第十章 双线性函数与辛空间 例子

第十章 双线性函数与辛空间 — 定理例子

定义10.1 线性函数 — 例子

例1：$f:{\mathbf{R}}^3\to \mathbf{R}$，$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1-x_2+3x_3$ 是线性函数。验证：$f(\alpha +\beta )=2(a_1+b_1)-(a_2+b_2)+3(a_3+b_3)=f(\alpha )+f(\beta )$。

例2：$f(x_1,x_2)=x_1^2$ 不是线性函数：$f(2x_1,2x_2)=4x_1^2\ne 2x_1^2=2f(x_1,x_2)$。

定义：定义10.1 线性函数

定义10.2 对偶空间 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^3$ 的对偶空间 $({\mathbf{R}}^3{)}^{\ast }$ 也是3维的。线性函数 $f(x)=a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3$ 由系数 $(a_1,a_2,a_3)$ 唯一确定，故 $({\mathbf{R}}^3{)}^{\ast }\cong {\mathbf{R}}^3$。

定义：定义10.2 对偶空间

定义10.3 对偶基 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^2$ 的标准基 $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$ 的对偶基为 $f_1(x,y)=x$，$f_2(x,y)=y$。验证：$f_1(e_1)=1,f_1(e_2)=0,f_2(e_1)=0,f_2(e_2)=1$。

定义：定义10.3 对偶基

定义10.4 双线性函数 — 例子

例1：$f:{\mathbf{R}}^2\times {\mathbf{R}}^2\to \mathbf{R}$，$f(\alpha ,\beta )=a_1{b}_1+2a_1{b}_2+a_2{b}_1$。验证双线性性：$f(k{\alpha }_1+l{\alpha }_2,\beta )=(k{a}_{11}+l{a}_{21})b_1+2(k{a}_{11}+l{a}_{21})b_2+(k{a}_{12}+l{a}_{22})b_1=kf({\alpha }_1,\beta )+lf({\alpha }_2,\beta )$。

例2：内积 $(\alpha ,\beta )=\sum a_i{b}_i$ 是对称双线性函数。

定义：定义10.4 双线性函数

定义10.5 度量矩阵 — 例子

例1：$f(\alpha ,\beta )=a_1{b}_1+2a_1{b}_2+a_2{b}_1$ 在标准基下的度量矩阵：$a_{11}=f(e_1,e_1)=1$，$a_{12}=f(e_1,e_2)=2$，$a_{21}=f(e_2,e_1)=1$，$a_{22}=f(e_2,e_2)=0$。故 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right)$。

定义：定义10.5 度量矩阵

定义10.6 对称双线性函数 — 例子

例1：$f(\alpha ,\beta )=a_1{b}_1+a_2{b}_2$ 是对称的：$f(\alpha ,\beta )=f(\beta ,\alpha )$。度量矩阵 $A=E$（对称）。

例2：$f(\alpha ,\beta )=a_1{b}_2$ 不是对称的：$f(\alpha ,\beta )=a_1{b}_2\ne a_2{b}_1=f(\beta ,\alpha )$（一般情况）。

定义：定义10.6 对称双线性函数

定义10.7 反对称双线性函数 — 例子

例1：$f(\alpha ,\beta )=a_1{b}_2-a_2{b}_1$ 是反对称的：$f(\beta ,\alpha )=b_1{a}_2-b_2{a}_1=-(a_1{b}_2-a_2{b}_1)=-f(\alpha ,\beta )$。度量矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$（反对称）。

定义：定义10.7 反对称双线性函数

定义10.8 辛空间 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^2$ 上定义 $\omega (\alpha ,\beta )=a_1{b}_2-a_2{b}_1$。这是非退化反对称双线性函数（$\omega (e_1,e_2)=1\ne 0$），故 $({\mathbf{R}}^2,\omega )$ 是2维辛空间。

定义：定义10.8 辛空间

定义10.9 辛基 — 例子

例1：2维辛空间 $({\mathbf{R}}^2,\omega )$ 中，${\epsilon }_1=(1,0),{\epsilon }_{-1}=(0,1)$ 构成辛基：$\omega ({\epsilon }_1,{\epsilon }_{-1})=1$，$\omega ({\epsilon }_1,{\epsilon }_1)=0$，$\omega ({\epsilon }_{-1},{\epsilon }_{-1})=0$。

定义：定义10.9 辛基

定理10.1 线性函数的存在与唯一性 — 例子

例1：$V={\mathbf{R}}^3$，基 ${\epsilon }_1=(1,0,0)$，${\epsilon }_2=(0,1,0)$，${\epsilon }_3=(0,0,1)$。指定 $f({\epsilon }_1)=1$，$f({\epsilon }_2)=2$，$f({\epsilon }_3)=3$。

则 $f(x,y,z)=x+2y+3z$。验证：$f({\epsilon }_1)=1$ ✓，$f({\epsilon }_2)=2$ ✓，$f({\epsilon }_3)=3$ ✓。

唯一性：若 $g$ 也满足 $g({\epsilon }_i)=a_i$，则 $g(x,y,z)=x+2y+3z=f(x,y,z)$ ✓。

例2：$V=P[x{]}_2$（次数不超过2的多项式），基 $1,x,x^2$。指定 $f(1)=0$，$f(x)=1$，$f(x^2)=0$。

$f(a+bx+c{x}^2)=b$（即取多项式的一次项系数）。

定理：定理10.1 线性函数的存在与唯一性

定理10.2 双线性函数的矩阵表示 — 例子

例1：$V={\mathbf{R}}^2$，基 ${\epsilon }_1=(1,0)$，${\epsilon }_2=(0,1)$，定义 $f(\alpha ,\beta )=x_1{y}_2-x_2{y}_1$（行列式）。

$f({\epsilon }_1,{\epsilon }_1)=0$，$f({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)=1$，$f({\epsilon }_2,{\epsilon }_1)=-1$，$f({\epsilon }_2,{\epsilon }_2)=0$。

矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$。

验证：$f(\alpha ,\beta )=(x_1,x_2)A\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)=(x_1,x_2)\left(\begin{array}{c}{y}_2\\ -y_1\end{array}\right)=x_1{y}_2-x_2{y}_1$ ✓。

例2：$f(\alpha ,\beta )=x_1{y}_1+2x_1{y}_2+2x_2{y}_1+x_2{y}_2$。

$f({\epsilon }_1,{\epsilon }_1)=1$，$f({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)=2$，$f({\epsilon }_2,{\epsilon }_1)=2$，$f({\epsilon }_2,{\epsilon }_2)=1$。

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$（对称矩阵，$f$ 是对称双线性函数）。

定理：定理10.2 对偶空间的维数

定理10.3 双线性函数在不同基下的矩阵 — 例子

例1：$f$ 在标准基下矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$。

换基 ${\eta }_1=(1,1)$，${\eta }_2=(1,-1)$，过渡矩阵 $C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$。

$B=C^{T}AC=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right)$。

验证：$f({\eta }_1,{\eta }_1)=1\cdot 1-1\cdot 1=0$，$f({\eta }_1,{\eta }_2)=1\cdot (-1)-1\cdot 1=-2$，$f({\eta }_2,{\eta }_1)=1\cdot 1-(-1)\cdot 1=2$，$f({\eta }_2,{\eta }_2)=1\cdot (-1)-(-1)\cdot 1=0$。

$B=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right)$ ✓。

定理：定理10.3 对偶基的过渡矩阵

定理10.4 对称双线性函数的规范形 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$，对应二次型 $q(\alpha )=x_1^2+4x_1{x}_2+x_2^2$。

配方：$q=(x_1+2x_2{)}^2-3x_2^2$。令 $y_1=x_1+2x_2$，$y_2=x_2$，$q=y_1^2-3y_2^2$。

规范形对角矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -3\end{array}\right)$，正惯性指数1，负惯性指数1。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$，$q=2x_1^2+2x_1{x}_2+2x_2^2=2(x_1+\frac{1}{2}{x}_2{)}^2+\frac{3}{2}{x}_2^2$。

规范形 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$（正定），正惯性指数2。

定理：定理10.4 二次对偶同构

定理10.5 反对称双线性函数的规范形 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$，已是规范形 $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$，秩 = 2。

例2：$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ -1& 0& 3\\ -2& -3& 0\end{array}\right)$，3阶反对称矩阵，秩必为偶数。$|A|=0(0+9)-1(-3+6)+2(-3-0)=-3-6=-9$… 实际上奇数阶反对称矩阵行列式为0，$|A|=0$，秩 $⩽2$。

$\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right|=1\ne 0$，秩 = 2。规范形含1个 $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ 块和1个零块。

定理：定理10.5 对称双线性函数的对角化

定理10.6 辛空间的维数 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^4$ 上定义辛形式 $\omega$，矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right)$。

这是标准辛矩阵，$A$ 非退化（$|A|=1$），${\mathbf{R}}^4$ 成为辛空间，维数 $4=2\times 2$ ✓。

例2：辛空间的维数必为偶数。${\mathbf{R}}^3$ 不可能成为辛空间（3是奇数）。

定理：定理10.6 反称双线性函数的标准形

定理10.7 辛基 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^4$ 中标准辛基 $e_1,e_2,e_3,e_4$ 满足：

$\omega (e_1,e_2)=1$，$\omega (e_3,e_4)=1$，其余 $\omega (e_i,e_j)=0$（$i\ne j$ 的其他组合）。

具体取 $e_1=(1,0,0,0)$，$e_2=(0,1,0,0)$，$e_3=(0,0,1,0)$，$e_4=(0,0,0,1)$，配合上述辛矩阵 $A$ 即可。

定理：定理10.7 辛空间中子空间正交补的维数

定理10.8 辛变换 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^2$ 上的辛形式 $\omega$ 由 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ 给出。变换 $\mathcal{A}$ 的矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 是辛变换当且仅当 $M^{T}AM=A$。

$\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-c& a\\ -d& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& ad-bc\\ bc-ad& 0\end{array}\right)$。

要等于 $A$，需 $ad-bc=1$，即 $|M|=1$。辛变换 = 行列式为1的2阶矩阵 ✓。

例2：$M=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)$，$|M|=1$，是辛变换。$M^{T}AM=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=A$ ✓。

定理：定理10.8 拉格朗日子空间基的扩充

定理10.9 辛变换的矩阵 — 例子

例1：4维辛空间中辛变换的矩阵 $M$ 满足 $M^{T}JM=J$，其中 $J=\left(\begin{array}{cc}0& E_2\\ -E_2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right)$。

$M=E_4$ 显然满足 $E^{T}JE=J$ ✓。

例2：$M=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$，$M^{T}JM=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -\frac{1}{2}& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right)\ne J$，不是辛变换 ✓。

定理：定理10.9 辛子空间基的扩充

定理10.10 辛空间的拉格朗日子空间 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^4$ 中辛形式如上。$L=\{(x_1,x_2,0,0)\}$ 是2维子空间。

对任意 $\alpha ,\beta \in L$，$\omega (\alpha ,\beta )={\alpha }^{T}A\beta =(x_1,x_2,0,0)A(y_1,y_2,0,0{)}^T=0$（因为 $A$ 的前2列只有第2行第1列为-1，第1行第2列为1，$\omega =x_1{y}_2-x_2{y}_1$… 不为0）。

实际上 $\omega ((x_1,x_2,0,0),(y_1,y_2,0,0))=x_1{y}_2-x_2{y}_1\ne 0$（一般），不是迷向子空间。

取 $L=\{(x_1,0,0,x_4)\}$，$\omega (\alpha ,\beta )=x_1\cdot 0-0\cdot y_1+0\cdot y_4-x_4\cdot 0=0$，是迷向子空间，维数 $2=\frac{4}{2}$，是拉格朗日子空间 ✓。

定理：定理10.10 辛变换下的子空间对应

定理10.11 辛空间的自同构 — 例子

例1：2维辛空间（${\mathbf{R}}^2$，辛形式 $\omega (\alpha ,\beta )=x_1{y}_2-x_2{y}_1$）的自同构群 = $\text{SL}(2,\mathbf{R})$（行列式为1的2阶矩阵）。

$M=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$，$|M|=1$，是辛自同构 ✓。

$M=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$，$|M|=2\ne 1$，不是辛自同构 ✓。

定理：定理10.11 辛变换特征多项式的性质

定理10.12 辛空间的直和分解 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^4$ 辛空间，$V_1=\text{span}\{e_1,e_2\}$，$V_2=\text{span}\{e_3,e_4\}$。

$\omega (e_1,e_3)=0$，$\omega (e_1,e_4)=0$，$\omega (e_2,e_3)=0$，$\omega (e_2,e_4)=0$，$V_1$ 和 $V_2$ 辛正交。

$V=V_1\oplus V_2$，$V_1,V_2$ 都是拉格朗日子空间，互为辛补 ✓。

例2：${\mathbf{R}}^4$ 辛空间，$V_1=\text{span}\{e_1,e_3\}$，$\omega (e_1,e_3)=1\ne 0$，$V_1$ 不是迷向子空间，不能作为直和分解中的辛正交补。

定理：定理10.12 辛变换特征子空间的辛正交性