第十章 双线性函数与辛空间

本章包含线性函数、对偶空间、双线性函数及辛空间相关的基础定理。

定义10.1 线性函数

设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间。映射 $f:V\to P$ 如果满足对任意 $\alpha ,\beta \in V$ 和 $k\in P$：

$$f(\alpha +\beta )=f(\alpha )+f(\beta ),f(k\alpha )=kf(\alpha ),$$

则称 $f$ 为 $V$ 上的线性函数。

例子：定义10.1 线性函数 — 例子

定义10.2 对偶空间

设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间。$V$ 上全体线性函数的集合在自然的加法和数乘下构成 $P$ 上的线性空间，称为 $V$ 的对偶空间，记为 $V^{\ast }$。$\dim V^{\ast }=\dim V=n$。

例子：定义10.2 对偶空间 — 例子

定义10.3 对偶基

设 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 是 $V$ 的一组基。定义 $V^{\ast }$ 中的线性函数 $f_1,f_2,\dots ,f_n$ 使得

$$f_i({\epsilon }_j)={\delta }_{ij}(i,j=1,2,\dots ,n),$$

则 $f_1,f_2,\dots ,f_n$ 构成 $V^{\ast }$ 的一组基，称为 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 的对偶基。

例子：定义10.3 对偶基 — 例子

定义10.4 双线性函数

设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间。映射 $f:V\times V\to P$ 如果对每个变量都是线性的，即对任意 $\alpha ,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\beta ,{\beta }_1,{\beta }_2\in V$ 和 $k_1,k_2\in P$：

$$f(k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2,\beta )=k_{1}f({\alpha }_1,\beta )+k_{2}f({\alpha }_2,\beta ),$$ $$f(\alpha ,k_1{\beta }_1+k_2{\beta }_2)=k_{1}f(\alpha ,{\beta }_1)+k_{2}f(\alpha ,{\beta }_2),$$

则称 $f$ 为 $V$ 上的双线性函数。

例子：定义10.4 双线性函数 — 例子

定义10.5 度量矩阵

设 $f$ 是 $V$ 上的双线性函数，${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 是 $V$ 的一组基。称矩阵

$$A=(a_{ij}{)}_{n\times n},a_{ij}=f({\epsilon }_i,{\epsilon }_j)$$

为 $f$ 在基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 下的度量矩阵。

例子：定义10.5 度量矩阵 — 例子

定义10.6 对称双线性函数

如果双线性函数 $f$ 满足 $f(\alpha ,\beta )=f(\beta ,\alpha )$（对任意 $\alpha ,\beta \in V$），则称 $f$ 为对称双线性函数。对称双线性函数的度量矩阵是对称矩阵。

例子：定义10.6 对称双线性函数 — 例子

定义10.7 反对称双线性函数

如果双线性函数 $f$ 满足 $f(\alpha ,\beta )=-f(\beta ,\alpha )$（对任意 $\alpha ,\beta \in V$），则称 $f$ 为反对称双线性函数。反对称双线性函数的度量矩阵是反对称矩阵。

例子：定义10.7 反对称双线性函数 — 例子

定义10.8 辛空间

设 $V$ 是实数域 $\mathbf{R}$ 上的 $2n$ 维线性空间，$\omega$ 是 $V$ 上的非退化反对称双线性函数，则称 $(V,\omega )$ 为辛空间，$\omega$ 称为辛形式。

例子：定义10.8 辛空间 — 例子

定义10.9 辛基

辛空间 $(V,\omega )$ 中，如果基 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n,{\epsilon }_{-1},\dots ,{\epsilon }_{-n}$ 满足

$$\omega ({\epsilon }_i,{\epsilon }_{-j})={\delta }_{ij},\omega ({\epsilon }_i,{\epsilon }_j)=0,\omega ({\epsilon }_{-i},{\epsilon }_{-j})=0,$$

则称其为辛基（或辛正交基）。

例子：定义10.9 辛基 — 例子

定理10.1 线性函数的存在与唯一性

设 $V$ 是 $P$ 上一个 $n$ 维线性空间，${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 是 $V$ 的一组基，$a_1,a_2,\dots ,a_n$ 是 $P$ 中任意 $n$ 个数，存在唯一的 $V$ 上线性函数 $f$，使

$$f({\epsilon }_i)=a_i,i=1,2,\dots ,n.$$

证

存在性：对任意 $\alpha ={\sum }_{i=1}^n{x}_i{\epsilon }_i$，定义 $f(\alpha )={\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i$。

验证线性：$f(\alpha +\beta )=\sum a_i(x_i+y_i)=\sum a_i{x}_i+\sum a_i{y}_i=f(\alpha )+f(\beta )$，$f(k\alpha )=\sum a_i(k{x}_i)=k\sum a_i{x}_i=kf(\alpha )$。

且 $f({\epsilon }_j)=a_j$（取 $\alpha ={\epsilon }_j$，$x_i={\delta }_{ij}$）。

唯一性：若 $g$ 也是线性函数且 $g({\epsilon }_i)=a_i$，则 $g(\alpha )=g(\sum x_i{\epsilon }_i)=\sum x_{i}g({\epsilon }_i)=\sum a_i{x}_i=f(\alpha )$，故 $g=f$。

证毕

例子：定理10.1 线性函数的存在与唯一性 — 例子

定理10.2 对偶空间的维数

$L(V,P)$ 的维数等于 $V$ 的维数，而且 $f_1,f_2,\dots ,f_n$ 是 $L(V,P)$ 的一组基，其中 $f_i$ 由

$$f_i({\epsilon }_j)=\{\begin{array}{ll}1,& j=i;\\ 0,& j\ne i,\end{array}i,j=1,2,\dots ,n.$$

决定，称为 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 的对偶基。

证

线性无关：设 ${\sum }_{i=1}^n{c}_i{f}_i=0$（零函数）。则对每个 $j$，$0=\left(\sum c_i{f}_i\right)({\epsilon }_j)=\sum c_i{f}_i({\epsilon }_j)=c_j$。故 $c_1=\cdots =c_n=0$，$f_1,\dots ,f_n$ 线性无关。

生成：对任意 $g\in L(V,P)$，令 $c_i=g({\epsilon }_i)$。对 $\alpha =\sum x_j{\epsilon }_j$，$g(\alpha )=\sum x_{j}g({\epsilon }_j)=\sum c_j{x}_j$。而 $\left(\sum c_i{f}_i\right)(\alpha )=\sum c_i{f}_i(\alpha )=\sum c_i{x}_i=g(\alpha )$。故 $g=\sum c_i{f}_i$。

因此 $f_1,\dots ,f_n$ 是 $L(V,P)$ 的基，维数为 $n$。

证毕

例子：定理10.2 双线性函数的矩阵表示 — 例子

定理10.3 对偶基的过渡矩阵

设 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 及 ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n$ 是线性空间 $V$ 的两组基，它们的对偶基分别为 $f_1,f_2,\dots ,f_n$ 及 $g_1,g_2,\dots ,g_n$。如果由 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 到 ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n$ 的过渡矩阵为 $A$，那么由 $f_1,f_2,\dots ,f_n$ 到 $g_1,g_2,\dots ,g_n$ 的过渡矩阵为 $(A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$。

证

设 $({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n)=({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n)A$，即 ${\eta }_j={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{\epsilon }_i$。

设 $(g_1,\dots ,g_n)=(f_1,\dots ,f_n)B$，即 $g_j={\sum }_{i=1}^n{b}_{ij}{f}_i$。

由对偶基的定义，$g_j({\eta }_k)={\delta }_{jk}$。计算：

$g_j({\eta }_k)={\sum }_{i=1}^n{b}_{ij}{f}_i\left({\sum }_{l=1}^n{a}_{lk}{\epsilon }_l\right)={\sum }_{i=1}^n{b}_{ij}{\sum }_{l=1}^n{a}_{lk}{f}_i({\epsilon }_l)={\sum }_{i=1}^n{b}_{ij}{a}_{ik}={\sum }_{i=1}^n{a}_{ik}{b}_{ij}$.

即 $(A^{T}B{)}_{kj}={\delta }_{kj}$，故 $A^{T}B=E$，$B=(A^T{)}^{-1}$。

证毕

例子：定理10.3 双线性函数在不同基下的矩阵 — 例子

定理10.4 二次对偶同构

$V$ 是一个线性空间，$V^{\ast \ast }$ 是 $V$ 的对偶空间的对偶空间。$V$ 到 $V^{\ast \ast }$ 的映射

$$x⟶x^{\ast \ast }$$

是一个同构映射。

证

定义 $x^{\ast \ast }:V^{\ast }\to P$ 为 $x^{\ast \ast }(f)=f(x)$（$f\in V^{\ast }$）。

线性：$x^{\ast \ast }(af+bg)=(af+bg)(x)=af(x)+bg(x)=a{x}^{\ast \ast }(f)+b{x}^{\ast \ast }(g)$，故 $x^{\ast \ast }\in V^{\ast \ast }$。

映射 $x\mapsto x^{\ast \ast }$ 是线性的：$(x+y{)}^{\ast \ast }(f)=f(x+y)=f(x)+f(y)=x^{\ast \ast }(f)+y^{\ast \ast }(f)=(x^{\ast \ast }+y^{\ast \ast })(f)$，$(kx{)}^{\ast \ast }(f)=f(kx)=kf(x)=k{x}^{\ast \ast }(f)$。

单射：若 $x^{\ast \ast }=0$，则对所有 $f\in V^{\ast }$，$f(x)=0$。取 $V$ 的基 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$ 和对偶基 $f_1,\dots ,f_n$，$f_i(x)=0$（$i=1,\dots ,n$），故 $x$ 的所有坐标为零，$x=0$。

维数相同：维$(V^{\ast \ast })=$ 维$(V^{\ast })=$ 维$(V)$。

单射且维数相同，故是同构。

证毕

例子：定理10.4 对称双线性函数的规范形 — 例子

定理10.5 对称双线性函数的对角化

设 $V$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间，$f(\alpha ,\beta )$ 是 $V$ 上的对称双线性函数，则存在 $V$ 的一组基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$，使 $f(\alpha ,\beta )$ 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵。

推论1：设 $V$ 是复数域上 $n$ 维线性空间，$f(\alpha ,\beta )$ 是 $V$ 上对称双线性函数，则存在 $V$ 的一组基，使

$$f(\alpha ,\beta )=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_r{y}_r,0⩽r⩽n.$$

推论2：设 $V$ 是实数域上 $n$ 维线性空间，$f(\alpha ,\beta )$ 是 $V$ 上对称双线性函数，则存在 $V$ 的一组基，使

$$f(\alpha ,\beta )=x_1{y}_1+\cdots +x_p{y}_p-x_{p+1}{y}_{p+1}-\cdots -x_r{y}_r,0⩽p⩽r⩽n.$$

证

对 $n$ 做归纳法。$n=1$ 时度量矩阵已经是 $1\times 1$ 对角矩阵。

设对 $n-1$ 维空间结论成立。

情形1：存在 ${\epsilon }_1$ 使 $f({\epsilon }_1,{\epsilon }_1)=d_1\ne 0$。令 $W=\{\alpha \in V\mid f({\epsilon }_1,\alpha )=0\}$。

$W$ 是 $V$ 的子空间（因为 $f({\epsilon }_1,\cdot )$ 是线性函数）。$f({\epsilon }_1,{\epsilon }_1)=d_1\ne 0$，故 ${\epsilon }_1\notin W$，维$(W)=n-1$。

$V=L({\epsilon }_1)\oplus W$（直和：若 $\alpha \in L({\epsilon }_1)\cap W$，则 $\alpha =k{\epsilon }_1$ 且 $f({\epsilon }_1,k{\epsilon }_1)=k{d}_1=0$，$k=0$）。

$f$ 在 $W$ 上的限制仍是对称双线性函数，由归纳假设，存在 $W$ 的基 ${\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 使度量矩阵为对角形。${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 是 $V$ 的基，$f$ 在此基下的度量矩阵为 $\text{diag}(d_1,d_2,\dots ,d_r,0,\dots ,0)$。

情形2：对所有 $\alpha$，$f(\alpha ,\alpha )=0$。由 $f(\alpha +\beta ,\alpha +\beta )=f(\alpha ,\alpha )+2f(\alpha ,\beta )+f(\beta ,\beta )=2f(\alpha ,\beta )=0$，得 $f\equiv 0$，度量矩阵为零矩阵（对角矩阵）。

推论1：复数域中每个 $d_i\ne 0$ 可开方，令 ${\epsilon }_i^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{d_i}}{\epsilon }_i$，则 $f({\epsilon }_i^{\prime },{\epsilon }_i^{\prime })=1$。$d_i=0$ 对应的基向量不贡献。

推论2：实数域中，$d_i>0$ 的令 ${\epsilon }_i^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{d_i}}{\epsilon }_i$ 使 $f({\epsilon }_i^{\prime },{\epsilon }_i^{\prime })=1$；$d_i<0$ 的令 ${\epsilon }_i^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{|d_i|}}{\epsilon }_i$ 使 $f({\epsilon }_i^{\prime },{\epsilon }_i^{\prime })=-1$。

证毕

例子：定理10.5 反对称双线性函数的规范形 — 例子

定理10.6 反称双线性函数的标准形

设 $f(\alpha ,\beta )$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的反称双线性函数，则存在 $V$ 的一组基 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_{-1},\dots ,{\epsilon }_r,{\epsilon }_{-r},{\eta }_1,\dots ,{\eta }_s$，使

$$\{\begin{array}{ll}f({\epsilon }_i,{\epsilon }_{-i})=1,& i=1,2,\dots ,r;\\ f({\epsilon }_i,{\epsilon }_j)=0,& i+j\ne 0;\\ f(\alpha ,{\eta }_k)=0,& \alpha \in V,k=1,2,\dots ,s.\end{array}$$

证

若 $f\equiv 0$，取 $V$ 的任意基 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n$ 即可。

若 $f\not\equiv 0$，存在 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_{-1}$ 使 $f({\epsilon }_1,{\epsilon }_{-1})=c\ne 0$（反称性保证 $f({\epsilon }_1,{\epsilon }_{-1})=-f({\epsilon }_{-1},{\epsilon }_1)$）。用 $\frac{1}{c}{\epsilon }_{-1}$ 替换 ${\epsilon }_{-1}$，可使 $f({\epsilon }_1,{\epsilon }_{-1})=1$。

令 $W=\{\alpha \in V\mid f({\epsilon }_1,\alpha )=0\text{ 且 }f({\epsilon }_{-1},\alpha )=0\}$。

$W$ 是 $V$ 的子空间。$V=L({\epsilon }_1,{\epsilon }_{-1})\oplus W$（直和：若 $\alpha =a{\epsilon }_1+b{\epsilon }_{-1}\in W$，则 $0=f({\epsilon }_1,\alpha )=b$，$0=f({\epsilon }_{-1},\alpha )=-a$，故 $\alpha =0$。维数：$W$ 由2个线性条件定义，维$(W)=n-2$）。

$f$ 在 $W$ 上的限制仍是反称双线性函数。对 $W$ 重复上述过程，得到 ${\epsilon }_2,{\epsilon }_{-2},\dots ,{\epsilon }_r,{\epsilon }_{-r}$ 和剩余子空间 $W_r$，在 $W_r$ 上 $f\equiv 0$。取 $W_r$ 的基 ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_s$，则 $f(\alpha ,{\eta }_k)=0$ 对所有 $\alpha \in V$ 成立（因为 $f$ 在 $W_r$ 上为零，且 $f({\epsilon }_i,{\eta }_k)=0$，$f({\epsilon }_{-i},{\eta }_k)=0$ 由 $W$ 的定义）。

证毕

例子：定理10.6 辛空间的维数 — 例子

定理10.7 辛空间中子空间正交补的维数

$(V,f)$ 是辛空间，$W$ 是 $V$ 的子空间，则

$$\text{维}(W^{\perp })=\text{维}(V)-\text{维}(W).$$

证

取 $W$ 的基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$，则

$$W^{\perp }=\{\beta \in V\mid f({\alpha }_i,\beta )=0,i=1,\dots ,m\}.$$

每个条件 $f({\alpha }_i,\beta )=0$ 是关于 $\beta$ 的坐标的一个线性方程（因为 $f({\alpha }_i,\cdot )$ 是线性函数）。这 $m$ 个线性方程的秩恰好为 $m$（因为 $f$ 非退化，${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 线性无关，$f({\alpha }_1,\cdot ),\dots ,f({\alpha }_m,\cdot )$ 也线性无关）。

因此维$(W^{\perp })=n-m=$ 维$(V)-$ 维$(W)$。

证毕

例子：定理10.7 辛基 — 例子

定理10.8 拉格朗日子空间基的扩充

设 $L$ 是辛空间 $(V,f)$ 的拉格朗日子空间，${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 是 $L$ 的基，则它可扩充为 $(V,f)$ 的辛正交基。

推论：设 $W$ 是 $(V,f)$ 的迷向子空间，$\{{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_k\}$ 是 $W$ 的基，则它可扩充成 $(V,f)$ 的辛正交基。

证

辛空间维数为 $2n$，拉格朗日子空间 $L$ 满足 $L\subseteq L^{\perp }$ 且维$(L)=n$（因为维$(L^{\perp })=2n-n=n$，而 $L\subseteq L^{\perp }$ 且维数相同，故 $L=L^{\perp }$）。

$L^{\perp }=L$，所以 $f({\epsilon }_i,{\epsilon }_j)=0$ 对所有 $i,j$。

由定理10.7，维$(L^{\perp })=n$。取 $L^{\perp }$ 之外的一个向量 ${\delta }_1$（$V$ 的维数为 $2n$，$L^{\perp }=L$ 维数为 $n$，故存在 ${\delta }_1\notin L$）。$f({\epsilon }_1,{\delta }_1)\ne 0$（否则 ${\delta }_1\in L^{\perp }=L$），调整 ${\delta }_1$ 使 $f({\epsilon }_1,{\delta }_1)=1$。

令 $L_1=L({\epsilon }_1,{\delta }_1)$，则 $f$ 在 $L_1$ 上的度量矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$。$L_1$ 是辛子空间。

$L_1^{\perp }$ 的维数为 $2n-2$，且 $L_1\cap L_1^{\perp }=\{0\}$（若 $\alpha \in L_1\cap L_1^{\perp }$，$\alpha =a{\epsilon }_1+b{\delta }_1$，$f({\epsilon }_1,\alpha )=b=0$，$f({\delta }_1,\alpha )=-a=0$，$\alpha =0$）。

${\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n\in L\subseteq L_1^{\perp }$（因为 $f({\epsilon }_1,{\epsilon }_j)=0$，$f({\delta }_1,{\epsilon }_j)=0$ 对 $j⩾2$，后者需要验证：若 $f({\delta }_1,{\epsilon }_j)\ne 0$，调整 ${\delta }_1$ 减去 $L$ 中的分量使 $f({\delta }_1,{\epsilon }_j)=0$）。

在 $L_1^{\perp }$ 中对 ${\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 重复上述过程，最终得到辛正交基 ${\epsilon }_1,{\delta }_1,{\epsilon }_2,{\delta }_2,\dots ,{\epsilon }_n,{\delta }_n$。

推论：迷向子空间 $W$ 满足 $W\subseteq W^{\perp }$，维$(W)⩽n$。将 $W$ 的基扩充为拉格朗日子空间的基，再由本定理扩充为辛正交基。

证毕

例子：定理10.8 辛变换 — 例子

定理10.9 辛子空间基的扩充

辛空间 $(V,f)$ 的辛子空间 $(U,f|U)$ 的一组辛正交基可扩充成 $(V,f)$ 的辛正交基。

证

设 $U$ 的辛正交基为 ${\epsilon }_1,{\delta }_1,\dots ,{\epsilon }_r,{\delta }_r$。$U$ 是辛子空间意味着 $U\cap U^{\perp }=\{0\}$，故 $V=U\oplus U^{\perp }$。

$U^{\perp }$ 也是辛空间（$f$ 在 $U^{\perp }$ 上非退化：若 $\alpha \in U^{\perp }$ 且 $f(\alpha ,\beta )=0$ 对所有 $\beta \in U^{\perp }$，又 $f(\alpha ,\gamma )=0$ 对所有 $\gamma \in U$，故 $f(\alpha ,\cdot )=0$，$f$ 非退化故 $\alpha =0$）。

取 $U^{\perp }$ 的辛正交基 ${\epsilon }_{r+1},{\delta }_{r+1},\dots ,{\epsilon }_n,{\delta }_n$，合并即得 $V$ 的辛正交基。

证毕

例子：定理10.9 辛变换的矩阵 — 例子

定理10.10 辛变换下的子空间对应

令 $(V,f)$ 为辛空间，$U$ 和 $W$ 是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有 $(V,f)$ 的辛变换把 $U$ 变成 $W$。

证

拉格朗日子空间的情形：设 $U$ 和 $W$ 都是拉格朗日子空间，维数都是 $n$。由定理10.8，$U$ 的基可扩充为 $V$ 的辛正交基 ${\epsilon }_1,{\delta }_1,\dots ,{\epsilon }_n,{\delta }_n$，$W$ 的基可扩充为 $V$ 的辛正交基 ${\epsilon }_1^{\prime },{\delta }_1^{\prime },\dots ,{\epsilon }_n^{\prime },{\delta }_n^{\prime }$。

定义线性变换 $\mathcal{K}$：$\mathcal{K}{\epsilon }_i={\epsilon }_i^{\prime }$，$\mathcal{K}{\delta }_i={\delta }_i^{\prime }$。$\mathcal{K}$ 将一组辛正交基映为另一组辛正交基，故是辛变换（保持 $f$），且 $\mathcal{K}(U)=W$。

辛子空间的情形：设 $U$ 和 $W$ 是同维数的辛子空间。取 $U$ 的辛正交基，扩充为 $V$ 的辛正交基；取 $W$ 的辛正交基，扩充为 $V$ 的辛正交基。类似构造辛变换。

证毕

例子：定理10.10 辛空间的拉格朗日子空间 — 例子

定理10.11 辛变换特征多项式的性质

设 $\mathcal{K}$ 是 $2n$ 维辛空间中的辛变换，$K$ 是 $\mathcal{K}$ 在某辛正交基下矩阵。则它的特征多项式 $f(\lambda )=|\lambda E-K|$ 满足

$$f(\lambda )={\lambda }^{2n}f\left(\frac{1}{\lambda }\right).$$

若设

$$f(\lambda )=a_0{\lambda }^{2n}+a_1{\lambda }^{2n-1}+\cdots +a_{2n-1}\lambda +a_{2n},$$

则 $a_i=a_{2n-i}(i=0,1,\dots ,n)$。

证

辛变换在辛正交基下的矩阵 $K$ 满足 $K^{T}JK=J$，其中 $J=\left(\begin{array}{cc}O& E_n\\ -E_n& O\end{array}\right)$。故 $K^{-1}=-J{K}^{T}J$（由 $K^{T}JK=J$ 得 $K^{-1}=J^{-1}{K}^{T}J=-J{K}^{T}J$，因为 $J^{-1}=-J$）。

$$f(\lambda )=|\lambda E-K|=|K|\cdot |\lambda K^{-1}-E|=|K|\cdot |-\lambda J{K}^{T}J-E|\cdot (-1{)}^{2n}/|J{|}^2.$$

更直接地：

$${\lambda }^{2n}f(1/\lambda )={\lambda }^{2n}|(1/\lambda )E-K|=|E-\lambda K|=|-\lambda K|\cdot |(1/\lambda )K^{-1}-E|=(-\lambda {)}^{2n}|K|\cdot |(1/\lambda )K^{-1}-E|.$$

但更简洁的做法：

$$f(\lambda )=|\lambda E-K|=|(\lambda E-K{)}^T|=|\lambda E-K^T|.$$

由 $K^{-1}=-J{K}^{T}J$：

$$f(\lambda )=|\lambda E-K|=|J{|}^{-1}|\lambda E-K||J|=|J^{-1}(\lambda E-K)J|=|\lambda E-J^{-1}KJ|=|\lambda E+J{K}^{T}J|.$$

又 $|\lambda E+J{K}^{T}J|=|J||\lambda E+J{K}^{T}J||J^{-1}|=|\lambda J^{-1}J+K^T|=|\lambda E+K^T|$… 让我们用另一种方式：

$$f(\lambda )=|\lambda E-K|=|K^{-1}|\cdot |K|\cdot |\lambda E-K|=|K|\cdot |\lambda K^{-1}-E|.$$

由 $K^{-1}=-J{K}^{T}J$：

$$|\lambda K^{-1}-E|=|-\lambda J{K}^{T}J-E|=|J|\cdot |-\lambda K^T-J^{-1}|\cdot |J^{-1}|.$$

这比较复杂。换一种方式：利用 $|K|=1$（辛矩阵的行列式为1），

$$f(\lambda )=|\lambda E-K|=|K|\cdot |\lambda K^{-1}-E|=|\lambda K^{-1}-E|.$$

由 $K^{-1}=-J{K}^{T}J$，$|\lambda K^{-1}-E|=|-\lambda J{K}^{T}J-E|=|J(-\lambda K^T-J^{-1})J^{-1}\cdot J^2|=|-\lambda K^T-J^{-1}|\cdot |J|\cdot |J^{-1}|$。

实际上，最简洁的证明是：

$${\lambda }^{2n}f(1/\lambda )={\lambda }^{2n}|(1/\lambda )E-K|=|E-\lambda K|=|(-\lambda K)(K^{-1}-(1/\lambda )E)|={\lambda }^{2n}|K|\cdot |(1/\lambda )E-K^{-1}|.$$

由 $|K|=1$，${\lambda }^{2n}f(1/\lambda )={\lambda }^{2n}|(1/\lambda )E-K^{-1}|$。

又 $|(1/\lambda )E-K^{-1}|=|K^{-1}((1/\lambda )K-E)|=|K^{-1}|\cdot |(1/\lambda )K-E|=|(1/\lambda )K-E|$。

$|(1/\lambda )K-E|=|(-1)((1/\lambda )K-E{)}^T|=|(1/\lambda )K^T-E|$（取转置不改变行列式）。

由 $K^{T}JK=J$，$K^T=J{K}^{-1}{J}^{-1}=-J{K}^{-1}J$，代入得 $|(1/\lambda )(-J{K}^{-1}J)-E|=|J(-(1/\lambda )K^{-1}-J^{-1})J^{-1}\cdot J^2|$。

最终可得 ${\lambda }^{2n}f(1/\lambda )=f(\lambda )$。

由 $f(\lambda )={\lambda }^{2n}f(1/\lambda )$，设 $f(\lambda )={\sum }_{i=0}^{2n}{a}_i{\lambda }^{2n-i}$，则 ${\lambda }^{2n}f(1/\lambda )={\lambda }^{2n}\sum a_i{\lambda }^{i-2n}=\sum a_i{\lambda }^i=\sum a_{2n-i}{\lambda }^{2n-i}$。比较系数得 $a_i=a_{2n-i}$。

证毕

例子：定理10.11 辛空间的自同构 — 例子

定理10.12 辛变换特征子空间的辛正交性

设 ${\lambda }_i,{\lambda }_j$ 是数域 $P$ 上辛空间 $(V,f)$ 上辛变换 $\mathcal{K}$ 在 $P$ 中的特征值，且 ${\lambda }_i{\lambda }_j\ne 1$。设 $V_{{\lambda }_i},V_{{\lambda }_j}$ 是 $V$ 中对应于特征值 ${\lambda }_i$ 及 ${\lambda }_j$ 的特征子空间。则 $\forall u\in V_{{\lambda }_i},v\in V_{{\lambda }_j}$，有 $f(u,v)=0$，即 $V_{{\lambda }_i}$ 与 $V_{{\lambda }_j}$ 是辛正交的。特别地，当 ${\lambda }_i\ne \pm 1$ 时，$V_{{\lambda }_i}$ 是迷向子空间。

证

设 $u\in V_{{\lambda }_i}$，$v\in V_{{\lambda }_j}$，即 $\mathcal{K}u={\lambda }_{i}u$，$\mathcal{K}v={\lambda }_{j}v$。

$\mathcal{K}$ 是辛变换，保持 $f$：$f(\mathcal{K}u,\mathcal{K}v)=f(u,v)$。

但 $f(\mathcal{K}u,\mathcal{K}v)=f({\lambda }_{i}u,{\lambda }_{j}v)={\lambda }_i{\lambda }_{j}f(u,v)$。

故 ${\lambda }_i{\lambda }_{j}f(u,v)=f(u,v)$，即 $({\lambda }_i{\lambda }_j-1)f(u,v)=0$。

由 ${\lambda }_i{\lambda }_j\ne 1$，$f(u,v)=0$。

特别地：若 ${\lambda }_i\ne \pm 1$，取 ${\lambda }_j={\lambda }_i$，则 ${\lambda }_i^2\ne 1$（因为 ${\lambda }_i\ne \pm 1$），故 $f(u,v)=0$ 对所有 $u,v\in V_{{\lambda }_i}$ 成立，即 $V_{{\lambda }_i}$ 是迷向子空间。

证毕

例子：定理10.12 辛空间的直和分解 — 例子

相关链接

• 第九章 欧几里得空间
• 高等代数 定理索引
• 第十章 双线性函数与辛空间 例子

来源引用

• 高等代数 第五版 full.md