第十二章 多元函数的微分学

本章包含多元函数微分学相关的重要定理。

§1 偏导数

定义12.1.1 偏导数

设函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。如果极限

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

存在且有限，则称此极限值为 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处关于 $x$ 的偏导数，记为 $f_x(x_0,y_0)$ 或 $\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}$。类似定义关于 $y$ 的偏导数 $f_y(x_0,y_0)$。

例子：定义12.1.1 偏导数 — 例子

定义12.1.2 可微（多元）

设函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。如果存在常数 $A,B$，使得

$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o\left(\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}\right),$$

则称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，$A\Delta x+B\Delta y$ 称为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的全微分，记为

$$\mathrm{d}f=A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y=f_x(x_0,y_0)\mathrm{d}x+f_y(x_0,y_0)\mathrm{d}y.$$

例子：定义12.1.2 可微（多元） — 例子

定义12.1.3 高阶偏导数

设 $f(x,y)$ 的偏导数 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ 仍可对 $x$ 或 $y$ 求偏导，则称其为 $f$ 的二阶偏导数，记为

$$f_{xx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},f_{xy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x},f_{yx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},f_{yy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}.$$

其中 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 称为混合偏导数。类似可定义更高阶的偏导数。

例子：定义12.1.3 高阶偏导数 — 例子

定义12.1.4 向量值函数的导数（Jacobi矩阵）

设 $\mathbf{f}:{\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^m$，$\mathbf{f}=(f_1,f_2,\dots ,f_m{)}^T$。若每个分量 $f_i$ 在 ${\mathbf{x}}_0$ 处可微，则称矩阵

$$J_{\mathbf{f}}({\mathbf{x}}_0)={\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right)}_{{\mathbf{x}}_0}$$

为 $\mathbf{f}$ 在 ${\mathbf{x}}_0$ 处的 Jacobi矩阵（或导数），其行列式称为 Jacobi行列式。

例子：定义12.1.4 向量值函数的导数（Jacobi矩阵） — 例子

定义12.2.1 方向导数

设函数 $f(\mathbf{x})$ 在 ${\mathbf{x}}_0$ 的某个邻域内有定义，$\mathbf{l}$ 是一非零向量，${\mathbf{e}}_l$ 是 $\mathbf{l}$ 方向的单位向量。如果极限

$$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f({\mathbf{x}}_0+t{\mathbf{e}}_l)-f({\mathbf{x}}_0)}{t}$$

存在，则称此极限值为 $f$ 在 ${\mathbf{x}}_0$ 处沿方向 $\mathbf{l}$ 的方向导数，记为 $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}{|}_{{\mathbf{x}}_0}$。

例子：定义12.2.1 方向导数 — 例子

定义12.2.2 梯度

设 $f(\mathbf{x})$ 在 ${\mathbf{x}}_0$ 处可微，则称向量

$$\nabla f({\mathbf{x}}_0)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right){|}_{{\mathbf{x}}_0}$$

为 $f$ 在 ${\mathbf{x}}_0$ 处的梯度。

例子：定义12.2.2 梯度 — 例子

定义12.3.1 极值（多元）

设 $f(\mathbf{x})$ 在 ${\mathbf{x}}_0$ 的某个邻域内有定义。若对该邻域中一切 $\mathbf{x}$，成立 $f(\mathbf{x})⩽f({\mathbf{x}}_0)$（或 $f(\mathbf{x})⩾f({\mathbf{x}}_0)$），则称 $f({\mathbf{x}}_0)$ 为 $f$ 的一个极大值（或极小值），${\mathbf{x}}_0$ 称为极值点。

例子：定义12.3.1 极值（多元） — 例子

定义12.4.1 隐函数

设 $F(x,y)$ 在区域 $D$ 上有定义。若方程 $F(x,y)=0$ 在某条件下确定了一个函数 $y=y(x)$，使得 $F(x,y(x))=0$，则称 $y=y(x)$ 为由方程 $F(x,y)=0$ 所确定的隐函数。

例子：定义12.4.1 隐函数 — 例子

定理12.1.1 偏导数与连续性

定理陈述：多元函数在某点存在偏导数，不能保证函数在该点连续。

证明：

核心想法：举反例。偏导数只控制沿坐标轴方向的行为，不控制其他方向。

第1步：构造反例：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

第2步：计算偏导数。$f_x(0,0)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0$。同理 $f_y(0,0)=0$。偏导数存在。

第3步：但沿 $y=kx$ 趋于原点时，$f(x,kx)=\frac{k{x}^2}{x^2+k^2{x}^2}=\frac{k}{1+k^2}$，极限依赖于 $k$，所以 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ 不存在，$f$ 在 $(0,0)$ 不连续。

证毕

意义：偏导数存在是比连续性更弱的条件，这与一元函数中”可导 $\Rightarrow$ 连续”形成鲜明对比。

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例子：定理12.1.1 偏导数与连续性 — 例子

定理12.1.2 混合偏导数相等

定理陈述：若 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续，则 $f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$。

证明：

核心想法：考虑二阶差商 $I=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0)$，用两种方式计算它，分别得到 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 的近似。

第1步：令 $I(h,k)=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0)$。

第2步：方式一——先对 $y$ 用微分中值定理。令 $\phi (y)=f(x_0+h,y)-f(x_0,y)$，则 $I=\phi (y_0+k)-\phi (y_0)$。

由Lagrange中值定理，$I=k{\phi }^{\prime }(y_0+{\theta }_{1}k)=k[f_y(x_0+h,y_0+{\theta }_{1}k)-f_y(x_0,y_0+{\theta }_{1}k)]$。

再对 $x$ 用中值定理：$I=kh{f}_{yx}(x_0+{\theta }_{2}h,y_0+{\theta }_{1}k)$。

第3步：方式二——先对 $x$ 用中值定理。令 $\psi (x)=f(x,y_0+k)-f(x,y_0)$，则 $I=\psi (x_0+h)-\psi (x_0)$。

类似地，$I=kh{f}_{xy}(x_0+{\theta }_{3}h,y_0+{\theta }_{4}k)$。

第4步：两种方式结果相等：$f_{yx}(x_0+{\theta }_{2}h,y_0+{\theta }_{1}k)=f_{xy}(x_0+{\theta }_{3}h,y_0+{\theta }_{4}k)$。

第5步：令 $h,k\to 0$，由 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 的连续性，$f_{yx}(x_0,y_0)=f_{xy}(x_0,y_0)$。

证毕

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例子：定理12.1.2 混合偏导数相等 — 例子

§2 全微分

定理12.2.1 可微的必要条件

定理陈述：若函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，则 $f$ 在该点连续，且偏导数存在。

证明：

核心想法：可微意味着 $\Delta f=f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\rho )$，令 $\Delta x,\Delta y\to 0$ 得连续性；分别令 $\Delta y=0$ 和 $\Delta x=0$ 得偏导数存在。

第1步：可微的定义是：$\Delta f=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$，其中 $\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$。

第2步（连续性）：令 $(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$，则 $\rho \to 0$，$A\Delta x+B\Delta y\to 0$，$o(\rho )\to 0$，所以 $\Delta f\to 0$，$f$ 连续。

第3步（偏导数存在）：令 $\Delta y=0$，$\rho =|\Delta x|$：

$$f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+o(|\Delta x|).$$ $$\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=A+\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}\to A.$$

所以 $f_x(x_0,y_0)=A$。同理 $f_y(x_0,y_0)=B$。

证毕

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例子：定理12.2.1 可微的必要条件 — 例子

定理12.2.2 可微的充分条件

定理陈述：若函数 $f(x,y)$ 的偏导数在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内存在且在该点连续，则 $f$ 在该点可微。

证明：

核心想法：将 $\Delta f$ 拆成两步变化，每步用一元微分中值定理。

第1步：$\Delta f=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$

$=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]$.

第2步：第一个方括号对 $x$ 用Lagrange中值定理：

$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)=f_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)\Delta x$.

第二个方括号对 $y$ 用中值定理：

$f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0+{\theta }_2\Delta y)\Delta y$.

第3步：由偏导数连续：

$f_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)+{\alpha }_1$，其中 ${\alpha }_1\to 0$（当 $\rho \to 0$）。

$f_y(x_0,y_0+{\theta }_2\Delta y)=f_y(x_0,y_0)+{\alpha }_2$，其中 ${\alpha }_2\to 0$。

第4步：

$$\Delta f=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+{\alpha }_1\Delta x+{\alpha }_2\Delta y.$$

第5步：$|{\alpha }_1\Delta x+{\alpha }_2\Delta y|⩽(|{\alpha }_1|+|{\alpha }_2|)\rho =o(\rho )$（因为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2\to 0$）。

所以 $\Delta f=f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\rho )$，$f$ 可微。

证毕

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例子：定理12.2.2 可微的充分条件 — 例子

§3 复合函数求导

定理12.3.1 链式法则

定理陈述：设 $z=f(u,v)$，$u=\phi (x,y)$，$v=\psi (x,y)$，若 $f$ 可微，$\phi ,\psi$ 有偏导数，则：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}.$$

证明：

核心想法：$f$ 可微，所以 $\Delta z=f_u\Delta u+f_v\Delta v+o(\rho )$，两边除以 $\Delta x$ 取极限。

第1步：给 $x$ 一个增量 $\Delta x$（$y$ 不变），则 $u,v$ 有增量 $\Delta u=\phi (x+\Delta x,y)-\phi (x,y)$，$\Delta v=\psi (x+\Delta x,y)-\psi (x,y)$。

第2步：因为 $f$ 可微：

$$\Delta z=f_u(u,v)\Delta u+f_v(u,v)\Delta v+o\left(\sqrt{(\Delta u{)}^2+(\Delta v{)}^2}\right).$$

第3步：两边除以 $\Delta x$：

$$\frac{\Delta z}{\Delta x}=f_u\frac{\Delta u}{\Delta x}+f_v\frac{\Delta v}{\Delta x}+\frac{o\left(\sqrt{(\Delta u{)}^2+(\Delta v{)}^2}\right)}{\Delta x}.$$

第4步：令 $\Delta x\to 0$。因为 $\phi ,\psi$ 有偏导数，$\frac{\Delta u}{\Delta x}\to \frac{\partial u}{\partial x}$，$\frac{\Delta v}{\Delta x}\to \frac{\partial v}{\partial x}$，$\Delta u\to 0$，$\Delta v\to 0$。

第5步：$\frac{o\left(\sqrt{(\Delta u{)}^2+(\Delta v{)}^2}\right)}{\Delta x}=\frac{o\left(\sqrt{(\Delta u{)}^2+(\Delta v{)}^2}\right)}{\sqrt{(\Delta u{)}^2+(\Delta v{)}^2}}\cdot \frac{\sqrt{(\Delta u{)}^2+(\Delta v{)}^2}}{\Delta x}\to 0\cdot \sqrt{{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)}^2}=0$.

第6步：所以 $\frac{\partial z}{\partial x}=f_u\frac{\partial u}{\partial x}+f_v\frac{\partial v}{\partial x}$。

证毕

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例子：定理12.3.1 链式法则 — 例子

§4 方向导数与梯度

定理12.4.1 方向导数与梯度的关系

定理陈述：若 $f$ 在点 $P$ 可微，则 $f$ 在点 $P$ 沿方向 $\vec{l}$ 的方向导数为：

$$\frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f\cdot {\vec{l}}^0=|\nabla f|\cos \theta .$$

证明：

核心想法：方向导数是沿射线 $P+t{\vec{l}}^0$ 的变化率，用链式法则计算。

第1步：设 ${\vec{l}}^0=(\cos \alpha ,\cos \beta )$（单位向量），则沿 $\vec{l}$ 方向的参数曲线为 $x=x_0+t\cos \alpha$，$y=y_0+t\cos \beta$。

第2步：方向导数定义为：

$$\frac{\partial f}{\partial l}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}.$$

第3步：令 $g(t)=f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )$。由链式法则（定理12.3.1）：

$$g^{\prime }(0)=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta =\nabla f\cdot {\vec{l}}^0.$$

第4步：由内积公式，$\nabla f\cdot {\vec{l}}^0=|\nabla f||{\vec{l}}^0|\cos \theta =|\nabla f|\cos \theta$，其中 $\theta$ 是 $\nabla f$ 与 $\vec{l}$ 的夹角。

证毕

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例子：定理12.4.1 方向导数与梯度的关系 — 例子

定理12.4.2 梯度的几何意义

定理陈述：梯度方向是函数值增长最快的方向，梯度模是函数在该方向的变化率。

证明：

核心想法：由定理12.4.1，$\frac{\partial f}{\partial l}=|\nabla f|\cos \theta$，当 $\theta =0$ 时取最大值。

第1步：由定理12.4.1，方向导数 $\frac{\partial f}{\partial l}=|\nabla f|\cos \theta$，其中 $\theta$ 是梯度方向与 $\vec{l}$ 方向的夹角。

第2步：$-1⩽\cos \theta ⩽1$，所以 $\frac{\partial f}{\partial l}⩽|\nabla f|$。

第3步：等号成立当且仅当 $\cos \theta =1$，即 $\theta =0$，$\vec{l}$ 与 $\nabla f$ 同向。

所以梯度方向是增长最快的方向，最大变化率为 $|\nabla f|$。

证毕

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例子：定理12.4.2 梯度的几何意义 — 例子

§5 Taylor公式

定理12.5.1 多元函数的Taylor公式

定理陈述：设 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有 $n+1$ 阶连续偏导数，则在该邻域内：

$$f(x_0+h,y_0+k)=\sum _{m=0}^n\frac{1}{m!}{\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{m}f(x_0,y_0)+R_n,$$

其中 $R_n=\frac{1}{(n+1)!}{\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)$（$0<\theta <1$）。

证明：

核心想法：令 $g(t)=f(x_0+th,y_0+tk)$，化为一元函数的Taylor公式。

第1步：定义 $g(t)=f(x_0+th,y_0+tk)$，$t\in [0,1]$。则 $g(0)=f(x_0,y_0)$，$g(1)=f(x_0+h,y_0+k)$。

第2步：由链式法则，$g^{\prime }(t)=f_x\cdot h+f_y\cdot k=\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)f$。

$g^{\prime \prime }(t)={\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}f$，一般地 $g^{(m)}(t)={\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{m}f$。

第3步：对 $g(t)$ 在 $t=0$ 处用一元Taylor公式（定理5.3.2）：

$$g(1)=\sum _{m=0}^n\frac{g^{(m)}(0)}{m!}+\frac{g^{(n+1)}(\theta )}{(n+1)!},0<\theta <1.$$

第4步：代入 $g^{(m)}(0)={\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{m}f{|}_{(x_0,y_0)}$，$g^{(n+1)}(\theta )={\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{n+1}f{|}_{(x_0+\theta h,y_0+\theta k)}$，即得结论。

证毕

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例子：定理12.5.1 多元函数的Taylor公式 — 例子

§6 隐函数存在定理

定理12.6.1 一个方程的情形

定理陈述：设 $F(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有连续偏导数，且 $F(x_0,y_0)=0$，$F_y(x_0,y_0)\ne 0$，则存在唯一的隐函数 $y=f(x)$，满足 $F(x,f(x))=0$，且 $f^{\prime }(x)=-\frac{F_x}{F_y}$。

证明：

核心想法：不妨设 $F_y(x_0,y_0)>0$。由连续性，$F_y$ 在附近为正，$F$ 关于 $y$ 严格递增。用介值定理对每个 $x$ 附近确定唯一的 $y$。

第1步：不妨设 $F_y(x_0,y_0)>0$。由 $F_y$ 连续，存在 ${\delta }_1,{\delta }_2>0$，在 $[x_0-{\delta }_1,x_0+{\delta }_1]\times [y_0-{\delta }_2,y_0+{\delta }_2]$ 上 $F_y>0$。

第2步：$F$ 关于 $y$ 严格递增。$F(x_0,y_0)=0$，所以 $F(x_0,y_0-{\delta }_2)<0<F(x_0,y_0+{\delta }_2)$。

第3步：由 $F$ 连续，存在 $\delta ⩽{\delta }_1$，当 $|x-x_0|⩽\delta$ 时 $F(x,y_0-{\delta }_2)<0<F(x,y_0+{\delta }_2)$。

第4步：对每个 $x\in [x_0-\delta ,x_0+\delta ]$，$F(x,\cdot )$ 从负到正严格递增，由介值定理，存在唯一的 $y=f(x)\in (y_0-{\delta }_2,y_0+{\delta }_2)$ 使得 $F(x,f(x))=0$。

第5步（连续性）：设 $x_n\to x$，$f(x_n)=y_n$。$\{y_n\}$ 有界，若 $y_n\to y$ 的某子列，由 $F$ 连续，$F(x,y)=0$。由唯一性，$y=f(x)$。所以 $f$ 连续。

第6步（可微性）：给 $x$ 增量 $\Delta x$，$y=f(x)$ 有增量 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$。$F(x+\Delta x,y+\Delta y)=0=F(x,y)$。

由 $F$ 可微：$0=F_x\Delta x+F_y\Delta y+o(\rho )$。除以 $\Delta x$ 取极限：$0=F_x+F_y{f}^{\prime }(x)$，所以 $f^{\prime }(x)=-\frac{F_x}{F_y}$。

证毕

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例子：定理12.6.1 一个方程的情形 — 例子

定理12.6.2 方程组的情形

定理陈述：设 $F(x,y,u,v)$ 和 $G(x,y,u,v)$ 在点 $(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某邻域内有连续偏导数，$F(x_0,y_0,u_0,v_0)=G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$，且Jacobi行列式 $J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}{|}_{(x_0,y_0,u_0,v_0)}\ne 0$，则存在唯一的隐函数组 $u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$。

证明：

核心想法：与一个方程情形类似，$J\ne 0$ 保证可以解出 $u,v$。用迭代法或压缩映射原理。

第1步：$J=\left|\begin{array}{cc}{F}_u& F_v\\ G_u& G_v\end{array}\right|=F_u{G}_v-F_v{G}_u\ne 0$ 在 $(x_0,y_0,u_0,v_0)$。

第2步：不妨设 $F_u\ne 0$（若 $F_u=0$ 则 $F_v{G}_u\ne 0$，可交换讨论）。由定理12.6.1，从 $F(x,y,u,v)=0$ 可解出 $u=\phi (x,y,v)$。

第3步：代入 $G$：$G(x,y,\phi (x,y,v),v)=0$。验证 $\frac{\partial }{\partial v}G(x,y,\phi ,v)=G_u{\phi }_v+G_v$。

由隐函数求导，${\phi }_v=-\frac{F_v}{F_u}$，所以 $\frac{\partial G}{\partial v}=G_u\cdot \left(-\frac{F_v}{F_u}\right)+G_v=\frac{-G_u{F}_v+G_v{F}_u}{F_u}=\frac{J}{F_u}\ne 0$。

第4步：再由定理12.6.1，从 $G(x,y,\phi (x,y,v),v)=0$ 可解出 $v=v(x,y)$。然后 $u=\phi (x,y,v(x,y))=u(x,y)$。

证毕

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例子：定理12.6.2 方程组的情形 — 例子

§7 极值问题

定理12.7.1 极值的必要条件

定理陈述：若 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 有极值且偏导数存在，则 $f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$。

证明：

核心想法：极值点处，沿每个坐标轴方向都是一元函数的极值点。

第1步：设 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 取极值。令 $g(x)=f(x,y_0)$，则 $g$ 在 $x_0$ 取极值。

第2步：$g^{\prime }(x_0)=f_x(x_0,y_0)$。由一元函数极值的必要条件（Fermat引理），$g^{\prime }(x_0)=0$，即 $f_x(x_0,y_0)=0$。

第3步：同理令 $h(y)=f(x_0,y)$，得 $f_y(x_0,y_0)=0$。

证毕

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例子：定理12.7.1 极值的必要条件 — 例子

定理12.7.2 极值的充分条件

定理陈述：设 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有二阶连续偏导数，且 $f_x=f_y=0$。记 $A=f_{xx}$，$B=f_{xy}$，$C=f_{yy}$，$D=AC-B^2$，则：

1. 若 $D>0$ 且 $A>0$，则 $(x_0,y_0)$ 是极小值点
2. 若 $D>0$ 且 $A<0$，则 $(x_0,y_0)$ 是极大值点
3. 若 $D<0$，则 $(x_0,y_0)$ 不是极值点

证明：

核心想法：用Taylor公式展开到二阶，分析二次型的正定性。

第1步：由Taylor公式（定理12.5.1），在驻点处一阶项为零：

$$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=\frac{1}{2}(A{h}^2+2Bhk+C{k}^2)+o(h^2+k^2).$$

第2步：二次型 $Q(h,k)=A{h}^2+2Bhk+C{k}^2$ 的正定性由 $D=AC-B^2$ 和 $A$ 决定。

第3步：$Q=A{\left(h+\frac{B}{A}k\right)}^2+\frac{D}{A}{k}^2$（$A\ne 0$ 时配方）。

第4步：若 $D>0$ 且 $A>0$：$Q=A{\left(h+\frac{B}{A}k\right)}^2+\frac{D}{A}{k}^2>0$（$(h,k)\ne (0,0)$ 时），所以 $Q$ 正定，$f(x_0+h,y_0+k)>f(x_0,y_0)$（$h,k$ 足够小时），极小值。

第5步：若 $D>0$ 且 $A<0$：$Q<0$（$(h,k)\ne (0,0)$ 时），$Q$ 负定，极大值。

第6步：若 $D<0$：取 $k=0$，$Q=A{h}^2$；取 $h=-\frac{B}{A}k$，$Q=\frac{D}{A}{k}^2$。两者异号（$D<0$ 保证），所以 $Q$ 不定，在 $(x_0,y_0)$ 附近 $f$ 可增可减，不是极值。

证毕

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例子：定理12.7.2 极值的充分条件 — 例子

定理12.7.3 条件极值（Lagrange乘数法）

定理陈述：在约束条件 $\phi (x,y)=0$ 下求 $f(x,y)$ 的极值，若 $(x_0,y_0)$ 是条件极值点且 $\nabla \phi (x_0,y_0)\ne 0$，则存在 $\lambda$ 使得 $\nabla f(x_0,y_0)+\lambda \nabla \phi (x_0,y_0)=0$。

证明：

核心想法：在约束曲线上，$f$ 的极值点处 $f$ 的梯度必须与约束曲线正交，即 $\nabla f$ 平行于 $\nabla \phi$。

第1步：设 ${\phi }_y(x_0,y_0)\ne 0$（否则 ${\phi }_x\ne 0$，类似处理）。由隐函数定理，约束条件确定 $y=y(x)$。

第2步：令 $g(x)=f(x,y(x))$。$(x_0,y_0)$ 是条件极值点，所以 $g^{\prime }(x_0)=0$。

第3步：由链式法则：$g^{\prime }(x_0)=f_x+f_y\cdot y^{\prime }(x_0)=0$。

第4步：对 $\phi (x,y(x))=0$ 求导：${\phi }_x+{\phi }_y\cdot y^{\prime }(x_0)=0$，所以 $y^{\prime }(x_0)=-\frac{{\phi }_x}{{\phi }_y}$。

第5步：代入：$f_x-f_y\cdot \frac{{\phi }_x}{{\phi }_y}=0$，即 $\frac{f_x}{{\phi }_x}=\frac{f_y}{{\phi }_y}$。

第6步：令这个比值为 $-\lambda$，则 $f_x+\lambda {\phi }_x=0$，$f_y+\lambda {\phi }_y=0$，即 $\nabla f+\lambda \nabla \phi =0$。

证毕

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例子：定理12.7.3 条件极值（Lagrange乘数法） — 例子

相关链接

• 数学分析 定理索引
• 第十一章 Euclid空间上的极限和连续
• 第十三章 重积分

来源引用

• [数学分析 陈纪修 第三版 下](raw/数学分析 陈纪修 第三版 下/full.md)