第十六章 Fourier级数

本章包含Fourier级数相关的重要定理。

§1 Fourier级数

定义 三角级数

形如

$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

的级数称为三角级数，其中 $a_0,a_n,b_n$（$n=1,2,3,\dots$）为常数。

例子：定义 三角级数 — 例子

定义 Fourier系数

设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数，且在 $[-\pi ,\pi ]$ 上可积。令

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x(n=0,1,2,\dots ),$$ $$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x(n=1,2,3,\dots ),$$

则 $a_n,b_n$ 称为 $f(x)$ 的Fourier系数。

例子：定义 Fourier系数 — 例子

定义 Fourier级数

以 $f(x)$ 的 Fourier 系数为系数的三角级数

$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

称为 $f(x)$ 的 Fourier级数，记为

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx).$$

例子：定义 Fourier级数 — 例子

定义 逐段光滑函数

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义。如果 $[a,b]$ 可以分成有限个子区间，使得 $f(x)$ 在每个子区间上连续可微，且在每个分点处 $f(x)$ 的左极限和右极限都存在（在端点 $a,b$ 处分别考虑右极限和左极限），则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上逐段光滑。

例子：定义 逐段光滑函数 — 例子

定义 Fourier级数的均方收敛

设 $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上平方可积，$S_n(x)$ 是 $f(x)$ 的 Fourier 级数的部分和。如果

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x)-S_n(x){|}^2\mathrm{d}x=0,$$

则称 $f(x)$ 的 Fourier 级数均方收敛于 $f(x)$。

例子：定义 Fourier级数的均方收敛 — 例子

定义 一般周期的Fourier级数

设 $f(x)$ 以 $2T$ 为周期，且在 $[-T,T]$ 上可积。令

$$a_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T}^{T}f(x)\cos \frac{n\pi x}{T}\mathrm{d}x(n=0,1,2,\dots ),$$ $$b_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T}^{T}f(x)\sin \frac{n\pi x}{T}\mathrm{d}x(n=1,2,3,\dots ),$$

则 $f(x)$ 的 Fourier 级数为

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{T}+b_n\sin \frac{n\pi x}{T}\right).$$

例子：定义 一般周期的Fourier级数 — 例子

定义 Fourier变换

设 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上绝对可积，则称

$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i\omega x}\mathrm{d}x$$

为 $f(x)$ 的 Fourier变换（或 Fourier积分变换）。

定义 Fourier逆变换

设 $\hat{f}(\omega )$ 是 $f(x)$ 的 Fourier 变换，则称

$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}\mathrm{d}\omega$$

为 Fourier逆变换。

定理 Fourier系数公式

定理陈述：设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，则其Fourier系数为：

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x.$$

例子：定理 Fourier系数公式 — 例子

§2 Fourier级数的收敛性

定理 Riemann引理

定理陈述：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则：

$$\underset{\lambda \to \infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)\sin \lambda x\mathrm{d}x=\underset{\lambda \to \infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)\cos \lambda x\mathrm{d}x=0.$$

定理 Fourier级数收敛定理

定理陈述：设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，若 $f(x)$ 在一个周期内分段连续且分段可导，则其Fourier级数收敛，且在连续点收敛于 $f(x)$，在间断点收敛于 $\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$。

例子：定理 Fourier级数收敛定理 — 例子

定理 Dirichlet引理

定理陈述：设 $f(x)$ 在 $[0,h]$ 上单调，则：

$$\underset{\lambda \to \infty }{\lim }{\int }_0^{h}f(x)\frac{\sin \lambda x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}f(0+).$$

例子：定理 Dirichlet引理 — 例子

§3 Fourier级数的性质

定理 Fourier系数的衰减

定理陈述：若 $f(x)$ 有 $k$ 阶连续导数，则其Fourier系数满足 $a_n,b_n=O(n^{-k-1})$。

例子：定理 Fourier系数的衰减 — 例子

定理 Fourier级数逐项积分

定理陈述：Fourier级数可以逐项积分，积分后的级数收敛于原函数的积分。

例子：定理 Fourier级数逐项积分 — 例子

定理 Fourier级数逐项微分

定理陈述：在适当条件下，Fourier级数可以逐项微分。

例子：定理 Fourier级数逐项微分 — 例子

定理 Fourier级数的平方逼近性质

定理陈述：Fourier级数的部分和是最佳平方逼近多项式。

例子：定理 Fourier级数的平方逼近性质 — 例子

定理 Parseval等式

定理陈述：若 $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上平方可积，则：

$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^2(x)\mathrm{d}x=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2).$$

例子：定理 Parseval等式 — 例子

定理 Weierstrass第二逼近定理

定理陈述：设 $f(x)$ 是闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数，则对任意给定的 $\epsilon >0$，存在三角多项式 $T(x)$，使得 $|f(x)-T(x)|<\epsilon$ 对一切 $x\in [a,b]$ 成立。

例子：定理 Weierstrass第二逼近定理 — 例子

定理 等周不等式

定理陈述：在周长相等的所有平面闭曲线中，圆所围的面积最大。

例子：定理 等周不等式 — 例子

§4 Fourier变换

定理 Fourier积分收敛定理

定理陈述：设 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上绝对可积，若 $f(x)$ 在点 $x$ 处满足Dirichlet条件，则Fourier积分收敛于 $\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$。

例子：定理 Fourier积分收敛定理 — 例子

定理 卷积的Fourier变换

定理陈述：设 $f,g$ 的Fourier变换分别为 $\hat{f},\hat{g}$，则卷积 $f\ast g$ 的Fourier变换为 $\hat{f}\cdot \hat{g}$。

例子：定理 卷积的Fourier变换 — 例子

定理 Parseval等式（Fourier变换）

定理陈述：设 $f$ 的Fourier变换为 $\hat{f}$，则：

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(x){|}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|\hat{f}(\omega ){|}^2\mathrm{d}\omega .$$

例子：定理 Parseval等式（Fourier变换） — 例子

相关链接

• 数学分析 定理索引
• 第十五章 含参变量积分
• 第一章 集合与映射

来源引用

• [数学分析 陈纪修 第三版 下](raw/数学分析 陈纪修 第三版 下/full.md)