第九章 数项级数 — 例子

定义9.1.1 数项级数 — 例子

例1：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ 是数项级数，部分和 $S_N={\sum }_{n=1}^N\frac{1}{n^2}$。

例2：几何级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{q}^n$，部分和 $S_N=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}$（$q\ne 1$）。

定义：定义9.1.1 数项级数

定义9.1.2 级数的收敛与发散 — 例子

例1：${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-1/2}=2$，收敛。

例2：调和级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 发散（部分和 $S_N\to +\infty$）。

例3：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$，收敛。

定义：定义9.1.2 级数的收敛与发散

定义9.2.1 上极限与下极限 — 例子

例1：$\{x_n\}=\{(-1{)}^n(1+\frac{1}{n})\}$。上极限 ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }{x}_n=1$，下极限 ${\mathrm{liminf}}_{n\to \infty }{x}_n=-1$。

例2：$\{x_n\}=\{\sin \frac{n\pi }{3}\}$。$\mathrm{limsup}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\mathrm{liminf}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

定义：定义9.2.1 上极限与下极限

定义9.3.1 正项级数 — 例子

例1：$\sum \frac{1}{n^2}$ 是正项级数（每项 $>0$）。

例2：$\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ 不是正项级数（项有正有负）。

定义：定义9.3.1 正项级数

定义9.4.1 交错级数 — 例子

例1：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots$ 是交错级数，由Leibniz判别法收敛。

定义：定义9.4.1 交错级数

定义9.4.2 绝对收敛与条件收敛 — 例子

例1：$\sum \frac{(-1{)}^n}{n^2}$ 绝对收敛：$\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛。

例2：$\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ 条件收敛：$\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ 收敛（Leibniz判别法），但 $\sum \frac{1}{n}$ 发散。

定义：定义9.4.2 绝对收敛与条件收敛

定理9.1.1 级数收敛的必要条件 — 例子

例1：$\sum \frac{1}{n}$ 发散：$\frac{1}{n}\to 0$ 但级数发散（必要条件不充分）。

例2：$\sum n$ 发散：$n\nrightarrow 0$，直接由必要条件判定发散。

定理：定理9.1.1 级数收敛的必要条件

定理9.1.2 线性性 — 例子

例1：$\sum (3\cdot \frac{1}{2^n}-2\cdot \frac{1}{3^n})=3\cdot 2-2\cdot \frac{1/3}{1-1/3}=6-1=5$。

定理：定理9.1.2 线性性

定理9.1.3 加法结合律 — 例子

例1：$\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，加括号后仍收敛且和不变。但 $\sum (-1{)}^n$ 发散，加括号 $(1-1)+(1-1)+\cdots =0$ 收敛，说明发散级数加括号可能收敛。

定理：定理9.1.3 加法结合律

定理9.2.1 上确界与下确界 — 例子

例1：$\{x_n\}=\{1-\frac{1}{n}\}$，$\sup \{x_n\}=1$（上确界不是最大值）。

定理：定理9.2.1 上确界与下确界

定理9.2.2 收敛的充要条件 — 例子

例1：$\{x_n\}=\{1+\frac{(-1{)}^n}{n}\}$，$\mathrm{limsup}{x}_n=1$，$\mathrm{liminf}{x}_n=1$，$\mathrm{limsup}=\mathrm{liminf}$，故收敛于1。

定理：定理9.2.2 收敛的充要条件

定理9.2.3 上极限与下极限的性质 — 例子

例1：$\{x_n\}=\{(-1{)}^n\}$，$\mathrm{limsup}{x}_n=1$，$\mathrm{liminf}{x}_n=-1$，$\mathrm{liminf}⩽\mathrm{limsup}$ ✓

定理：定理9.2.3 上极限与下极限的性质

定理9.2.4 上极限的运算 — 例子

例1：$x_n=(-1{)}^n$，$y_n=1$。$\mathrm{limsup}(x_n+y_n)=\mathrm{limsup}\{1+(-1{)}^n\}=2$，$\mathrm{limsup}{x}_n+\mathrm{limsup}{y}_n=1+1=2$ ✓

定理：定理9.2.4 上极限的运算

定理9.2.5 下极限的运算 — 例子

例1：$x_n=(-1{)}^n$，$y_n=1$。$\mathrm{liminf}(x_n+y_n)=\mathrm{liminf}\{1+(-1{)}^n\}=0$，$\mathrm{liminf}{x}_n+\mathrm{liminf}{y}_n=-1+1=0$ ✓

定理：定理9.2.5 下极限的运算

定理9.2.6 最大最小极限点 — 例子

例1：$\{x_n\}=\{\sin \frac{n\pi }{4}\}$ 的极限点集为 $\{0,\pm \frac{\sqrt{2}}{2},\pm 1\}$，最大极限点 $=1=\mathrm{limsup}$。

定理：定理9.2.6 最大最小极限点

定理9.3.1 正项级数的收敛原理 — 例子

例1：$\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛：部分和 $S_N={\sum }_{n=1}^N\frac{1}{n^2}$ 单调递增且有上界（$S_N<1+{\int }_1^N\frac{dx}{x^2}<2$），故收敛。

定理：定理9.3.1 正项级数的收敛原理

定理9.3.2 比较判别法 — 例子

例1：$\sum \frac{1}{n^2+n}$ 收敛：$\frac{1}{n^2+n}<\frac{1}{n^2}$，而 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛。

例2：$\sum \frac{1}{\ln n}$ 发散：$\frac{1}{\ln n}>\frac{1}{n}$（$n⩾3$），而 $\sum \frac{1}{n}$ 发散。

定理：定理9.3.2 比较判别法

定理9.3.3 Cauchy判别法 — 例子

例1：$\sum \frac{1}{2^n}$：$\sqrt[n]{\frac{1}{2^n}}=\frac{1}{2}<1$，收敛。

例2：$\sum \frac{1}{n}$：$\sqrt[n]{\frac{1}{n}}\to 1$，判别法失效。

定理：定理9.3.3 Cauchy判别法

定理9.3.4 d’Alembert判别法 — 例子

例1：$\sum \frac{n}{2^n}$：$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{2n}\to \frac{1}{2}<1$，收敛。

例2：$\sum \frac{n!}{n^n}$：$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{n!}=\frac{1}{(1+1/n{)}^n}\to \frac{1}{e}<1$，收敛。

定理：定理9.3.4 d’Alembert判别法

定理9.3.5 Raabe判别法 — 例子

例1：$\sum \frac{1}{n^p}$（$p>0$）：$n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=n((1+\frac{1}{n}{)}^p-1)\to p$。$p>1$ 时收敛，$p<1$ 时发散，$p=1$ 时判别法失效。

定理：定理9.3.5 Raabe判别法

定理9.3.6 积分判别法 — 例子

例1：$\sum \frac{1}{n^2}$ 与 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2}$ 同敛散，积分收敛（$p=2>1$），故级数收敛。

例2：$\sum \frac{1}{n{\ln }^{2}n}$ 与 ${\int }_2^{+\infty }\frac{dx}{x{\ln }^{2}x}$ 同敛散，令 $u=\ln x$，$\int \frac{du}{u^2}$ 收敛，故级数收敛。

定理：定理9.3.6 积分判别法

定理9.4.1 级数的Cauchy收敛原理 — 例子

例1：$\sum \frac{1}{n}$ 发散：取 $m=2n$，$|S_m-S_n|=\frac{1}{n+1}+\cdots +\frac{1}{2n}⩾n\cdot \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$，不趋于0。

定理：定理9.4.1 级数的Cauchy收敛原理

定理9.4.2 Leibniz判别法 — 例子

例1：$\sum \frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$ 收敛：$\frac{1}{n}$ 单调递减趋于0。

例2：$\sum \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ 收敛：$\frac{1}{\sqrt{n}}$ 单调递减趋于0。

定理：定理9.4.2 Leibniz判别法

定理9.4.3 Abel-Dirichlet判别法 — 例子

例1（Dirichlet）：$\sum \frac{\sin nx}{n}$ 收敛（$x\ne 2k\pi$）。${\sum }_{k=1}^n\sin kx$ 有界，$\frac{1}{n}$ 单调趋于0。

例2（Abel）：$\sum \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}\cdot (1+\frac{1}{n})$ 收敛。$\sum \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ 收敛，$(1+\frac{1}{n})$ 单调有界。

定理：定理9.4.3 Abel-Dirichlet判别法

定理9.4.4 绝对收敛与条件收敛 — 例子

例1：$\sum \frac{(-1{)}^n}{n^2}$ 绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛。但 $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ 收敛而非绝对收敛（条件收敛）。

定理：定理9.4.4 绝对收敛与条件收敛

定理9.4.5 绝对收敛级数的更序 — 例子

例1：$\sum \frac{(-1{)}^n}{2^n}$ 绝对收敛，任意更序后和不变。

定理：定理9.4.5 绝对收敛级数的更序

定理9.4.6 Riemann定理 — 例子

例1：$\sum \frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$ 条件收敛，适当重排可使和为任意实数。例如先取正项到和超过2，再取负项到和低于2，反复操作可使和趋于2。

定理：定理9.4.6 Riemann定理

定理9.4.7 绝对收敛级数的乘积 — 例子

例1：$\sum \frac{1}{2^n}$ 和 $\sum \frac{1}{3^n}$ 都绝对收敛，Cauchy乘积 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n$，$c_n={\sum }_{k=0}^n\frac{1}{2^k}\cdot \frac{1}{3^{n-k}}=\frac{1}{3^n}{\sum }_{k=0}^n(\frac{3}{2}{)}^k=\frac{1}{3^n}\cdot \frac{(3/2{)}^{n+1}-1}{3/2-1}$，乘积和 $=2\times \frac{3}{2}=3$。

定理：定理9.4.7 绝对收敛级数的乘积

定理9.5.1 无穷乘积收敛的必要条件 — 例子

例1：${\prod }_{n=1}^{\infty }(1+\frac{1}{n^2})$ 收敛，则 $1+\frac{1}{n^2}\to 1$，即 $\frac{1}{n^2}\to 0$ ✓

定理：定理9.5.1 无穷乘积收敛的必要条件

定理9.5.2 无穷乘积与级数的关系 — 例子

例1：$\prod (1+\frac{1}{n^2})$ 收敛 $\iff$ $\sum \ln (1+\frac{1}{n^2})$ 收敛。因 $\ln (1+\frac{1}{n^2})\sim \frac{1}{n^2}$，级数收敛，故乘积收敛。

定理：定理9.5.2 无穷乘积与级数的关系

定理9.5.3 无穷乘积收敛的等价条件 — 例子

例1：${\prod }_{n=2}^{\infty }(1-\frac{1}{n^2})={\prod }_{n=2}^{\infty }\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$。部分乘积 $P_N=\frac{1\cdot 3}{2^2}\cdot \frac{2\cdot 4}{3^2}\cdots \frac{(N-1)(N+1)}{N^2}=\frac{N+1}{2N}\to \frac{1}{2}$，收敛。

定理：定理9.5.3 无穷乘积收敛的等价条件