第四章 微分 — 例子

定义4.1.1 导数 — 例子

例1：$f(x)=x^3$，$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{(x+h{)}^3-x^3}{h}={\lim }_{h\to 0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2$。

例2：$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导：$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{|h|}{h}$，左极限为-1，右极限为1，极限不存在。

定义：定义4.1.1 导数

定义4.1.2 左导数与右导数 — 例子

例1：$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处：$f_{-}^{\prime }(0)={\lim }_{h\to 0^{-}}\frac{|h|}{h}=-1$，$f_{+}^{\prime }(0)={\lim }_{h\to 0^{+}}\frac{|h|}{h}=1$。$f_{-}^{\prime }(0)\ne f_{+}^{\prime }(0)$，故 $f^{\prime }(0)$ 不存在。

定义：定义4.1.2 左导数与右导数

定义4.1.3 微分 — 例子

例1：$f(x)=x^2$，$df=2xdx$。当 $x=3,\Delta x=0.01$ 时，$\Delta f=(3.01{)}^2-9=0.0601$，$df=2\times 3\times 0.01=0.06$，误差 $0.0001$ 很小。

定义：定义4.1.3 微分

定义4.2.1 高阶导数 — 例子

例1：$f(x)=e^x$，$f^{(n)}(x)=e^x$（所有阶导数都等于自身）。

例2：$f(x)=\sin x$，$f^{\prime }(x)=\cos x$，$f^{\prime \prime }(x)=-\sin x$，$f^{\prime \prime \prime }(x)=-\cos x$，$f^{(4)}(x)=\sin x$（周期为4）。

定义：定义4.2.1 高阶导数

定义4.3.1 参数式函数的导数 — 例子

例1：$\{\begin{array}{l}x=t-\sin t\\ y=1-\cos t\end{array}$（摆线），$\frac{dy}{dx}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$。

定义：定义4.3.1 参数式函数的导数

定理4.1.1 可微与可导等价 — 例子

例1：$f(x)=x^2$ 在 $x=3$ 处可导（$f^{\prime }(3)=6$），故可微，$df=6dx$。

例2：$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导，故也不可微。

定理：定理4.1.1 可微与可导等价

定理4.3.1 线性运算 — 例子

例1：$(3x^2-5x{)}^{\prime }=3\cdot 2x-5=6x-5$。

例2：$(e^x+\sin x{)}^{\prime }=e^x+\cos x$。

定理：定理4.3.1 线性运算

定理4.3.2 乘法法则 — 例子

例1：$(x^2\sin x{)}^{\prime }=2x\sin x+x^2\cos x$。

例2：$(e^x\cos x{)}^{\prime }=e^x\cos x-e^x\sin x=e^x(\cos x-\sin x)$。

定理：定理4.3.2 乘法法则

定理4.3.3 除法法则 — 例子

例1：$(\tan x{)}^{\prime }=(\frac{\sin x}{\cos x}{)}^{\prime }=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$。

例2：$(\frac{x}{x^2+1}{)}^{\prime }=\frac{(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$。

定理：定理4.3.3 除法法则

定理4.3.4 反函数求导定理 — 例子

例1：$y=\arcsin x$ 是 $x=\sin y$ 的反函数，$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

例2：$y=\ln x$ 是 $x=e^y$ 的反函数，$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}$。

定理：定理4.3.4 反函数求导定理

定理4.4.1 复合函数求导法则（链式法则） — 例子

例1：$(e^{x^2}{)}^{\prime }=e^{x^2}\cdot 2x=2x{e}^{x^2}$。

例2：$(\sin (\ln x){)}^{\prime }=\cos (\ln x)\cdot \frac{1}{x}=\frac{\cos (\ln x)}{x}$。

定理：定理4.4.1 复合函数求导法则（链式法则）

定理4.5.1 高阶导数的线性性 — 例子

例1：$(x^3+e^x{)}^{\prime \prime }=(3x^2+e^x{)}^{\prime }=6x+e^x$。

定理：定理4.5.1 高阶导数的线性性

定理4.5.2 Leibniz公式 — 例子

例1：求 $(x^2{e}^x{)}^{(n)}$。设 $u=x^2$，$v=e^x$。$u^{\prime }=2x$，$u^{\prime \prime }=2$，$u^{(k)}=0$（$k⩾3$）。由Leibniz公式：$(x^2{e}^x{)}^{(n)}=x^2{e}^x+n\cdot 2x\cdot e^x+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2\cdot e^x=e^x(x^2+2nx+n(n-1))$。

例2：求 $(x\sin x{)}^{\prime \prime }$。$(x\sin x{)}^{\prime }=\sin x+x\cos x$，$(x\sin x{)}^{\prime \prime }=\cos x+\cos x-x\sin x=2\cos x-x\sin x$。用Leibniz验证：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0}\right)x\cdot (-\sin x)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)\cdot 1\cdot \cos x=-x\sin x+2\cos x$ ✓

定理：定理4.5.2 Leibniz公式