第九章 欧几里得空间 例子

第九章 欧几里得空间 — 定理例子

定义 欧几里得空间 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^n$ 在标准内积 $(\alpha ,\beta )={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i$ 下构成欧氏空间。

例2：${\mathbf{R}}^2$ 中定义加权内积 $(\alpha ,\beta )=2a_1{b}_1+3a_2{b}_2$。验证正定性：$2a_1^2+3a_2^2⩾0$，且等号仅当 $a_1=a_2=0$。故这也是欧氏空间。

例3：$C[a,b]$（$[a,b]$ 上连续函数全体）在内积 $(f,g)={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx$ 下构成无限维欧氏空间。

定义：定义 欧几里得空间

定义 向量的长度与距离 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^3$ 中，$\alpha =(1,2,2)$，$|\alpha |=\sqrt{1+4+4}=3$。

例2：$\alpha =(1,0)$，$\beta =(4,0)$，$d(\alpha ,\beta )=|(-3,0)|=3$。

例3：单位向量：$|\alpha |=1$ 的向量。$\frac{\alpha }{|\alpha |}$ 是 $\alpha$ 方向的单位向量。如 $\frac{(3,4)}{5}=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$。

定义：定义 向量的长度与距离

定义 正交 — 例子

例1：$\alpha =(1,0)$，$\beta =(0,1)$，$(\alpha ,\beta )=0$，故 $\alpha \perp \beta$。

例2：$\alpha =(1,1,0)$，$\beta =(1,-1,0)$，$(\alpha ,\beta )=1-1+0=0$，正交。

例3：零向量与任何向量正交：$(0,\beta )=0$。

定义：定义 正交

定义 标准正交基 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^3$ 的标准基 $e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)$ 是标准正交基。

例2：${\epsilon }_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1),{\epsilon }_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ 也是 ${\mathbf{R}}^2$ 的标准正交基。

定义：定义 标准正交基

定义 正交矩阵 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$，$A^{\prime }A=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta & 0\\ 0& {\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \end{array}\right)=E$，是正交矩阵。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$，$A^{\prime }A=E$，是正交矩阵（反射矩阵）。

例3：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$，$A^{\prime }A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\ne E$，不是正交矩阵。

定义：定义 正交矩阵

定义 正交变换 — 例子

例1：旋转变换 $\mathcal{A}(x,y)=(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$ 是正交变换：保持内积不变。

例2：反射变换 $\mathcal{A}(x,y)=(x,-y)$ 是正交变换。

例3：缩放变换 $\mathcal{A}(x,y)=(2x,2y)$ 不是正交变换：$(\mathcal{A}{e}_1,\mathcal{A}{e}_1)=(2e_1,2e_1)=4\ne 1=(e_1,e_1)$。

定义：定义 正交变换

定义 正交补 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^3$ 中，$W=\{(x,y,0)\}$（$xy$-平面），$W^{\perp }=\{(0,0,z)\}$（$z$ 轴）。${\mathbf{R}}^3=W\oplus W^{\perp }$。

例2：${\mathbf{R}}^2$ 中，$W=L((1,1))$，$W^{\perp }=L((1,-1))$（因为 $(1,1)$ 与 $(1,-1)$ 的内积为 $0$）。

定义：定义 正交补

定义 对称变换 — 例子

例1：$\mathcal{A}(x,y)=(2x,3y)$ 是对称变换：$(\mathcal{A}\alpha ,\beta )=(2a_1)b_1+(3a_2)b_2=a_1(2b_1)+a_2(3b_2)=(\alpha ,\mathcal{A}\beta )$。在标准正交基下矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$（对称矩阵）。

例2：旋转变换 $\mathcal{A}(x,y)=(-y,x)$ 不是对称变换：取 $\alpha =(1,0),\beta =(0,1)$，$(\mathcal{A}\alpha ,\beta )=((0,1),(0,1))=1$，$(\alpha ,\mathcal{A}\beta )=((1,0),(-1,0))=-1\ne 1$。

定义：定义 对称变换

定理 内积的性质 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^3$ 中标准内积 $(\alpha ,\beta )=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$。

$\alpha =(1,2,3)$，$\beta =(4,5,6)$。$(\alpha ,\beta )=4+10+18=32$。

$(\alpha ,\alpha )=1+4+9=14$，$|\alpha |=\sqrt{14}$。

$(k\alpha ,\beta )=(k,2k,3k)\cdot (4,5,6)=4k+10k+18k=32k=k(\alpha ,\beta )$ ✓。

例2：${\mathbf{R}}^2$ 中加权内积 $(\alpha ,\beta )=2x_1{y}_1+3x_2{y}_2$。

$\alpha =(1,1)$，$\beta =(1,-1)$。$(\alpha ,\beta )=2\cdot 1\cdot 1+3\cdot 1\cdot (-1)=2-3=-1$。

$(\alpha ,\alpha )=2+3=5>0$ ✓，$(\beta ,\beta )=2+3=5>0$ ✓。

定理：定理 正交向量组的扩充

定理 柯西-布涅柯夫斯基不等式 — 例子

例1：$\alpha =(1,2,3)$，$\beta =(4,5,6)$，$(\alpha ,\beta )=32$，$|\alpha |=\sqrt{14}$，$|\beta |=\sqrt{77}$。

$|(\alpha ,\beta )|=32$，$|\alpha |\cdot |\beta |=\sqrt{14\times 77}=\sqrt{1078}\approx 32.83$。

$32<32.83$ ✓。

例2：$\alpha =(1,0)$，$\beta =(0,1)$，$(\alpha ,\beta )=0$，$|\alpha ||\beta |=1$。$0⩽1$ ✓（等号成立当且仅当线性相关，此处线性无关故严格不等号）。

例3：$\alpha =(1,1)$，$\beta =(2,2)=2\alpha$（线性相关），$(\alpha ,\beta )=4$，$|\alpha ||\beta |=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4$。等号成立 ✓。

定理：定理 Schmidt正交化

定理 正交基 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^3$ 中 ${\epsilon }_1=(1,0,0)$，${\epsilon }_2=(0,1,0)$，${\epsilon }_3=(0,0,1)$ 是标准正交基。

$({\epsilon }_i,{\epsilon }_j)={\delta }_{ij}$ ✓。

例2：${\mathbf{R}}^3$ 中 ${\alpha }_1=(1,1,0)$，${\alpha }_2=(1,-1,0)$，${\alpha }_3=(0,0,1)$。

$({\alpha }_1,{\alpha }_2)=1-1+0=0$，$({\alpha }_1,{\alpha }_3)=0$，$({\alpha }_2,{\alpha }_3)=0$。正交但非标准（$|{\alpha }_1|=\sqrt{2}$）。标准化：$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$，$e_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)$，$e_3=(0,0,1)$。

定理：定理 欧氏空间同构的充要条件

定理 施密特正交化 — 例子

例1：将 ${\alpha }_1=(1,1,0)$，${\alpha }_2=(1,0,1)$，${\alpha }_3=(0,1,1)$ 正交化。

${\beta }_1={\alpha }_1=(1,1,0)$。

${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1=(1,0,1)-\frac{1}{2}(1,1,0)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)$。

${\beta }_3={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2$。

$({\alpha }_3,{\beta }_1)=1$，$({\alpha }_3,{\beta }_2)=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$，$({\beta }_2,{\beta }_2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1=\frac{3}{2}$。

${\beta }_3=(0,1,1)-\frac{1}{2}(1,1,0)-\frac{1/2}{3/2}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)=(0,1,1)-(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)-(\frac{1}{6},-\frac{1}{6},\frac{1}{3})=(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$。

验证正交：$({\beta }_1,{\beta }_3)=-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=0$ ✓，$({\beta }_2,{\beta }_3)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$… 需重新检查。

实际上 $({\beta }_2,{\beta }_3)=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{2}{3})+(-\frac{1}{2})\cdot \frac{2}{3}+1\cdot \frac{2}{3}=-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=0$ ✓。

例2：${\mathbf{R}}^2$ 中 ${\alpha }_1=(1,0)$，${\alpha }_2=(1,1)$。

${\beta }_1=(1,0)$，${\beta }_2=(1,1)-\frac{1}{1}(1,0)=(0,1)$。标准正交基 $e_1=(1,0)$，$e_2=(0,1)$。

定理：定理 正交变换的等价刻画

定理 正交矩阵 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$（旋转矩阵）。

$A^{T}A=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta & 0\\ 0& {\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \end{array}\right)=E$ ✓。

$|A|={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$（反射矩阵）。$A^{T}A=E$ ✓，$|A|=-1$。

定理：定理 两两正交子空间的直和

定理 实对称矩阵的特征值 — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$，$|\lambda E-A|=(\lambda -2{)}^2-1={\lambda }^2-4\lambda +3=(\lambda -1)(\lambda -3)=0$。

特征值 ${\lambda }_1=1$，${\lambda }_2=3$，都是实数 ✓。

${\lambda }_1=1$：特征向量 $(1,-1)$；${\lambda }_2=3$：特征向量 $(1,1)$。$(1,-1)\cdot (1,1)=0$，不同特征值的特征向量正交 ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$，特征值 $1,2$（实数），特征向量 $(1,0),(0,1)$ 正交 ✓。

定理：定理 正交补的存在与唯一性

定理 实对称矩阵的正交对角化（谱定理） — 例子

例1：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$，特征值 $1,3$，特征向量 $(1,-1),(1,1)$。

标准化：$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$，$e_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$。

$Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$，$Q^{T}AQ=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ ✓。

例2：$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ 已是对角矩阵，$Q=E$，$Q^{T}AQ=A$。

定理：定理 实对称矩阵的正交对角化（谱定理）

定理 正交变换 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^2$ 中旋转 $\theta$ 角的变换 $\mathcal{A}$，矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$，$A^{T}A=E$，正交变换 ✓。

保持内积：$(\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\beta )=(A\alpha {)}^T(A\beta )={\alpha }^T{A}^{T}A\beta ={\alpha }^T\beta =(\alpha ,\beta )$ ✓。

保持长度：$|\mathcal{A}\alpha |=|\alpha |$ ✓。

例2：$\mathcal{A}(x,y)=(2x,2y)$，$|\mathcal{A}(1,0)|=2\ne 1=|(1,0)|$，不是正交变换 ✓。

例3：反射 $\mathcal{A}(x,y)=(x,-y)$，矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$，$A^{T}A=E$，正交变换 ✓，$|A|=-1$。

定理：定理 实二次型的正交化简