第六章 线性空间 例子

第六章 线性空间 — 定理例子

定义6.1 线性空间 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^n$ 在通常的向量加法和数乘下构成 $\mathbf{R}$ 上的线性空间。

例2：$P[x{]}_n$（次数不超过 $n$ 的多项式全体）在多项式加法和数乘下构成 $P$ 上的线性空间。但次数等于 $n$ 的多项式全体不构成线性空间（对加法不封闭：$x^n+(-x^n)=0$ 不是 $n$ 次多项式）。

例3：$M_{m\times n}(P)$（$m\times n$ 矩阵全体）在矩阵加法和数乘下构成 $P$ 上的线性空间。

定义：定义6.1 线性空间

定义6.2 维数与基 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^3$ 的维数为3，标准基为 $e_1=(1,0,0)$，$e_2=(0,1,0)$，$e_3=(0,0,1)$。

例2：$P[x{]}_2$（次数不超过2的多项式全体）的维数为3，一组基为 $1,x,x^2$。

例3：$\{0\}$ 是0维线性空间，没有基（空集是其基）。

定义：定义6.2 维数与基

定义6.3 坐标 — 例子

例1：在 ${\mathbf{R}}^3$ 的标准基下，向量 $(2,3,-1)$ 的坐标就是 $(2,3,-1)$。

例2：在 $P[x{]}_2$ 的基 $1,x,x^2$ 下，$f(x)=3+2x-x^2$ 的坐标为 $(3,2,-1)$。

定义：定义6.3 坐标

定义6.4 过渡矩阵 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^2$ 中，从标准基 $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$ 到基 ${\eta }_1=(1,1),{\eta }_2=(1,-1)$ 的过渡矩阵：${\eta }_1=e_1+e_2$，${\eta }_2=e_1-e_2$，故 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$。

例2：过渡矩阵必可逆。上例中 $|A|=-2\ne 0$。

定义：定义6.4 过渡矩阵

定义6.5 子空间 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^3$ 中，$xy$-平面 $W=\{(x,y,0)\mid x,y\in \mathbf{R}\}$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 的子空间。

例2：$\{0\}$ 和 $V$ 本身是任何线性空间 $V$ 的子空间（平凡子空间）。

例3：$W=\{(x,y)\mid x+y=1\}$ 不是 ${\mathbf{R}}^2$ 的子空间（不含零向量 $(0,0)$）。

定义：定义6.5 子空间

定义6.6 生成子空间 — 例子

例1：$L((1,0,0),(0,1,0))=\{(x,y,0)\mid x,y\in \mathbf{R}\}$，即 ${\mathbf{R}}^3$ 中的 $xy$-平面。

例2：$L((1,1))=\{k(1,1)\mid k\in \mathbf{R}\}=\{(k,k)\mid k\in \mathbf{R}\}$，是 ${\mathbf{R}}^2$ 中过原点的直线 $y=x$。

定义：定义6.6 生成子空间

定义6.7 子空间的交与和 — 例子

例1：$V_1=\{(x,y,0)\}$，$V_2=\{(0,y,z)\}$。$V_1\cap V_2=\{(0,y,0)\}$（$y$ 轴），$V_1+V_2=\{(x,y,z)\}={\mathbf{R}}^3$。

例2：$V_1=L(e_1)$，$V_2=L(e_2)$。$V_1+V_2=L(e_1,e_2)$。

定义：定义6.7 子空间的交与和

定义6.8 直和 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^3=V_1\oplus V_2$，其中 $V_1=\{(x,y,0)\}$，$V_2=\{(0,0,z)\}$。每个向量 $(x,y,z)=(x,y,0)+(0,0,z)$ 分解唯一。

例2：$V_1=L((1,0))$，$V_2=L((0,1))$，$V_1+V_2={\mathbf{R}}^2$ 是直和。但若 $V_1=L((1,0))$，$V_2=L((1,1))$，则 $V_1+V_2={\mathbf{R}}^2$ 也是直和（$V_1\cap V_2=\{0\}$）。

定义：定义6.8 直和

定义6.9 同构 — 例子

例1：$\sigma :{\mathbf{R}}^3\to P[x{]}_2$，$\sigma (a,b,c)=a+bx+c{x}^2$ 是同构映射。

例2：数域 $P$ 上所有 $n$ 维线性空间都同构于 $P^n$。同构保持维数：若 $V\cong V^{\prime }$，则 $\dim V=\dim V^{\prime }$。

定义：定义6.9 同构

定理6.1 线性空间的维数 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^3$ 中 ${\epsilon }_1=(1,0,0)$，${\epsilon }_2=(0,1,0)$，${\epsilon }_3=(0,0,1)$ 线性无关且生成 ${\mathbf{R}}^3$，故 ${\mathbf{R}}^3$ 是3维的。

例2：$P[x{]}_3$（次数不超过3的多项式空间）中 $1,x,x^2,x^3$ 线性无关且生成 $P[x{]}_3$，维数为4。

定理：定理6.1 线性空间的维数

定理6.2 子空间的判定 — 例子

例1：$V={\mathbf{R}}^3$，$W=\{(x,y,0)\mid x,y\in \mathbf{R}\}$。$W$ 非空，对加法封闭（$(x_1,y_1,0)+(x_2,y_2,0)=(x_1+x_2,y_1+y_2,0)\in W$），对数乘封闭（$k(x,y,0)=(kx,ky,0)\in W$），故 $W$ 是子空间。

例2：$V={\mathbf{R}}^2$，$W=\{(x,y)\mid x+y=1\}$。$W$ 非空但 $(0,1)\in W$，$2(0,1)=(0,2)\notin W$（$0+2=2\ne 1$），对数乘不封闭，不是子空间。

定理：定理6.2 子空间的判定

定理6.3 生成子空间 — 例子

例1：${\alpha }_1=(1,0)$，${\alpha }_2=(0,1)$，${\alpha }_3=(1,1)$。$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)={\mathbf{R}}^2=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$。$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}$ 与 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\}$ 等价（互相线性表出），生成相同子空间。

例2：${\alpha }_1=(1,2,3)$，${\alpha }_2=(2,4,6)$。秩为1，$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)$ 的维数为1。

定理：定理6.3 生成子空间

定理6.4 基的扩充 — 例子

例1：$V={\mathbf{R}}^3$，$W=\{(x,y,0)\}$，$W$ 的基 ${\alpha }_1=(1,0,0)$，${\alpha }_2=(0,1,0)$。扩充：取 ${\alpha }_3=(0,0,1)\notin W$，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 是 $V$ 的基。

例2：$V={\mathbf{R}}^3$，$W=\{(x,x,x)\}$，基 ${\alpha }_1=(1,1,1)$。扩充：取 ${\alpha }_2=(1,0,0)$（线性无关），再取 ${\alpha }_3=(0,1,0)$，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 是 $V$ 的基。

定理：定理6.4 基的扩充

定理6.5 子空间的交 — 例子

例1：$V={\mathbf{R}}^3$，$V_1=\{(x,y,0)\}$，$V_2=\{(0,y,z)\}$。

$V_1\cap V_2=\{(0,y,0)\}$，是 $y$ 轴，是子空间 ✓。

例2：$V_1=\{(x,x,z)\}$，$V_2=\{(x,y,y)\}$。$V_1\cap V_2=\{(x,x,x)\}$（$x=y$ 且 $z=y$），1维子空间。

定理：定理6.5 子空间的交

定理6.6 子空间的和 — 例子

例1：$V={\mathbf{R}}^3$，$V_1=\{(x,0,0)\}$，$V_2=\{(0,y,0)\}$。$V_1+V_2=\{(x,y,0)\}$，是子空间 ✓。

例2：$V_1=\{(x,x,0)\}$，$V_2=\{(0,y,y)\}$。$V_1+V_2$：$(x,x,0)+(0,y,y)=(x,x+y,y)$。任意 $(a,b,c)$ 可表为 $(a,a,0)+(0,b-a,b-a)$… 需 $c=b-a$，故 $V_1+V_2=\{(a,b,c)\mid c=b-a\}$，2维子空间。

定理：定理6.6 子空间的和

定理6.7 维数公式 — 例子

例1：$V={\mathbf{R}}^3$，$V_1=\{(x,y,0)\}$（维2），$V_2=\{(0,y,z)\}$（维2）。

$V_1\cap V_2=\{(0,y,0)\}$（维1），$V_1+V_2={\mathbf{R}}^3$（维3）。

维$(V_1)+$ 维$(V_2)=4$，维$(V_1+V_2)+$ 维$(V_1\cap V_2)=3+1=4$ ✓。

例2：$V_1=\{(x,0,0)\}$（维1），$V_2=\{(0,y,0)\}$（维1），$V_1\cap V_2=\{0\}$（维0），$V_1+V_2=\{(x,y,0)\}$（维2）。$1+1=2+0$ ✓。

定理：定理6.7 维数公式

定理6.8 直和的充要条件 — 例子

例1：$V={\mathbf{R}}^3$，$V_1=\{(x,0,0)\}$，$V_2=\{(0,y,z)\}$。

$V_1\cap V_2=\{0\}$，故 $V_1+V_2$ 是直和 ✓。$V_1\oplus V_2={\mathbf{R}}^3$。

例2：$V_1=\{(x,x,0)\}$，$V_2=\{(y,y,0)\}$。$V_1\cap V_2=V_1=V_2\ne \{0\}$，不是直和。

定理：定理6.8 直和的充要条件（两个子空间）

定理6.9 直和的维数条件 — 例子

例1：$V_1=\{(x,0,0)\}$（维1），$V_2=\{(0,y,z)\}$（维2），$V_1+V_2={\mathbf{R}}^3$（维3）。维$(V_1)+$ 维$(V_2)=3=$ 维$(V_1+V_2)$，直和 ✓。

例2：$V_1=\{(x,y,0)\}$（维2），$V_2=\{(0,y,z)\}$（维2），$V_1+V_2={\mathbf{R}}^3$（维3）。$2+2=4\ne 3$，不是直和 ✓。

定理：定理6.9 直和的维数条件

定理6.10 子空间的补空间 — 例子

例1：$V={\mathbf{R}}^3$，$U=\{(x,y,0)\}$（维2）。$U$ 的基 $(1,0,0),(0,1,0)$，扩充为 $V$ 的基 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$。$W=L((0,0,1))=\{(0,0,z)\}$，$V=U\oplus W$ ✓。

例2：$U=\{(x,x,x)\}$（维1），补空间 $W=\{(a,b,c)\mid a+b+c=0\}$（维2），$V=U\oplus W$。

定理：定理6.10 子空间的补空间

定理6.11 多个子空间直和的等价条件 — 例子

例1：$V={\mathbf{R}}^3$，$V_1=\{(x,0,0)\}$，$V_2=\{(0,y,0)\}$，$V_3=\{(0,0,z)\}$。

零向量表法唯一（$0=0+0+0$），$V_i\cap {\sum }_{j\ne i}{V}_j=\{0\}$，维$(V_1+V_2+V_3)=3=1+1+1$，四个条件都满足，$V=V_1\oplus V_2\oplus V_3$ ✓。

例2：$V_1=\{(x,0,0)\}$，$V_2=\{(0,y,0)\}$，$V_3=\{(a,b,0)\}$。$V_3\cap (V_1+V_2)=V_3\ne \{0\}$，不是直和。

定理：定理6.11 多个子空间直和的等价条件

定理6.12 线性空间同构的充要条件 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^3$ 与 $P[x{]}_3$（次数不超过3的多项式空间）都是4维的，同构。同构映射：$(a,b,c,d)\mapsto a+bx+c{x}^2+d{x}^3$。

例2：${\mathbf{R}}^2$ 与 ${\mathbf{R}}^3$ 维数不同，不同构。若存在同构 $\sigma :{\mathbf{R}}^2\to {\mathbf{R}}^3$，则 $\sigma ({\epsilon }_1),\sigma ({\epsilon }_2)$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 的基，但2个向量不能生成3维空间，矛盾。

定理：定理6.12 线性空间同构的充要条件