第一章 集合与映射 — 例子

定义1.1.1 可列集 — 例子

例1：正整数集 ${\mathbf{N}}^{+}=\{1,2,3,\dots \}$ 本身就是可列集（与自身一一对应）。

例2：整数集 $\mathbf{Z}$ 是可列集：可排列为 $0,1,-1,2,-2,3,-3,\dots$，与 ${\mathbf{N}}^{+}$ 一一对应。

例3：有理数集 $\mathbf{Q}$ 是可列集（可按某种方式排列）。但实数集 $\mathbf{R}$ 不是可列集（Cantor对角线法证明）。

定义：定义1.1.1 可列集

定义1.2.1 绝对值 — 例子

例1：$|3|=3$，$|-3|=-(-3)=3$，$|0|=0$。

例2：$|x-2|<3$ 等价于 $-3<x-2<3$，即 $-1<x<5$。

定义：定义1.2.1 绝对值

定义1.2.7 算术平均值、几何平均值与调和平均值 — 例子

例1：取 $a_1=1,a_2=4$。AM $=\frac{1+4}{2}=2.5$，GM $=\sqrt{1\times 4}=2$，HM $=\frac{2}{\frac{1}{1}+\frac{1}{4}}=\frac{2}{\frac{5}{4}}=1.6$。满足 $\text{HM}⩽\text{GM}⩽\text{AM}$：$1.6⩽2⩽2.5$。

例2：取 $a_1=a_2=a_3=2$。AM $=\text{GM}=\text{HM}=2$（等号在所有数相等时成立）。

定义：定义1.2.7 算术平均值、几何平均值与调和平均值

定理1.1.1 可列个可列集之并也是可列集 — 例子

例1：设 $A_n=\{n,n^2,n^3,\dots \}$（$n=1,2,3,\dots$），每个 $A_n$ 都是可列集。由定理，${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n$ 也是可列集。

例2：设 $A_n=\{n\cdot k\mid k\in {\mathbf{N}}^{+}\}$（$n$ 的正整数倍构成的集合），每个 $A_n$ 可列，则 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n={\mathbf{N}}^{+}$ 也是可列集。

定理：定理1.1.1 可列个可列集之并也是可列集

定理1.1.2 有理数集 $\mathbf{Q}$ 是可列集 — 例子

例1：$(0,1]$ 中的有理数可排列为 $\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},\dots$（按分母从小到大排列既约分数）。

例2：虽然 $\mathbf{Q}$ 是可列集，但 $(0,1)$ 中的无理数不是可列集——若可列，则 $(0,1)=\mathbf{Q}\cap (0,1)\cup \text{无理数}\cap (0,1)$ 为至多可列集，矛盾。

定理：[[第一章 集合与映射#定理1.1.2 有理数集 $\mathbf{Q}$ 是可列集]]

定理1.2.1 三角不等式 — 例子

例1：取 $a=3,b=-4$。$|a+b|=|3+(-4)|=1$，$|a|+|b|=3+4=7$，$||a|-|b||=|3-4|=1$。验证：$1⩽1⩽7$ ✓

例2：取 $a=5,b=3$。$|a+b|=8$，$|a|+|b|=8$，$||a|-|b||=2$。验证：$2⩽8⩽8$ ✓（等号在 $a,b$ 同号时取到右边）

例3：利用三角不等式估计 $|x^2-4|$ 当 $|x-2|<0.1$ 时：$|x^2-4|=|(x-2)(x+2)|=|x-2|\cdot |x+2|<0.1\cdot |x+2|$。又 $|x+2|=|(x-2)+4|⩽|x-2|+4<4.1$，故 $|x^2-4|<0.41$。

定理：定理1.2.1 三角不等式

定理1.2.2 平均值不等式 — 例子

例1：取 $a_1=1,a_2=2,a_3=3$。AM $=\frac{1+2+3}{3}=2$，GM $=\sqrt[3]{1\times 2\times 3}=\sqrt[3]{6}\approx 1.817$，HM $=\frac{3}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{3}{\frac{11}{6}}=\frac{18}{11}\approx 1.636$。验证 $\text{HM}⩽\text{GM}⩽\text{AM}$：$1.636⩽1.817⩽2$ ✓

例2：证明 $\sqrt[n]{n!}⩽\frac{n+1}{2}$。对 $1,2,\dots ,n$ 应用 AM ≥ GM：$\frac{1+2+\cdots +n}{n}⩾\sqrt[n]{n!}$，即 $\frac{n+1}{2}⩾\sqrt[n]{n!}$。

例3：取 $a_1=a_2=\cdots =a_n=c$（$c>0$）。AM $=\text{GM}=\text{HM}=c$，等号成立。

定理：定理1.2.2 平均值不等式