第十二章 多元函数的微分学 — 例子

定义 偏导数 — 例子

例1：$f(x,y)=x^{2}y+y^3$，$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy$，$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+3y^2$。

例2：$f(x,y)=e^{xy}$，$f_x=y{e}^{xy}$，$f_y=x{e}^{xy}$。

定义：定义 偏导数

定义 可微（多元） — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$ 在 $(1,1)$ 可微：$\Delta f=(1+h{)}^2+(1+k{)}^2-2=2h+2k+h^2+k^2$，线性部分 $2h+2k$，余项 $h^2+k^2=o(\sqrt{h^2+k^2})$。

例2：$f(x,y)=\sqrt{|xy|}$ 在 $(0,0)$ 处偏导数存在（$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$），但不可微：$\frac{f(h,h)-f(0,0)-0}{\sqrt{h^2+h^2}}=\frac{|h|}{\sqrt{2}|h|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ne 0$。

定义：定义 可微（多元）

定义 高阶偏导数 — 例子

例1：$f(x,y)=x^3{y}^2$，$f_{xx}=6x{y}^2$，$f_{xy}=6x^{2}y$，$f_{yx}=6x^{2}y$，$f_{yy}=2x^3$。注意 $f_{xy}=f_{yx}$（混合偏导数相等）。

定义：定义 高阶偏导数

定义 向量值函数的导数（Jacobi矩阵） — 例子

例1：$F(x,y)=(x^2+y^2,xy)$，Jacobi矩阵 $J=\left(\begin{array}{cc}2x& 2y\\ y& x\end{array}\right)$。在 $(1,2)$ 处，$J=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 2& 1\end{array}\right)$。

定义：定义 向量值函数的导数（Jacobi矩阵）

定义 方向导数 — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$ 在 $(1,0)$ 沿方向 $l=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ 的方向导数：$\frac{\partial f}{\partial l}=2\cdot 1\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+2\cdot 0\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

定义：定义 方向导数

定义 梯度 — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$，$\nabla f=(2x,2y)$。在 $(1,1)$ 处 $\nabla f=(2,2)$，方向导数最大值为 $|\nabla f|=2\sqrt{2}$（梯度方向是增长最快方向）。

定义：定义 梯度

定义 极值（多元） — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$ 在 $(0,0)$ 有极小值0（$f(x,y)⩾0=f(0,0)$）。

例2：$f(x,y)=x^2-y^2$ 在 $(0,0)$ 无极值（鞍点：沿 $x$ 轴为极小，沿 $y$ 轴为极大）。

定义：定义 极值（多元）

定义 隐函数 — 例子

例1：$x^2+y^2=1$ 在 $(0,1)$ 附近确定隐函数 $y=\sqrt{1-x^2}$（$F_y=2y=2\ne 0$，满足隐函数定理条件）。

定义：定义 隐函数

定理 偏导数与连续性 — 例子

例1：偏导数存在推不出连续：$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2}& (x,y)\ne (0,0)\\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$，$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，但 $f$ 在 $(0,0)$ 不连续。

定理：定理 偏导数与连续性

定理 混合偏导数相等 — 例子

例1：$f(x,y)=x^3{y}^2$，$f_{xy}=6x^{2}y=f_{yx}$（连续混合偏导数相等）。

例2：$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}& (x,y)\ne (0,0)\\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$，$f_{xy}(0,0)=-1\ne 1=f_{yx}(0,0)$（混合偏导数不连续时不一定相等）。

定理：定理 混合偏导数相等

定理 可微的必要条件 — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$ 可微，则偏导数 $f_x=2x$，$f_y=2y$ 存在（必要条件）。

例2：$f(x,y)=|x|+|y|$ 在 $(0,0)$ 偏导数不存在，故不可微。

定理：定理 可微的必要条件

定理 可微的充分条件 — 例子

例1：$f(x,y)=x^{2}y+y^3$，$f_x=2xy$，$f_y=x^2+3y^2$ 连续，故 $f$ 处处可微（充分条件）。

定理：定理 可微的充分条件

定理 链式法则 — 例子

例1：$z=e^{xy}$，$x=t^2$，$y=\sin t$，则 $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot 2t+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \cos t=y{e}^{xy}\cdot 2t+x{e}^{xy}\cdot \cos t$（链式法则）。

定理：定理 链式法则

定理 方向导数与梯度的关系 — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$，$\nabla f(1,1)=(2,2)$。沿 $l=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ 方向导数 $=\nabla f\cdot l=2\sqrt{2}$（最大方向导数，方向导数与梯度的关系）。

定理：定理 方向导数与梯度的关系

定理 梯度的几何意义 — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$，等值线 $x^2+y^2=c$ 是圆，梯度 $\nabla f=(2x,2y)$ 指向外法线方向（远离原点），即增长最快方向。

定理：定理 梯度的几何意义

定理 多元函数的Taylor公式 — 例子

例1：$f(x,y)=e^x\sin y$ 在 $(0,0)$ 处二阶Taylor展开：$f\approx y+xy+\frac{1}{2}{x}^{2}y-\frac{1}{6}{y}^3+\cdots$

定理：定理 多元函数的Taylor公式

定理 一个方程的情形 — 例子

例1：$x^2+y^2=1$，$F(x,y)=x^2+y^2-1$，$F_y=2y\ne 0$（$y\ne 0$），$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{x}{y}$（隐函数求导）。

定理：定理 一个方程的情形

定理 方程组的情形 — 例子

例1：$\{\begin{array}{l}x+y+u+v=1\\ x^2+y^2+u^2+v^2=2\end{array}$，在适当条件下可确定 $u,v$ 为 $x,y$ 的函数。

定理：定理 方程组的情形

定理 极值的必要条件 — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$，$\nabla f=(2x,2y)=0\Rightarrow (x,y)=(0,0)$，驻点为 $(0,0)$（极值必要条件）。

定理：定理 极值的必要条件

定理 极值的充分条件 — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$，$A=f_{xx}=2$，$B=f_{xy}=0$，$C=f_{yy}=2$，$AC-B^2=4>0$，$A>0$，故 $(0,0)$ 是极小值点（充分条件）。

例2：$f(x,y)=x^2-y^2$，$A=2$，$B=0$，$C=-2$，$AC-B^2=-4<0$，$(0,0)$ 是鞍点（充分条件判定非极值）。

定理：定理 极值的充分条件

定理 条件极值（Lagrange乘数法） — 例子

例1：求 $f(x,y)=xy$ 在 $x+y=1$ 下的极值。设 $L=xy+\lambda (1-x-y)$（Lagrange乘数法），$\frac{\partial L}{\partial x}=y-\lambda =0$，$\frac{\partial L}{\partial y}=x-\lambda =0$，得 $x=y=\frac{1}{2}$，极大值 $\frac{1}{4}$。

定理：定理 条件极值（Lagrange乘数法）