

定义：定义2.1 排列与逆序

定义2.2 对换 — 例子

例1：排列 $2134$ 中对换1和3得到 $2314$，这是一次对换。

例2：相邻对换：排列 $1324$ 中对换相邻的3和2得到 $1234$。

定义：定义2.2 对换

定义2.3 $n$ 阶行列式 — 例子

例1：2阶行列式 $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$。例如 $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=1\times 4-2\times 3=-2$。

例2：3阶行列式 $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right|=1\times 2\times 3=6$（对角行列式等于对角线元素之积）。

例3：上三角行列式 $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 4& 5\\ 0& 0& 6\end{array}\right|=1\times 4\times 6=24$。

定义：[[第二章 行列式#定义23-n-阶行列式|定义2.3 $n$ 阶行列式]]

定义2.4 余子式与代数余子式 — 例子

例1：$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$ 中，$a_{23}=6$ 的余子式 $M_{23}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& 8\end{array}\right|=8-14=-6$，代数余子式 $A_{23}=(-1{)}^{2+3}{M}_{23}=-(-6)=6$。

例2：$D=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right|$ 中，$a_{11}=2$ 的余子式 $M_{11}=4$，代数余子式 $A_{11}=(-1{)}^{1+1}\times 4=4$。

定义：定义2.4 余子式与代数余子式

定义2.5 $k$ 阶子式与代数余子式 — 例子

例1：4阶行列式中，取第1、3行和第2、4列，得2阶子式 $\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{14}\\ a_{32}& a_{34}\end{array}\right|$。行标之和 $1+3=4$，列标之和 $2+4=6$，代数余子式符号为 $(-1{)}^{4+6}=1$。

例2：3阶行列式中，取第1、2行和第1、2列，得2阶子式 $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$。余子式为 $|a_{33}|=a_{33}$，代数余子式为 $(-1{)}^{(1+2)+(1+2)}{a}_{33}=a_{33}$。

定义：[[第二章 行列式#定义25-k-阶子式与代数余子式|定义2.5 $k$ 阶子式与代数余子式]]

定理2.1 对换与排列奇偶性 — 例子

例1：排列 $3142$ 的逆序数为 $\tau (3142)=3$（$(3,1),(3,2),(4,2)$），是奇排列。对换1和3得 $1342$，逆序数 $\tau (1342)=1$（$(3,2),(4,2)$… 实际 $(4,2)$ 一个），是偶排列。奇偶性改变，与定理一致。

例2：$n=3$ 时，6个排列中奇排列3个（$312,231,213$），偶排列3个（$123,132,321$），各占 $\frac{3!}{2}=3$ 个，与推论2一致。

定理：定理2.1 对换与排列奇偶性

定理2.2 排列的对换 — 例子

例1：将排列 $4231$ 变为 $1234$。

$4231\stackrel{\text{对换4,1}}{\to }1234$，1次对换。$\tau (4231)=5$（奇排列），对换次数1（奇数），奇偶性相同。

例2：将排列 $321$ 变为 $123$。

$321\stackrel{\text{对换1,3}}{\to }123$，1次对换。$\tau (321)=3$（奇排列），对换次数1（奇数），一致。

定理：定理2.2 排列的对换

定理2.3 行列式按行（列）展开 — 例子

例1：计算行列式

$$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$$

按第1行展开：$D=1\cdot A_{11}+2\cdot A_{12}+3\cdot A_{13}$。

$A_{11}=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right|=45-48=-3$，$A_{12}=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|=-(36-42)=6$，$A_{13}=(-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right|=32-35=-3$。

$D=1\times (-3)+2\times 6+3\times (-3)=-3+12-9=0$。

验证 ${\sum }_{s=1}^3{a}_{2s}{A}_{1s}=4\times (-3)+5\times 6+6\times (-3)=-12+30-18=0$（$k\ne i$ 时为0）。

例2：验证 $D=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1$。$A_{11}=1$，$A_{12}=0$。$\sum a_{1s}{A}_{1s}=1\cdot 1+0\cdot 0=1=D$。$\sum a_{2s}{A}_{1s}=0\cdot 1+1\cdot 0=0$。

定理：定理2.3 行列式按行（列）展开

定理2.4 克拉默法则 — 例子

例1：解方程组

$$\{\begin{array}{l}2x_1+x_2=5,\\ x_1+3x_2=10.\end{array}$$

$d=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right|=5\ne 0$。

$d_1=\left|\begin{array}{cc}5& 1\\ 10& 3\end{array}\right|=15-10=5$，$d_2=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 10\end{array}\right|=20-5=15$。

$x_1=\frac{5}{5}=1$，$x_2=\frac{15}{5}=3$。验证：$2\times 1+3=5$ ✓，$1+3\times 3=10$ ✓。

例2：解方程组

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=6,\\ x_1-x_2+x_3=2,\\ x_1+x_2-x_3=0.\end{array}$$

$d=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right|=1(1-1)-1(-1-1)+1(1+1)=0+2+2=4$。

$d_1=\left|\begin{array}{ccc}6& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right|=6(1-1)-1(-2-0)+1(2-0)=0+2+2=4$。

$d_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 6& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right|=1(-2-0)-6(-1-1)+1(0-2)=-2+12-2=8$。

$d_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 6\\ 1& -1& 2\\ 1& 1& 0\end{array}\right|=1(0-2)-1(0-2)+6(1+1)=-2+2+12=12$。

$x_1=1$，$x_2=2$，$x_3=3$。

定理：定理2.4 克拉默法则

定理2.5 齐次线性方程组的非零解 — 例子

例1：齐次方程组

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-x_3=0,\\ 2x_1+4x_2+x_3=0.\end{array}$$

系数矩阵行列式不存在（非方阵），但若考虑方阵情况：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2=0,\\ 2x_1+4x_2=0.\end{array}$$

$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right|=0$，故有非零解，如 $(2,-1)$。

例2：$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=-2\ne 0$，方程组 $\{\begin{array}{c}{x}_1+2x_2=0\\ 3x_1+4x_2=0\end{array}$ 只有零解。

定理：定理2.5 齐次线性方程组的非零解

定理2.6 拉普拉斯定理 — 例子

例1：用拉普拉斯定理计算

$$D=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 0\\ 3& 4& 0& 0\\ 0& 0& 5& 6\\ 0& 0& 7& 8\end{array}\right|.$$

取前2行展开。前2行中非零的2阶子式只有左上角的 $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=-2$，其代数余子式为 $(-1{)}^{(1+2)+(1+2)}\left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right|=-2$。

$D=(-2)\times (-2)=4$。

例2：

$$D=\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ 1& 2& 0& 0\\ 1& 0& 3& 2\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right|.$$

取前2行展开。前2行中非零2阶子式：

$M_1=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=3$（取第1,2列），代数余子式 $=(-1{)}^{3+3}\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 2\end{array}\right|=4$。

其余2阶子式含0列，为零。$D=3\times 4=12$。

定理：定理2.6 拉普拉斯定理

定理2.7 行列式乘积公式 — 例子

例1：设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)$。

$|A|=4-6=-2$，$|B|=6-0=6$。

$AB=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 10& 12\end{array}\right)$，$|AB|=48-60=-12$。

$|A|\cdot |B|=(-2)\times 6=-12=|AB|$ ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$。

$|A|=-1$，$|B|=-1$，$|A||B|=1$。

$AB=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$，$|AB|=0-(-1)=1$ ✓。

定理：定理2.7 行列式乘积公式