第十三章 重积分

本章包含重积分相关的重要定理。

§1 重积分的概念

定义13.1.1 二重积分

设 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数。将 $D$ 任意分成 $n$ 个小区域 $\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,\dots ,\Delta {\sigma }_n$（$\Delta {\sigma }_i$ 同时也表示其面积），在每个小区域 $\Delta {\sigma }_i$ 上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，作和

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i.$$

如果当各小区域直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，此和的极限存在且与分割及 $({\xi }_i,{\eta }_i)$ 的取法无关，则称 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积，此极限值称为 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的二重积分，记为

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i.$$

例子：定义13.1.1 二重积分 — 例子

定义13.1.2 三重积分

设 $f(x,y,z)$ 是有界闭区域 $\Omega$ 上的有界函数。类似二重积分，将 $\Omega$ 分割、取点、求和、取极限，若极限存在，则称 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上可积，此极限值称为 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上的三重积分，记为

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)\mathrm{d}V.$$

例子：定义13.1.2 三重积分 — 例子

定义13.2.1 有界集的Jordan测度

设 $D$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的有界集。如果 $D$ 的边界 $\partial D$ 的 $n$ 维Jordan测度为零（即 $\partial D$ 可被体积之和任意小的有限个长方体覆盖），则称 $D$ 是 Jordan可测的，其Jordan测度即为 $D$ 的体积（或面积）。

例子：定义13.2.1 有界集的Jordan测度 — 例子

定理13.1.1 重积分的存在性

定理陈述：若函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则 $f$ 在 $D$ 上可积。

证明：

核心想法：连续函数在有界闭区域上一致连续，所以当分割足够细时，每个小区域上函数的振幅可以任意小，Darboux上和与下和之差趋于零。

第1步：设 $f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续。由定理11.2.6，$f$ 在 $D$ 上一致连续：对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $d(P,Q)<\delta$ 时 $|f(P)-f(Q)|<\frac{\epsilon }{|D|}$（$|D|$ 为 $D$ 的面积）。

第2步：对 $D$ 作分割 $T$，使每个小区域 $D_i$ 的直径 $\mathrm{diam}(D_i)<\delta$。

第3步：在每个 $D_i$ 上，$f$ 的振幅 ${\omega }_i={\sup }_{D_i}f-{\inf }_{D_i}f⩽\frac{\epsilon }{|D|}$（因为 $D_i$ 的直径 $<\delta$，任意两点的函数值差 $<\frac{\epsilon }{|D|}$）。

第4步：Darboux上和与下和之差：

$$S(T)-s(T)=\sum _i{\omega }_i|D_i|⩽\frac{\epsilon }{|D|}\sum _i|D_i|=\epsilon .$$

第5步：由Darboux判别法，$f$ 在 $D$ 上可积。

证毕

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例子：定理13.1.1 重积分的存在性 — 例子

定理13.1.2 重积分的性质

定理陈述：重积分满足线性性、区域可加性、单调性等基本性质。

证明：

核心想法：这些性质都可以从Riemann和的相应性质取极限得到。

线性性：$(af+bg)$ 的Riemann和 $=a\sum f({\xi }_i)|D_i|+b\sum g({\xi }_i)|D_i|$，取极限得 ${\int }_D(af+bg)=a{\int }_{D}f+b{\int }_{D}g$。

区域可加性：设 $D=D_1\cup D_2$，$D_1\cap D_2$ 面积为零。对 $D$ 的分割限制在 $D_1,D_2$ 上分别是 $D_1,D_2$ 的分割。Riemann和拆成两部分，取极限得 ${\int }_{D}f={\int }_{D_1}f+{\int }_{D_2}f$。

单调性：若 $f⩽g$，则Riemann和 $\sum f({\xi }_i)|D_i|⩽\sum g({\xi }_i)|D_i|$，取极限得 ${\int }_{D}f⩽{\int }_{D}g$。

估值性质：由单调性，$m|D|⩽{\int }_{D}f⩽M|D|$（$m,M$ 为 $f$ 的最小、最大值）。

积分中值定理：$f$ 连续，由介值定理，存在 $(\xi ,\eta )\in D$ 使得 ${\int }_{D}f=f(\xi ,\eta )|D|$。

证毕

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例子：定理13.1.2 重积分的性质 — 例子

§2 二重积分的计算

定理13.2.1 化二重积分为累次积分

定理陈述：设 $f(x,y)$ 在矩形区域 $[a,b]\times [c,d]$ 上可积，若对每个 $x$，$f(x,y)$ 作为 $y$ 的函数在 $[c,d]$ 上可积，则：

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y.$$

证明：

核心想法：对 $[a,b]$ 和 $[c,d]$ 分别作分割，将二重Riemann和写成先对 $y$ 再对 $x$ 求和的形式。

第1步：对 $[a,b]$ 作分割 $a=x_0<x_1<\cdots <x_m=b$，对 $[c,d]$ 作分割 $c=y_0<y_1<\cdots <y_n=d$。得到矩形网格 ${\Delta }_{ij}=[x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_j]$。

第2步：二重积分的Riemann和为 ${\sum }_{i,j}f({\xi }_i,{\eta }_j)\Delta x_i\Delta y_j$。

第3步：重新排列求和顺序：

$$\sum _{i,j}f({\xi }_i,{\eta }_j)\Delta x_i\Delta y_j=\sum _i\left(\sum _{j}f({\xi }_i,{\eta }_j)\Delta y_j\right)\Delta x_i.$$

第4步：内层和 ${\sum }_{j}f({\xi }_i,{\eta }_j)\Delta y_j$ 是 ${\int }_c^{d}f({\xi }_i,y)\mathrm{d}y$ 的Riemann和。令 $I(x)={\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y$。

第5步：外层和 ${\sum }_{i}I({\xi }_i)\Delta x_i$ 是 ${\int }_a^{b}I(x)\mathrm{d}x$ 的Riemann和。

第6步：当分割趋于零时，二重Riemann和趋于二重积分，累次Riemann和趋于累次积分，两者相等。

证毕

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例子：定理13.2.1 化二重积分为累次积分 — 例子

定理13.2.2 极坐标变换

定理陈述：在极坐标变换 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ 下：

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta .$$

证明：

核心想法：这是重积分换元公式（定理13.5.1）的特例。计算Jacobi行列式 $J=r$。

第1步：极坐标变换为 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$。

第2步：计算Jacobi矩阵：

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right).$$

第3步：Jacobi行列式：

$$J=\cos \theta \cdot r\cos \theta -(-r\sin \theta )\sin \theta =r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta =r.$$

第4步：由定理13.5.1，$|J|=r$，所以 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，代入即得。

证毕

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例子：定理13.2.2 极坐标变换 — 例子

§3 三重积分

定理13.3.1 三重积分的计算

定理陈述：三重积分可以化为累次积分计算。

证明：

核心想法：与二重积分类似，对三个变量分别作分割，重新排列求和顺序。

第1步：设 $f(x,y,z)$ 在长方体 $[a,b]\times [c,d]\times [e,g]$ 上可积。

第2步：对三个区间分别作分割，三重Riemann和为 ${\sum }_{i,j,k}f({\xi }_i,{\eta }_j,{\zeta }_k)\Delta x_i\Delta y_j\Delta z_k$。

第3步：重新排列：

$$\sum _i\left[\sum _j\left(\sum _{k}f({\xi }_i,{\eta }_j,{\zeta }_k)\Delta z_k\right)\Delta y_j\right]\Delta x_i.$$

第4步：取极限得：

$${\iiint }_{V}f\mathrm{d}V={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_e^{g}f(x,y,z)\mathrm{d}z.$$

证毕

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例子：定理13.3.1 三重积分的计算 — 例子

定理13.3.2 柱坐标变换

定理陈述：在柱坐标变换 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z$ 下，体积元素为 $r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$。

证明：

核心想法：计算Jacobi行列式。

第1步：柱坐标变换 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，$z=z$。

第2步：Jacobi矩阵：

$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -r\sin \theta & 0\\ \sin \theta & r\cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

第3步：按第三行展开：$J=1\cdot (r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta )=r$。

第4步：体积元素 $\mathrm{d}V=|J|\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$。

证毕

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例子：定理13.3.2 柱坐标变换 — 例子

定理13.3.3 球坐标变换

定理陈述：在球坐标变换 $x=r\sin \phi \cos \theta ,y=r\sin \phi \sin \theta ,z=r\cos \phi$ 下，体积元素为 $r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$。

证明：

核心想法：计算Jacobi行列式。

第1步：球坐标变换 $x=r\sin \phi \cos \theta$，$y=r\sin \phi \sin \theta$，$z=r\cos \phi$。

第2步：计算 $\frac{\partial x}{\partial r}=\sin \phi \cos \theta$，$\frac{\partial x}{\partial \phi }=r\cos \phi \cos \theta$，$\frac{\partial x}{\partial \theta }=-r\sin \phi \sin \theta$。

$\frac{\partial y}{\partial r}=\sin \phi \sin \theta$，$\frac{\partial y}{\partial \phi }=r\cos \phi \sin \theta$，$\frac{\partial y}{\partial \theta }=r\sin \phi \cos \theta$。

$\frac{\partial z}{\partial r}=\cos \phi$，$\frac{\partial z}{\partial \phi }=-r\sin \phi$，$\frac{\partial z}{\partial \theta }=0$。

第3步：按第三行展开Jacobi行列式：

$$J=\cos \phi \cdot \left|\begin{array}{cc}r\cos \phi \cos \theta & -r\sin \phi \sin \theta \\ r\cos \phi \sin \theta & r\sin \phi \cos \theta \end{array}\right|-(-r\sin \phi )\cdot \left|\begin{array}{cc}\sin \phi \cos \theta & -r\sin \phi \sin \theta \\ \sin \phi \sin \theta & r\sin \phi \cos \theta \end{array}\right|.$$

第4步：第一个行列式 $=r^2\cos \phi \sin \phi {\cos }^2\theta +r^2\cos \phi \sin \phi {\sin }^2\theta =r^2\cos \phi \sin \phi$。

第二个行列式 $=r{\sin }^2\phi {\cos }^2\theta +r{\sin }^2\phi {\sin }^2\theta =r{\sin }^2\phi$。

第5步：$J=\cos \phi \cdot r^2\cos \phi \sin \phi +r\sin \phi \cdot r{\sin }^2\phi =r^2\sin \phi ({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )=r^2\sin \phi$。

第6步：体积元素 $\mathrm{d}V=|J|\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta =r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$。

证毕

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例子：定理13.3.3 球坐标变换 — 例子

§4 重积分的应用

定理13.4.1 曲面面积公式

定理陈述：设曲面方程为 $z=f(x,y)$，$(x,y)\in D$，$f$ 有连续偏导数，则曲面面积为：

$$S={\iint }_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

证明：

核心想法：将 $D$ 分割成小区域 $\Delta D_i$，每个小区域对应曲面上一个小片，用切平面近似，小片面积 $\approx \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\Delta {\sigma }_i$。

第1步：在 $(x_i,y_i)\in \Delta D_i$ 处，曲面的切平面方程为 $z-z_i=f_x(x_i,y_i)(x-x_i)+f_y(x_i,y_i)(y-y_i)$。

第2步：切平面的法向量为 $\vec{n}=(-f_x,-f_y,1)$，$|\vec{n}|=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$。

第3步：切平面上对应 $\Delta D_i$ 的小片面积 $\Delta S_i$ 与 $\Delta D_i$ 的面积 $|\Delta D_i|$ 的关系为：$\Delta D_i$ 是 $\Delta S_i$ 在 $xy$-平面上的投影，投影面积 $=\Delta S_i\cdot \frac{1}{|\vec{n}|}$（面积等于原面积乘以法向量与 $z$ 轴夹角余弦）。

所以 $\Delta S_i=|\Delta D_i|\cdot \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$。

第4步：曲面面积 $S=\lim \sum \Delta S_i={\iint }_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

证毕

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例子：定理13.4.1 曲面面积公式 — 例子

§5 重积分换元法

定理13.5.1 重积分换元公式

定理陈述：设变换 $T:(u,v)\to (x,y)$ 将区域 $D^{\prime }$ 一一映射到 $D$，$f$ 在 $D$ 上连续，$T$ 有连续偏导数且Jacobi行列式 $J\ne 0$，则：

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D^{\prime }}f(x(u,v),y(u,v))|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v.$$

其中 $J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ 是Jacobi行列式。

证明：

核心想法：在 $(u_0,v_0)$ 附近，变换 $T$ 近似为线性变换（由微分近似），小矩形 $\Delta u\times \Delta v$ 被映射为小平行四边形，面积放大 $|J|$ 倍。

第1步：对 $D^{\prime }$ 作矩形分割，取小矩形 $[u_0,u_0+\Delta u]\times [v_0,v_0+\Delta v]$。

第2步：变换 $T$ 在 $(u_0,v_0)$ 处的线性近似为：

$$\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\Delta u\\ \Delta v\end{array}\right).$$

第3步：这个线性映射将矩形 $\Delta u\times \Delta v$ 映为以 $(x_u\Delta u,y_u\Delta u)$ 和 $(x_v\Delta v,y_v\Delta v)$ 为边的平行四边形，其面积为：

$$\left|\det \left(\begin{array}{cc}{x}_u\Delta u& x_v\Delta v\\ y_u\Delta u& y_v\Delta v\end{array}\right)\right|=|J|\Delta u\Delta v.$$

第4步：所以 $\Delta {\sigma }_{xy}\approx |J|\Delta {\sigma }_{uv}$，即 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$。

第5步：Riemann和 $\sum f(x_i,y_i)\Delta {\sigma }_i\approx \sum f(x(u_i,v_i),y(u_i,v_i))|J(u_i,v_i)|\Delta u_i\Delta v_i$。

取极限即得换元公式。

证毕

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例子：定理13.5.1 重积分换元公式 — 例子

相关链接

• 数学分析 定理索引
• 第十二章 多元函数的微分学
• 第十四章 曲线积分、曲面积分与场论

来源引用

• [数学分析 陈纪修 第三版 下](raw/数学分析 陈纪修 第三版 下/full.md)