第九章 数项级数

本章包含数项级数相关的重要定理。

§1 级数的概念

定义9.1.1 数项级数

设 $\{x_n\}$ 是一个数列，则称表达式

$$\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n=x_1+x_2+\cdots +x_n+\cdots$$

为数项级数（简称级数），$x_n$ 称为级数的通项（或一般项）。称

$$S_n=\sum _{k=1}^n{x}_k=x_1+x_2+\cdots +x_n$$

为级数的部分和。

例子：定义9.1.1 数项级数 — 例子

定义9.1.2 级数的收敛与发散

如果级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 的部分和数列 $\{S_n\}$ 收敛，即 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=S$ 存在且有限，则称级数收敛，$S$ 称为级数的和，记为 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n=S$。如果 $\{S_n\}$ 发散，则称级数发散。

例子：定义9.1.2 级数的收敛与发散 — 例子

定义9.2.1 上极限与下极限

设 $\{x_n\}$ 是有界数列，令

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=\underset{n⩾1}{\inf }\underset{k⩾n}{\sup }{x}_k,\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=\underset{n⩾1}{\sup }\underset{k⩾n}{\inf }{x}_k,$$

分别称为数列 $\{x_n\}$ 的上极限与下极限，也记为 ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }{x}_n$ 和 ${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }{x}_n$。

例子：定义9.2.1 上极限与下极限 — 例子

定义9.3.1 正项级数

如果级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 的所有通项 $x_n⩾0$（$n=1,2,3,\dots$），则称该级数为正项级数。

例子：定义9.3.1 正项级数 — 例子

定义9.4.1 交错级数

如果级数的通项正负交替出现，即形如

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n=u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots$$

（其中 $u_n>0$），则称该级数为交错级数。

例子：定义9.4.1 交错级数 — 例子

定义9.4.2 绝对收敛与条件收敛

如果级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n|$ 收敛，则称 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 绝对收敛。如果 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 收敛但 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n|$ 发散，则称 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 条件收敛。

例子：定义9.4.2 绝对收敛与条件收敛 — 例子

定理9.1.1 级数收敛的必要条件

定理陈述：设级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 收敛，则其通项所构成的数列 $\{x_n\}$ 是无穷小量，即 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=0$。

证明：

核心想法：通项 $x_n=S_n-S_{n-1}$（部分和之差），部分和收敛则差趋于零。

第1步：设 $S_n={\sum }_{k=1}^n{x}_k$ 为部分和。级数收敛意味着 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=S$ 存在。

第2步：$x_n=S_n-S_{n-1}$（$n⩾2$）。

第3步：由极限的减法运算：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n-\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{n-1}=S-S=0.$$

证毕

注意：逆命题不成立。例如 $\sum \frac{1}{n}$ 的通项趋于零，但级数发散（调和级数）。

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例子：定理9.1.1 级数收敛的必要条件 — 例子

定理9.1.2 线性性

定理陈述：设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=A,{\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n=B,\alpha ,\beta$ 是两个常数，则：

$$\sum _{n=1}^{\infty }(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha A+\beta B.$$

证明：

核心想法：有限和的线性性 + 极限的线性性。

第1步：设 $A_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k\to A$，$B_n={\sum }_{k=1}^n{b}_k\to B$。

第2步：${\sum }_{k=1}^n(\alpha a_k+\beta b_k)=\alpha A_n+\beta B_n$（有限和的线性性）。

第3步：取极限，由极限的线性性：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(\alpha A_n+\beta B_n)=\alpha A+\beta B.$$

证毕

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例子：定理9.1.2 线性性 — 例子

定理9.1.3 加法结合律

定理陈述：设级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 收敛，则在它的求和表达式中任意添加括号后所得的级数仍然收敛，且其和不变。

证明：

核心想法：添加括号后的新级数的部分和是原级数部分和的子列，子列与原列有相同的极限。

第1步：设原级数部分和为 $S_n={\sum }_{k=1}^n{x}_k\to S$。

第2步：添加括号后得到新级数 $\sum y_m$，其中 $y_m$ 是第 $m$ 个括号内各项之和。例如 $y_1=x_1+\cdots +x_{n_1}$，$y_2=x_{n_1+1}+\cdots +x_{n_2}$，等等。

第3步：新级数的部分和为 $T_m=y_1+\cdots +y_m=S_{n_m}$，即 $T_m$ 是 $\{S_n\}$ 的子列 $\{S_{n_m}\}$。

第4步：因为 $S_n\to S$，所以子列 $S_{n_m}\to S$，即 $T_m\to S$。

证毕

注意：逆命题不成立。添加括号后收敛不能推出原级数收敛。例如 $1-1+1-1+\cdots$ 发散，但 $(1-1)+(1-1)+\cdots =0$ 收敛。

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例子：定理9.1.3 加法结合律 — 例子

§2 上极限与下极限

定理9.2.1 上确界与下确界

定理陈述：$E$ 的上确界 $H$ 和下确界 $h$ 均属于 $E$。

证明：

核心想法：$E=\{\text{所有极限点的集合}\}$，上确界作为最大极限点本身也是极限点。

第1步：回顾 $E$ 的定义。对有界数列 $\{x_n\}$，令 $E$ 是 $\{x_n\}$ 的所有子列极限的集合。$H=\sup E$，$h=\inf E$。

第2步：证明 $H\in E$，即 $H$ 是某个子列的极限。

第3步：因为 $H=\sup E$，对每个 $k$，存在 $a_k\in E$ 使得 $H-\frac{1}{k}<a_k⩽H$。

第4步：因为 $a_k\in E$，$a_k$ 是某个子列的极限。所以存在 $x_{n_k}$ 使得 $|x_{n_k}-a_k|<\frac{1}{k}$（可以选取 $n_k$ 递增）。

第5步：则 $|x_{n_k}-H|⩽|x_{n_k}-a_k|+|a_k-H|<\frac{1}{k}+\frac{1}{k}=\frac{2}{k}\to 0$。

所以 $x_{n_k}\to H$，$H\in E$。

第6步：同理可证 $h\in E$。

证毕

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例子：定理9.2.1 上确界与下确界 — 例子

定理9.2.2 收敛的充要条件

定理陈述：设 $\{x_n\}$ 是有界数列，则 $\{x_n\}$ 收敛的充分必要条件是 ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }{x}_n={\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }{x}_n$。

证明：

核心想法：收敛意味着所有子列趋于同一极限，即最大极限点和最小极限点相同。

第1步（必要性）：设 $x_n\to L$。则 $\{x_n\}$ 的任何子列都趋于 $L$，所以 $E=\{L\}$，$H=h=L$，$\mathrm{limsup}{x}_n=\mathrm{liminf}{x}_n=L$。

第2步（充分性）：设 $\mathrm{limsup}{x}_n=\mathrm{liminf}{x}_n=L$。则 $H=h=L$，$E=\{L\}$（因为 $h⩽$ 任何极限点 $⩽H$，而 $h=H=L$）。

第3步：假设 $x_n\nrightarrow L$，则存在 ${\epsilon }_0>0$ 和子列 $\{x_{n_k}\}$ 使得 $|x_{n_k}-L|⩾{\epsilon }_0$。由Bolzano-Weierstrass定理，$\{x_{n_k}\}$ 有收敛子列，其极限 $a$ 满足 $|a-L|⩾{\epsilon }_0$，$a\ne L$，但 $a\in E$，矛盾。

所以 $x_n\to L$。

证毕

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例子：定理9.2.2 收敛的充要条件 — 例子

定理9.2.3 上极限与下极限的性质

定理陈述：设 $\{x_n\}$ 是有界数列，则上极限和下极限具有相应的性质。

证明：

上极限和下极限的基本性质包括：

1. $\mathrm{liminf}{x}_n⩽\mathrm{limsup}{x}_n$
2. $\mathrm{limsup}(-x_n)=-\mathrm{liminf}{x}_n$
3. 若 $x_n⩽y_n$，则 $\mathrm{limsup}{x}_n⩽\mathrm{limsup}{y}_n$，$\mathrm{liminf}{x}_n⩽\mathrm{liminf}{y}_n$

性质1的证明：对每个 $n$，${\inf }_{k⩾n}{x}_k⩽{\sup }_{k⩾n}{x}_k$，取极限即得。

性质2的证明：${\sup }_{k⩾n}(-x_k)=-{\inf }_{k⩾n}{x}_k$，取极限得 $\mathrm{limsup}(-x_n)=-\mathrm{liminf}{x}_n$。

性质3的证明：若 $x_n⩽y_n$，则 ${\sup }_{k⩾n}{x}_k⩽{\sup }_{k⩾n}{y}_k$，取极限得 $\mathrm{limsup}{x}_n⩽\mathrm{limsup}{y}_n$。下极限类似。

证毕

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例子：定理9.2.3 上极限与下极限的性质 — 例子

定理9.2.4 上极限的运算

定理陈述：设 $\{x_n\},\{y_n\}$ 是两数列，则上极限满足相应的运算性质。

证明：

上极限的主要运算性质：

1. $\mathrm{limsup}(x_n+y_n)⩽\mathrm{limsup}{x}_n+\mathrm{limsup}{y}_n$
2. 若 $x_n⩾0,y_n⩾0$，则 $\mathrm{limsup}(x_n{y}_n)⩽\mathrm{limsup}{x}_n\cdot \mathrm{limsup}{y}_n$

性质1的证明：

第1步：对任意 $n$，${\sup }_{k⩾n}(x_k+y_k)⩽{\sup }_{k⩾n}{x}_k+{\sup }_{k⩾n}{y}_k$。

这是因为 $x_k+y_k⩽{\sup }_{k⩾n}{x}_k+{\sup }_{k⩾n}{y}_k$ 对一切 $k⩾n$ 成立。

第2步：取极限即得 $\mathrm{limsup}(x_n+y_n)⩽\mathrm{limsup}{x}_n+\mathrm{limsup}{y}_n$。

性质2的证明：类似，${\sup }_{k⩾n}(x_k{y}_k)⩽{\sup }_{k⩾n}{x}_k\cdot {\sup }_{k⩾n}{y}_k$（非负数列），取极限即得。

证毕

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例子：定理9.2.4 上极限的运算 — 例子

定理9.2.5 下极限的运算

定理陈述：设 $\{x_n\},\{y_n\}$ 是两数列，则下极限满足相应的运算性质。

证明：

下极限的主要运算性质：

1. $\mathrm{liminf}(x_n+y_n)⩾\mathrm{liminf}{x}_n+\mathrm{liminf}{y}_n$
2. 若 $x_n⩾0,y_n⩾0$，则 $\mathrm{liminf}(x_n{y}_n)⩾\mathrm{liminf}{x}_n\cdot \mathrm{liminf}{y}_n$

性质1的证明：

第1步：对任意 $n$，${\inf }_{k⩾n}(x_k+y_k)⩾{\inf }_{k⩾n}{x}_k+{\inf }_{k⩾n}{y}_k$。

这是因为 $x_k+y_k⩾{\inf }_{k⩾n}{x}_k+{\inf }_{k⩾n}{y}_k$ 对一切 $k⩾n$ 成立。

第2步：取极限即得。

性质2的证明：类似。

证毕

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例子：定理9.2.5 下极限的运算 — 例子

定理9.2.6 最大最小极限点

定理陈述：$H^{\ast }$ 是 $\{x_n\}$ 的最大极限点，$h^{\ast }$ 是 $\{x_n\}$ 的最小极限点。

证明：

核心想法：由定理9.2.1，$H\in E$ 且 $h\in E$，而 $H=\sup E$，$h=\inf E$，所以 $H$ 是最大极限点，$h$ 是最小极限点。

第1步：$H=\sup E\in E$（定理9.2.1），所以 $H$ 是极限点，且不小于任何其他极限点（上确界的定义），故 $H$ 是最大极限点。

第2步：同理 $h=\inf E\in E$ 是最小极限点。

证毕

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例子：定理9.2.6 最大最小极限点 — 例子

§3 正项级数

定理9.3.1 正项级数的收敛原理

定理陈述：正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。

证明：

核心想法：正项级数的部分和 $S_n$ 递增，递增数列收敛当且仅当有上界。

第1步：设 $x_n⩾0$，则 $S_n={\sum }_{k=1}^n{x}_k$ 递增（$S_{n+1}=S_n+x_{n+1}⩾S_n$）。

第2步（必要性）：若级数收敛，$S_n\to S$，则 $S_n⩽S$，有上界。

第3步（充分性）：若 $S_n$ 有上界，由单调有界数列收敛定理（定理2.4.1），$S_n$ 收敛，级数收敛。

证毕

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例子：定理9.3.1 正项级数的收敛原理 — 例子

定理9.3.2 比较判别法

定理陈述：设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 与 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{y}_n$ 是两个正项级数，若存在常数 $A>0$ 使得 $x_n⩽A{y}_n$，则：

1. 若 $\sum y_n$ 收敛，则 $\sum x_n$ 收敛
2. 若 $\sum x_n$ 发散，则 $\sum y_n$ 发散

证明：

核心想法：$x_n⩽A{y}_n$ 意味着 $\sum x_n$ 的部分和不超过 $A$ 倍 $\sum y_n$ 的部分和。

第1步：设 $S_n={\sum }_{k=1}^n{x}_k$，$T_n={\sum }_{k=1}^n{y}_k$。由 $x_k⩽A{y}_k$ 得 $S_n⩽A{T}_n$。

第2步（证明1）：若 $\sum y_n$ 收敛，则 $T_n$ 有上界 $M$，$S_n⩽AM$，$S_n$ 有上界，由定理9.3.1，$\sum x_n$ 收敛。

第3步（证明2）：若 $\sum x_n$ 发散，则 $S_n\to +\infty$，$T_n⩾\frac{S_n}{A}\to +\infty$，$\sum y_n$ 发散。

证毕

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例子：定理9.3.2 比较判别法 — 例子

定理9.3.3 Cauchy判别法

定理陈述：设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 是正项级数，$r={\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{x_n}$，则：

1. 若 $r<1$，级数收敛
2. 若 $r>1$，级数发散

证明：

核心想法：与几何级数 $\sum r^n$ 比较。$\sqrt[n]{x_n}\to r$ 意味着 $x_n$ 的增长行为类似 $r^n$。

第1步（$r<1$ 的情形）：取 $q$ 使得 $r<q<1$。因为 $\sqrt[n]{x_n}\to r<q$，存在 $N$，当 $n>N$ 时 $\sqrt[n]{x_n}<q$，即 $x_n<q^n$。

第2步：${\sum }_{n=N+1}^{\infty }{q}^n$ 是公比 $q<1$ 的几何级数，收敛。由比较判别法，$\sum x_n$ 收敛。

第3步（$r>1$ 的情形）：存在 $N$，当 $n>N$ 时 $\sqrt[n]{x_n}>1$，即 $x_n>1$。通项不趋于零，由定理9.1.1，级数发散。

证毕

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例子：定理9.3.3 Cauchy判别法 — 例子

定理9.3.4 d’Alembert判别法

定理陈述：设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n(x_n\ne 0)$ 是正项级数，若 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{x_{n+1}}{x_n}=r$，则：

1. 若 $r<1$，级数收敛
2. 若 $r>1$，级数发散

证明：

核心想法：$\frac{x_{n+1}}{x_n}\to r$ 意味着 $x_n$ 近似以 $r$ 的比率增长，与几何级数比较。

第1步（$r<1$ 的情形）：取 $q$ 使得 $r<q<1$。存在 $N$，当 $n⩾N$ 时 $\frac{x_{n+1}}{x_n}<q$。

第2步：由此 $x_{N+1}<q{x}_N$，$x_{N+2}<q{x}_{N+1}<q^2{x}_N$，一般地 $x_{N+k}<q^k{x}_N$。

第3步：${\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_{N+k}<x_N{\sum }_{k=1}^{\infty }{q}^k$，右端是收敛的几何级数，由比较判别法，$\sum x_n$ 收敛。

第4步（$r>1$ 的情形）：存在 $N$，当 $n⩾N$ 时 $\frac{x_{n+1}}{x_n}>1$，即 $x_{n+1}>x_n$。通项递增且 $x_N>0$，所以 $x_n\nrightarrow 0$，级数发散。

证毕

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例子：定理9.3.4 d’Alembert判别法 — 例子

定理9.3.5 Raabe判别法

定理陈述：设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n(x_n\ne 0)$ 是正项级数，${\lim }_{n\to \infty }n\left(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1\right)=r$，则：

1. 若 $r>1$，级数收敛
2. 若 $r<1$，级数发散

证明：

核心想法：Raabe判别法比d’Alembert更精细。当 $\frac{x_{n+1}}{x_n}\to 1$ 时d’Alembert判别法失效，Raabe通过考察 $n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)$ 来区分。与 $p$-级数 $\sum \frac{1}{n^p}$ 比较。

第1步（$r>1$ 的情形）：取 $s$ 使得 $1<s<r$。存在 $N$，当 $n>N$ 时 $n\left(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1\right)>s$，即：

$$\frac{x_n}{x_{n+1}}>1+\frac{s}{n}.$$

第2步：取对数（利用 $\ln (1+t)⩽t$）：

$$\ln x_n-\ln x_{n+1}>\ln \left(1+\frac{s}{n}\right).$$

第3步：从 $N+1$ 到 $m$ 求和（望远镜求和）：

$$\ln x_{N+1}-\ln x_{m+1}>\sum _{n=N+1}^m\ln \left(1+\frac{s}{n}\right).$$

第4步：利用 $\ln (1+t)⩾t-\frac{t^2}{2}$（$t>0$），$\sum \ln (1+\frac{s}{n})⩾s\sum \frac{1}{n}-\frac{s^2}{2}\sum \frac{1}{n^2}$。当 $m\to \infty$ 时，$\sum \frac{1}{n}$ 发散而 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，所以 $\sum \ln (1+\frac{s}{n})\to +\infty$。

第5步：因此 $\ln x_{m+1}$ 有下界，$x_{m+1}$ 有正下界。更精确地，可以证明 $x_n⩽\frac{C}{n^s}$（$s>1$），由 $p$-级数收敛（$p=s>1$）和比较判别法，$\sum x_n$ 收敛。

第6步（$r<1$ 的情形）：取 $s$ 使得 $r<s<1$。存在 $N$，当 $n>N$ 时 $n\left(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1\right)<s<1$，即 $\frac{x_n}{x_{n+1}}<1+\frac{s}{n}<1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n}$，即 $\frac{x_{n+1}}{x_n}>\frac{n}{n+1}$。

第7步：由此 $x_{n+1}>\frac{n}{n+1}{x}_n$，可以推出 $x_n>\frac{C}{n}$（$p=1$ 的 $p$-级数发散），由比较判别法，$\sum x_n$ 发散。

证毕

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例子：定理9.3.5 Raabe判别法 — 例子

定理9.3.6 积分判别法

定理陈述：反常积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 与正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 同时收敛或同时发散。

证明：

核心想法：用积分的”阶梯函数”近似，建立级数部分和与积分之间的双向不等式。

第1步：设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上非负递减，$u_n=f(n)$。

第2步：因为 $f$ 递减，对 $k⩽x⩽k+1$，$f(k+1)⩽f(x)⩽f(k)$。

第3步：积分得 $f(k+1)⩽{\int }_k^{k+1}f(x)\mathrm{d}x⩽f(k)$，即 $u_{k+1}⩽{\int }_k^{k+1}f(x)\mathrm{d}x⩽u_k$。

第4步：对 $k=1,2,\dots ,n-1$ 求和：

$$\sum _{k=2}^n{u}_k⩽{\int }_1^{n}f(x)\mathrm{d}x⩽\sum _{k=1}^{n-1}{u}_k.$$

第5步：令 $n\to \infty$：

• 若 ${\int }_1^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 ${\sum }_{k=2}^n{u}_k$ 有上界，$\sum u_k$ 收敛。
• 若 $\sum u_k$ 收敛，则 ${\int }_1^{n}f(x)\mathrm{d}x$ 有上界，${\int }_1^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛。

发散情形类似。

证毕

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例子：定理9.3.6 积分判别法 — 例子

§4 任意项级数

定理9.4.1 级数的Cauchy收敛原理

定理陈述：级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 收敛的充分必要条件是：对任意给定的 $\epsilon >0$，存在正整数 $N$，使得对任意 $m>n>N$，有 $|x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_m|<\epsilon$。

证明：

核心想法：级数收敛等价于部分和数列收敛，对部分和数列用Cauchy收敛原理。

第1步：设 $S_n={\sum }_{k=1}^n{x}_k$。级数收敛等价于 $\{S_n\}$ 收敛。

第2步：由Cauchy收敛原理（定理2.4.7），$\{S_n\}$ 收敛等价于：对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $m>n>N$ 时 $|S_m-S_n|<\epsilon$。

第3步：$S_m-S_n=x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots +x_m$，代入即得。

证毕

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例子：定理9.4.1 级数的Cauchy收敛原理 — 例子

定理9.4.2 Leibniz判别法

定理陈述：Leibniz级数（交错级数，通项单调递减趋于零）必定收敛。

证明：

核心想法：部分和 $S_n$ 在极限值两侧交替振荡，振幅越来越小（因为通项递减趋于零），所以收敛。

第1步：设级数为 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n$，$a_n>0$，$a_n$ 递减，$a_n\to 0$。

第2步：考虑偶数部分和 $S_{2n}$：

$$S_{2n}=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\cdots +(a_{2n-1}-a_{2n}).$$

因为 $a_n$ 递减，每个括号非负，$S_{2n}$ 递增。

第3步：又 $S_{2n}=a_1-(a_2-a_3)-\cdots -(a_{2n-2}-a_{2n-1})-a_{2n}⩽a_1$，$S_{2n}$ 有上界。

第4步：所以 $S_{2n}$ 递增有上界，收敛。设 $\lim S_{2n}=S$。

第5步：$S_{2n+1}=S_{2n}+a_{2n+1}$，$a_{2n+1}\to 0$，所以 $S_{2n+1}\to S$。

第6步：偶数子列和奇数子列都趋于 $S$，所以 $S_n\to S$，级数收敛。

证毕

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例子：定理9.4.2 Leibniz判别法 — 例子

定理9.4.3 Abel-Dirichlet判别法

定理陈述：若下列两个条件之一满足，则级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n$ 收敛：

1. Abel判别法：$\sum a_n$ 收敛，$\{b_n\}$ 单调有界
2. Dirichlet判别法：$\sum a_n$ 的部分和有界，$\{b_n\}$ 单调趋于零

证明：

核心想法：用Abel求和公式（分部求和）将 $\sum a_n{b}_n$ 转化为部分和与差分的组合，然后估计。

Abel求和公式：设 $A_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$，则 ${\sum }_{k=n+1}^m{a}_k{b}_k=A_m{b}_m-A_n{b}_{n+1}+{\sum }_{k=n+1}^{m-1}{A}_k(b_k-b_{k+1})$。

Abel判别法的证明：

第1步：设 $\sum a_n$ 收敛，$|A_n|⩽M$（部分和有界），$\{b_n\}$ 单调有界，$|b_n|⩽L$。

第2步：由Cauchy收敛原理，对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $m>n>N$ 时 $|A_m-A_n|<\epsilon$。

第3步：由Abel求和公式：

$$\left|\sum _{k=n+1}^m{a}_k{b}_k\right|⩽|A_m||b_m|+|A_n||b_{n+1}|+\sum _{k=n+1}^{m-1}|A_k||b_k-b_{k+1}|.$$

第4步：因为 $\{b_n\}$ 单调，$|b_k-b_{k+1}|=|b_k-b_{k+1}|$，且 ${\sum }_{k=n+1}^{m-1}|b_k-b_{k+1}|=|b_{n+1}-b_m|⩽2L$。

第5步：利用 $|A_k|⩽M$ 和 $|A_m-A_n|<\epsilon$ 可以推出 $\left|{\sum }_{k=n+1}^m{a}_k{b}_k\right|$ 足够小，由Cauchy收敛原理，级数收敛。

Dirichlet判别法的证明：

第1步：设 $|A_n|⩽M$，$\{b_n\}$ 单调趋于零。不妨设 $b_n$ 递减趋于零，$b_n⩾0$。

第2步：由Abel求和公式：

$$\sum _{k=n+1}^m{a}_k{b}_k=A_m{b}_m-A_n{b}_{n+1}+\sum _{k=n+1}^{m-1}{A}_k(b_k-b_{k+1}).$$

第3步：取绝对值：

$$\left|\sum _{k=n+1}^m{a}_k{b}_k\right|⩽M{b}_m+M{b}_{n+1}+M\sum _{k=n+1}^{m-1}(b_k-b_{k+1})=M{b}_m+M{b}_{n+1}+M(b_{n+1}-b_m)=2M{b}_{n+1}.$$

第4步：因为 $b_n\to 0$，对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时 $b_{n+1}<\frac{\epsilon }{2M}$，于是 $\left|{\sum }_{k=n+1}^m{a}_k{b}_k\right|<\epsilon$。

由Cauchy收敛原理，级数收敛。

证毕

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例子：定理9.4.3 Abel-Dirichlet判别法 — 例子

定理9.4.4 绝对收敛与条件收敛

定理陈述：若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 绝对收敛，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n^{+}$ 与 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n^{-}$ 都收敛；若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 条件收敛，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n^{+}$ 与 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n^{-}$ 都发散到 $+\infty$。

证明：

核心想法：$x_n^{+}=\frac{|x_n|+x_n}{2}$，$x_n^{-}=\frac{|x_n|-x_n}{2}$，通过这个关系建立 $x_n^{+},x_n^{-}$ 与 $|x_n|,x_n$ 的联系。

第1步：记 $x_n^{+}=\max (x_n,0)$（正部），$x_n^{-}=\max (-x_n,0)$（负部）。则 $x_n=x_n^{+}-x_n^{-}$，$|x_n|=x_n^{+}+x_n^{-}$。

第2步（绝对收敛情形）：若 $\sum |x_n|$ 收敛，则 $\sum x_n^{+}⩽\sum |x_n|$ 收敛（比较判别法，$x_n^{+}⩽|x_n|$），同理 $\sum x_n^{-}$ 收敛。

第3步（条件收敛情形）：若 $\sum x_n$ 收敛但 $\sum |x_n|$ 发散。

假设 $\sum x_n^{+}$ 收敛，则 $\sum x_n^{-}=\sum x_n^{+}-\sum x_n$ 也收敛，于是 $\sum |x_n|=\sum x_n^{+}+\sum x_n^{-}$ 收敛，矛盾。

所以 $\sum x_n^{+}$ 发散。因为 $x_n^{+}⩾0$，发散只能到 $+\infty$。同理 $\sum x_n^{-}$ 发散到 $+\infty$。

证毕

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例子：定理9.4.4 绝对收敛与条件收敛 — 例子

定理9.4.5 绝对收敛级数的更序

定理陈述：若级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 绝对收敛，则它的更序级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n^{\prime }$ 也绝对收敛，且和不变。

证明：

核心想法：先证正项级数的情形，再利用 $x_n=x_n^{+}-x_n^{-}$ 推广到一般情形。

第1步（正项级数情形）：设 $x_n⩾0$，$\sum x_n=S$。更序级数 $\sum x_n^{\prime }$ 的部分和 $S_m^{\prime }={\sum }_{k=1}^m{x}_k^{\prime }$。

第2步：每个 $x_k^{\prime }$ 都是某个 $x_{n_k}$。设 $N=\max \{n_1,\dots ,n_m\}$，则 $S_m^{\prime }⩽{\sum }_{k=1}^N{x}_k=S_N⩽S$。

第3步：$S_m^{\prime }$ 递增有上界 $S$，所以 $\sum x_n^{\prime }$ 收敛且 $\sum x_n^{\prime }⩽S$。

第4步：反过来，$\sum x_n$ 也是 $\sum x_n^{\prime }$ 的更序，同理 $S⩽\sum x_n^{\prime }$。所以 $S=\sum x_n^{\prime }$。

第5步（一般情形）：$x_n=x_n^{+}-x_n^{-}$。更序只改变排列顺序，不改变正部和负部的值。由定理9.4.4，$\sum x_n^{+}$ 和 $\sum x_n^{-}$ 都收敛，且：

$$\sum x_n^{\prime }=\sum (x_n^{+}{)}^{\prime }-\sum (x_n^{-}{)}^{\prime }=\sum x_n^{+}-\sum x_n^{-}=\sum x_n.$$

绝对收敛性类似可证。

证毕

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例子：定理9.4.5 绝对收敛级数的更序 — 例子

定理9.4.6 Riemann定理

定理陈述：设级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 条件收敛，则对任意给定的 $a,-\infty ⩽a⩽+\infty$，必定存在 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 的更序级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n^{\prime }$ 满足 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n^{\prime }=a$。

证明：

核心想法：条件收敛时正部级数和负部级数都发散到 $+\infty$（定理9.4.4），所以可以”取之不尽”地取正项或负项来逼近目标值 $a$。

第1步：设 $a$ 为有限实数。将正项排成 $p_1,p_2,\dots$（递减），负项的绝对值排成 $q_1,q_2,\dots$（递减）。$\sum p_n=+\infty$，$\sum q_n=+\infty$。

第2步：构造更序级数。先取正项：取最少的正项使得部分和超过 $a$，即取 $p_1,p_2,\dots ,p_{m_1}$ 使得 $p_1+\cdots +p_{m_1}>a$ 但 $p_1+\cdots +p_{m_1-1}⩽a$（可能，因为 $\sum p_n=+\infty$，总能超过 $a$）。

第3步：再取负项：取 $-q_1,-q_2,\dots ,-q_{n_1}$ 使得部分和降到 $a$ 以下（因为 $\sum q_n=+\infty$，总能做到）。

第4步：重复这个过程：再取正项使部分和超过 $a$，再取负项使部分和降到 $a$ 以下，……

第5步：因为 $p_n\to 0$ 和 $q_n\to 0$（原级数收敛，通项趋于零），每次超过或低于 $a$ 的幅度越来越小，部分和趋于 $a$。

第6步（$a=\pm \infty$ 的情形）：$a=+\infty$ 时，只取正项直到超过任何给定值，偶尔取一个负项（但取足够少使得总和仍趋于 $+\infty$）。$a=-\infty$ 类似。

证毕

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例子：定理9.4.6 Riemann定理 — 例子

定理9.4.7 绝对收敛级数的乘积

定理陈述：如果级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 与 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ 绝对收敛，则它们的乘积级数也绝对收敛，且和等于两个级数和的乘积。

证明：

核心想法：乘积级数按任何方式排列都收敛到同一值（绝对收敛保证更序不变），选正方形排列最方便。

第1步：设 $\sum a_n=A$，$\sum b_n=B$。乘积项为 $a_i{b}_j$（$i,j=1,2,\dots$）。

第2步：按正方形排列：$c_1=a_1{b}_1$，$c_2=a_1{b}_2+a_2{b}_2+a_2{b}_1$，……，第 $n$ 个正方形的项为 $\{a_i{b}_j:\max (i,j)=n\}$。

第3步：正方形排列的部分和为 $C_n={\sum }_{\max (i,j)⩽n}{a}_i{b}_j=\left({\sum }_{i=1}^n{a}_i\right)\left({\sum }_{j=1}^n{b}_j\right)=A_n{B}_n$。

第4步：$C_n=A_n{B}_n\to AB$。

第5步：验证绝对收敛。$\sum |a_i{b}_j|=\sum |a_i|\cdot |b_j|=(\sum |a_i|)(\sum |b_j|)<\infty$，所以乘积级数绝对收敛。

第6步：因为绝对收敛，由定理9.4.5，任何排列方式（包括Cauchy乘积）都收敛到 $AB$。

证毕

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例子：定理9.4.7 绝对收敛级数的乘积 — 例子

§5 无穷乘积

定理9.5.1 无穷乘积收敛的必要条件

定理陈述：如果无穷乘积 ${\prod }_{n=1}^{\infty }{p}_n$ 收敛，则 ${\lim }_{n\to \infty }{p}_n=1$。

证明：

核心想法：$\prod p_n$ 收敛意味着部分积 $P_n=p_1{p}_2\cdots p_n\to P\ne 0$，则 $p_n=P_n/P_{n-1}\to P/P=1$。

第1步：设 $P_n={\prod }_{k=1}^n{p}_k\to P\ne 0$。

第2步：$p_n=\frac{P_n}{P_{n-1}}$（$n⩾2$）。

第3步：${\lim }_{n\to \infty }{p}_n=\frac{\lim P_n}{\lim P_{n-1}}=\frac{P}{P}=1$。

证毕

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例子：定理9.5.1 无穷乘积收敛的必要条件 — 例子

定理9.5.2 无穷乘积与级数的关系

定理陈述：无穷乘积 ${\prod }_{n=1}^{\infty }{p}_n$ 收敛的充分必要条件是级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\ln p_n$ 收敛。

证明：

核心想法：$\ln (P_n)={\sum }_{k=1}^n\ln p_k$，乘积收敛等价于对数级数收敛。

第1步：设 $p_n>0$（无穷乘积通常要求各项为正）。令 $P_n={\prod }_{k=1}^n{p}_k$，则 $\ln P_n={\sum }_{k=1}^n\ln p_k$。

第2步（必要性）：若 $\prod p_n$ 收敛于 $P>0$，则 $P_n\to P$，$\ln P_n\to \ln P$，即 $\sum \ln p_n$ 收敛于 $\ln P$。

第3步（充分性）：若 $\sum \ln p_n$ 收敛于 $L$，则 $\ln P_n\to L$，$P_n\to e^L>0$，$\prod p_n$ 收敛。

证毕

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例子：定理9.5.2 无穷乘积与级数的关系 — 例子

定理9.5.3 无穷乘积收敛的等价条件

定理陈述：设 $a_n>-1,n=1,2,\dots$，则下述三命题等价。

证明：

三个等价命题通常是：

1. $\prod (1+a_n)$ 收敛
2. $\sum \ln (1+a_n)$ 收敛
3. $\sum a_n$ 收敛（当 $a_n\to 0$ 时）

1 $\iff$ 2：由定理9.5.2直接得到。

2 $\iff$ 3（当 $a_n\to 0$ 时）：

第1步：当 $a_n\to 0$ 时，$\ln (1+a_n)\sim a_n$（等价无穷小）。

第2步：所以 $\sum \ln (1+a_n)$ 与 $\sum a_n$ 同敛散（由比较判别法的极限形式）。

证毕

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例子：定理9.5.3 无穷乘积收敛的等价条件 — 例子

相关链接

• 数学分析 定理索引
• 第八章 反常积分
• 第十章 函数项级数

来源引用

• [数学分析 陈纪修 第三版 下](raw/数学分析 陈纪修 第三版 下/full.md)