第八章 λ-矩阵 — 定理例子
定义 λ-矩阵 — 例子
例1：A(λ)=(λ+1λ2λ−23) 是2阶 λ-矩阵。
例2：特征矩阵 λE−A=(λ−20−1λ−3)（其中 A=(2013)）是 λ-矩阵。
定义：定义 λ-矩阵
定义 λ-矩阵的初等变换 — 例子
例1：A(λ)=(λ1λ2λ+1)，第2行加上第1行的 (−λ) 倍：(λ1−λ2λ2λ+1−λ3)。
例2：与数字矩阵的初等变换不同，λ-矩阵的第3种初等变换允许乘以多项式 φ(λ)，但不能用 φ(λ) 乘某行（列）（那不是初等变换，而是第3种：某行加另一行的 φ(λ) 倍）。
定义：定义 λ-矩阵的初等变换
定义 λ-矩阵等价 — 例子
例1：(λ01λ) 与 (100λ2) 等价（可通过初等变换互化，它们有相同的不变因子 1,λ2）。
定义：定义 λ-矩阵等价
定义 行列式因子 — 例子
例1：A(λ)=(λ−20−1λ−3)。1阶子式有 λ−2,−1,0,λ−3，最大公因式 D1(λ)=1。2阶子式只有 ∣A(λ)∣=(λ−2)(λ−3)，D2(λ)=(λ−2)(λ−3)。
定义：定义 行列式因子
定义 不变因子 — 例子
例1：上例中，d1(λ)=D1=1，d2(λ)=D2/D1=(λ−2)(λ−3)。验证 d1∣d2：1∣(λ−2)(λ−3)，成立。
例2：A(λ)=(100λ2(λ−1))，D1=1，D2=λ2(λ−1)，d1=1，d2=λ2(λ−1)。
定义：定义 不变因子
定义 初等因子 — 例子
例1：不变因子 d1=1，d2=(λ−1)2(λ−2)。初等因子为 (λ−1)2 和 (λ−2)。
例2：不变因子 d1=λ−1，d2=(λ−1)(λ−2)2。d1 的初等因子：λ−1；d2 的初等因子：λ−1，(λ−2)2。全部初等因子：λ−1，λ−1，(λ−2)2（λ−1 出现两次）。
定义：定义 初等因子
定义 最小多项式（λ-矩阵视角） — 例子
例1：A=(2012)，λE−A 的不变因子为 1,(λ−2)2，最后一个不变因子 d2=(λ−2)2 就是 A 的最小多项式。
例2：A=(2003)，不变因子为 1,(λ−2)(λ−3)，最小多项式 m(λ)=(λ−2)(λ−3)。
定义：定义 最小多项式（λ-矩阵视角）
定理 λ-矩阵的初等变换 — 例子
例1：A(λ)=(λ01λ)，交换第1、2行得 (0λλ1)，第1行乘 λ 得 (λ20λλ)，第1行加 λ 倍第2行得 (λ01+λ2λ)。
例2：A(λ)=(λ−100λ−2) 已是对角形，D1(λ)=1，D2(λ)=(λ−1)(λ−2)。
定理：定理 λ-矩阵可逆的充要条件
定理 λ-矩阵的等价标准形 — 例子
例1：A(λ)=(λ01λ)。
做初等变换：第2列减 λ 倍第1列 → (λ01−λ2λ)… 更直接的方法：
交换第1、2列 → (1λλ0)，第2列减 λ 倍第1列 → (1λ0−λ2)，第2行减 λ 倍第1行 → (100−λ2)，第2行乘 −1 → (100λ2)。
标准形 (100λ2)，不变因子 d1(λ)=1，d2(λ)=λ2。
例2：A(λ)=(λ−100λ−2) 已是标准形，d1=λ−1，d2=λ−2… 不对，需满足 d1∣d2。gcd(λ−1,λ−2)=1，故 d1=1，d2=(λ−1)(λ−2)。标准形 (100(λ−1)(λ−2))。
定理：定理 λ-矩阵的标准形（Smith标准形）
定理 行列式因子 — 例子
例1：A(λ)=(λ01λ)。
1阶子式：λ,1,0,λ，D1(λ)=gcd(λ,1,0,λ)=1。
2阶子式：λ2，D2(λ)=λ2。
d1=D1=1，d2=D1D2=λ2 ✓。
例2：A(λ)=(λ−100λ−2)。
D1=gcd(λ−1,λ−2)=1，D2=(λ−1)(λ−2)。
定理：定理 等价λ-矩阵的不变量
定理 不变因子 — 例子
例1：A=(2012) 的特征矩阵 λE−A=(λ−20−1λ−2)。
D1=gcd(λ−2,−1,0,λ−2)=1，D2=(λ−2)2。
d1=1，d2=(λ−2)2。
例2：A=(3002)，λE−A=(λ−300λ−2)。
D1=1，D2=(λ−3)(λ−2)，d1=1，d2=(λ−3)(λ−2)。
定理：定理 λ-矩阵标准形的唯一性
定理 初等因子 — 例子
例1：A=(2012)，不变因子 d1=1，d2=(λ−2)2。
初等因子：(λ−2)2（从 d2 分解，d1=1 无贡献）。
例2：A=(100010002)，λE−A 的不变因子 d1=1，d2=λ−1，d3=(λ−1)(λ−2)。
初等因子：λ−1（来自 d2），λ−1，λ−2（来自 d3）。初等因子组 {λ−1,λ−1,λ−2}。
定理：定理 λ-矩阵等价的充要条件
定理 矩阵相似的充要条件 — 例子
例1：A=(2012)，B=(2032)。
λE−A 的不变因子：d1=1，d2=(λ−2)2。
λE−B：(λ−20−3λ−2)，D1=1，D2=(λ−2)2，d1=1，d2=(λ−2)2。
不变因子相同，A∼B ✓。
例2：A=(2012)，B=(2002)。
A 的不变因子 d2=(λ−2)2，B 的 λE−B=(λ−200λ−2)，D1=λ−2，D2=(λ−2)2，d1=λ−2，d2=λ−2。
不变因子不同（A 的 d1=1=λ−2），A 与 B 不相似 ✓。
定理：定理 可逆λ-矩阵与初等矩阵
定理 若尔当标准形的存在性 — 例子
例1：A=(2012)，初等因子 (λ−2)2，若尔当块 J1=(2012)。A 已是若尔当标准形。
例2：A=(000100010)，特征值 λ=0（3重），初等因子 λ3，若尔当块 (000100010)。A 已是若尔当标准形。
例3：A 的初等因子为 (λ−1)2 和 λ−2，若尔当标准形为 (100110002)。
定理：定理 矩阵相似的充要条件（特征矩阵等价）
定理 若尔当标准形的唯一性 — 例子
例1：A 的初等因子 (λ−3)(λ−2)，若尔当标准形 (3002)，唯一（不计块顺序）。
例2：初等因子 (λ−1)2,λ−1，若尔当标准形 (100110001)，唯一。
定理：定理 复矩阵相似的充要条件（初等因子）
定理 有理标准形 — 例子
例1：A=(2012)，不变因子 d1=1，d2=λ2−4λ+4。
d2 的友矩阵 C=(01−44)… 实际上 λ2−4λ+4 的友矩阵为 (01−44)。
验证：特征多项式 λ2−4λ+4=(λ−2)2 ✓。
例2：A=(3002)，不变因子 d1=1，d2=λ2−5λ+6。
友矩阵 (01−65)，特征值 2,3 ✓。
定理：定理 初等因子的求法
定理 最小多项式与不变因子的关系 — 例子
例1：A=(2012)，最后一个不变因子 d2=(λ−2)2，最小多项式 m(λ)=(λ−2)2=d2 ✓。
例2：A=(100010002)，不变因子 d1=1，d2=λ−1，d3=(λ−1)(λ−2)。
最小多项式 m(λ)=d3=(λ−1)(λ−2)。验证：(A−E)(A−2E)=O ✓。
定理：定理 复矩阵的若尔当标准形
定理 λ-矩阵可逆的充要条件 — 例子
例1：A(λ)=(10λ1)，∣A(λ)∣=1（非零常数），可逆 ✓。
A(λ)−1=(10−λ1)，验证 A(λ)⋅A(λ)−1=E ✓。
例2：A(λ)=(λ001)，∣A(λ)∣=λ（不是非零常数），不可逆。
定理：定理 线性变换的若尔当标准形
定理 λ-矩阵等价的充要条件 — 例子
例1：A(λ)=(λ01λ) 和 B(λ)=(100λ2)。
A(λ) 的行列式因子 D1=1，D2=λ2；B(λ) 的 D1=1，D2=λ2。行列式因子相同，等价 ✓。
例2：A(λ)=(λ00λ)，D1=λ，D2=λ2。B(λ)=(100λ2)，D1=1，D2=λ2。D1 不同，不等价 ✓。
定理：定理 可对角化与初等因子
定理 初等因子与相似 — 例子
例1：A=(100110002)，B=(100010012)。
A 的初等因子：(λ−1)2,λ−2。
B：λE−B=(λ−1000λ−100−1λ−2)，D1=1，D2=λ−1，D3=(λ−1)2(λ−2)，d1=1，d2=λ−1，d3=(λ−1)(λ−2)，初等因子 λ−1,λ−1,λ−2。
A 和 B 的初等因子不同，不相似 ✓。
定理：定理 可对角化与不变因子
定理 矩阵的若尔当分解 — 例子
例1：A=(3013)=(3003)+(0010)。
D=(3003)（对角，可对角化），N=(0010)（幂零，N2=O），DN=ND ✓。
例2：A=(1023) 已可对角化，D=A，N=O。
定理：定理 有理标准形
定理 幂零矩阵的若尔当标准形 — 例子
例1：N=(000100010)，N2=(000000100)，N3=O。
N 的特征值全为0，初等因子 λ3，若尔当标准形就是 N 本身（3阶若尔当块）。
例2：N=(0010)⊕(0010)，N2=O，初等因子 λ2,λ2，两个2阶若尔当块。
定理：定理 线性变换的有理标准形