第四章 微分

本章包含微分相关的基础定理。

§1 微分与导数

定义4.1.1 导数

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域中有定义。如果极限

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

存在且有限，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，此极限值称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记为 $f^{\prime }(x_0)$ 或 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}{|}_{x=x_0}$。

例子：定义4.1.1 导数 — 例子

定义4.1.2 左导数与右导数

如果极限

$$\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

存在且有限，则称其为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左导数，记为 $f_{-}^{\prime }(x_0)$。类似定义右导数 $f_{+}^{\prime }(x_0)$。

例子：定义4.1.2 左导数与右导数 — 例子

定义4.1.3 微分

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域中有定义。如果存在常数 $A$，使得

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x),$$

则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，其中 $A\Delta x$ 称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分，记为 $\mathrm{d}y=A\Delta x=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x$。

例子：定义4.1.3 微分 — 例子

定义4.2.1 高阶导数

设函数 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则称 $(f^{\prime }(x){)}^{\prime }$ 在 $x_0$ 处的值为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的二阶导数，记为 $f^{\prime \prime }(x_0)$。一般地，$f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ 定义为 $f^{(n-1)}(x)$ 的导数（如果存在）。

例子：定义4.2.1 高阶导数 — 例子

定义4.3.1 参数式函数的导数

设 $x=x(t)$，$y=y(t)$ 都可导且 $x^{\prime }(t)\ne 0$，则

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}.$$

例子：定义4.3.1 参数式函数的导数 — 例子

定理4.1.1 可微与可导等价

定理陈述：函数 $y=f(x)$ 在 $x$ 处可微的充分必要条件是它在 $x$ 处可导。

证明：

先回顾两个定义：

• 可导：极限 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 存在且有限，记为 $f^{\prime }(x)$。
• 可微：存在常数 $A$，使得 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ 可以表示为 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$（$\Delta x\to 0$），其中 $o(\Delta x)$ 表示比 $\Delta x$ 高阶的无穷小量，即 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0$。

方向一：可导 $\Rightarrow$ 可微

设 $f$ 在 $x$ 处可导，即 $f^{\prime }(x)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在。

令 $\epsilon (\Delta x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}-f^{\prime }(x)$，则 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\epsilon (\Delta x)=0$。

从 $\epsilon (\Delta x)$ 的定义出发：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x)+\epsilon (\Delta x).$$

两边乘以 $\Delta x$：

$$\Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+\epsilon (\Delta x)\Delta x.$$

令 $A=f^{\prime }(x)$，$o(\Delta x)=\epsilon (\Delta x)\Delta x$。因为 $\epsilon (\Delta x)\to 0$，所以 $\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=\epsilon (\Delta x)\to 0$，即 $o(\Delta x)$ 确实是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小。

因此 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$，$f$ 在 $x$ 处可微。

方向二：可微 $\Rightarrow$ 可导

设 $f$ 在 $x$ 处可微，即 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$，其中 $\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\to 0$。

两边除以 $\Delta x$（$\Delta x\ne 0$）：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}.$$

取极限 $\Delta x\to 0$：

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+0=A.$$

所以 $f^{\prime }(x)=A$ 存在，$f$ 在 $x$ 处可导。

结论：可微与可导等价，且可微时的系数 $A$ 恰好等于导数 $f^{\prime }(x)$。

证毕

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例子：定理4.1.1 可微与可导等价 — 例子

§3 导数的四则运算

定理4.3.1 线性运算

定理陈述：设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在某一区间上都是可导的，则对任意常数 $c_1$ 和 $c_2$，它们的线性组合 $c_{1}f(x)+c_{2}g(x)$ 也在该区间上可导，且满足：

$${\left(c_{1}f(x)+c_{2}g(x)\right)}^{\prime }=c_1{f}^{\prime }(x)+c_2{g}^{\prime }(x).$$

证明：

由导数定义：

$$\begin{array}{rl}& {\left(c_{1}f(x)+c_{2}g(x)\right)}^{\prime }\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{c_{1}f(x+\Delta x)+c_{2}g(x+\Delta x)-c_{1}f(x)-c_{2}g(x)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{c_1[f(x+\Delta x)-f(x)]+c_2[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[c_1\cdot \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+c_2\cdot \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right]\\ & =c_1\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+c_2\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ & =c_1{f}^{\prime }(x)+c_2{g}^{\prime }(x).\end{array}$$

第三行到第四行用了极限的线性运算（常数可以提出，和的极限等于极限的和），这是合法的因为 $f^{\prime }(x)$ 和 $g^{\prime }(x)$ 都存在。

证毕

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定理4.3.2 乘法法则

定理陈述：设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在某一区间上都是可导的，则它们的积函数也在该区间上可导，且满足：

$${\left(f(x)g(x)\right)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).$$

证明：

核心想法：在差商中”加一项减一项”，把 $f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)$ 拆成分别涉及 $f$ 的变化和 $g$ 的变化的两部分。

第1步：写出差商：

$$\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}.$$

第2步：加一项减一项 $f(x+\Delta x)g(x)$：

$$\begin{array}{rl}& \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\ & =\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x+\Delta x)g(x)+f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\ & =f(x+\Delta x)\cdot \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}+\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot g(x).\end{array}$$

第3步：取极限 $\Delta x\to 0$：

• $f(x+\Delta x)\to f(x)$（因为 $f$ 可导，故 $f$ 连续）
• $\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\to g^{\prime }(x)$（$g$ 可导）
• $\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\to f^{\prime }(x)$（$f$ 可导）
• $g(x)$ 是常数（与 $\Delta x$ 无关）

由极限的乘法和加法运算：

$$(f(x)g(x){)}^{\prime }=f(x)\cdot g^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)\cdot g(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).$$

证毕

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定理4.3.3 除法法则

定理陈述：设 $g(x)$ 在某一区间上可导，且 $g(x)\ne 0$，则它的倒数也在该区间上可导，且满足：

$${\left(\frac{1}{g(x)}\right)}^{\prime }=-\frac{g^{\prime }(x)}{g^2(x)}.$$

证明：

第1步：写出差商：

$$\frac{\frac{1}{g(x+\Delta x)}-\frac{1}{g(x)}}{\Delta x}.$$

第2步：通分：

$$\begin{array}{rl}\frac{\frac{1}{g(x+\Delta x)}-\frac{1}{g(x)}}{\Delta x}& =\frac{g(x)-g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)\cdot g(x)\cdot \Delta x}\\ & =-\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\cdot \frac{1}{g(x+\Delta x)\cdot g(x)}.\end{array}$$

第3步：取极限 $\Delta x\to 0$：

• $\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\to g^{\prime }(x)$（$g$ 可导）
• $g(x+\Delta x)\to g(x)$（$g$ 可导故连续）
• $\frac{1}{g(x+\Delta x)\cdot g(x)}\to \frac{1}{g(x{)}^2}$（$g(x)\ne 0$ 保证分母不为零）

由极限的乘法运算：

$${\left(\frac{1}{g(x)}\right)}^{\prime }=-g^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{g(x{)}^2}=-\frac{g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.$$

证毕

推论（商的求导法则）：设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都可导且 $g(x)\ne 0$，则：

$${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.$$

推论的证明：$\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}$，由乘法法则和倒数法则：

$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }& =f^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot \left(-\frac{g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}\right)\\ & =\frac{f^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}\\ & =\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.\end{array}$$

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定理4.3.4 反函数求导定理

定理陈述：若函数 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续、严格单调、可导并且 $f^{\prime }(x)\ne 0$，则它的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在对应区间上可导，且有：

$${\left(f^{-1}(y)\right)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(x)}.$$

证明：

核心想法：$\frac{\Delta x}{\Delta y}$ 和 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 互为倒数，取极限后自然也互为倒数。

第1步：设 $y_0=f(x_0)$，$x_0\in (a,b)$。因为 $f$ 严格单调且连续，由反函数连续性定理，$f^{-1}$ 在 $y_0$ 处连续。

第2步：给 $y$ 一个增量 $\Delta y$，令 $\Delta x=f^{-1}(y_0+\Delta y)-f^{-1}(y_0)$。则 $x_0+\Delta x=f^{-1}(y_0+\Delta y)$，即 $f(x_0+\Delta x)=y_0+\Delta y$。

第3步：因为 $f^{-1}$ 连续，$\Delta y\to 0$ 时 $\Delta x\to 0$。又因为 $f$ 严格单调，$\Delta y\ne 0$ 时 $\Delta x\ne 0$。

第4步：写出反函数的差商：

$$\frac{f^{-1}(y_0+\Delta y)-f^{-1}(y_0)}{\Delta y}=\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}.$$

第5步：取极限 $\Delta y\to 0$（此时 $\Delta x\to 0$）：

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}=\frac{1}{{\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}.$$

这里用到：分母的极限 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$，所以可以取倒数。由 $y_0$ 的任意性，定理成立。

证毕

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例子：定理4.3.4 反函数求导定理 — 例子

§4 复合函数求导

定理4.4.1 复合函数求导法则（链式法则）

定理陈述：设函数 $u=g(x)$ 在 $x=x_0$ 可导，而函数 $y=f(u)$ 在 $u=u_0=g(x_0)$ 处可导，则复合函数 $y=f(g(x))$ 在 $x=x_0$ 可导，且有：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(u_0)g^{\prime }(x_0).$$

证明：

核心想法：$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$，取极限即得链式法则。但需要小心处理 $\Delta u=0$ 的情况。

第1步：因为 $f$ 在 $u_0$ 可导，由定理4.1.1（可微与可导等价），$f$ 在 $u_0$ 可微，即：

$$\Delta y=f(u_0+\Delta u)-f(u_0)=f^{\prime }(u_0)\Delta u+\epsilon (\Delta u)\Delta u,$$

其中 $\epsilon (\Delta u)\to 0$（当 $\Delta u\to 0$ 时）。

第2步：补充定义 $\epsilon (0)=0$。这样当 $\Delta u=0$ 时，$\Delta y=0=f^{\prime }(u_0)\cdot 0+0\cdot 0$，等式仍然成立。而且 $\epsilon (\Delta u)$ 在 $\Delta u=0$ 处连续（${\lim }_{\Delta u\to 0}\epsilon (\Delta u)=0=\epsilon (0)$）。

第3步：令 $\Delta u=g(x_0+\Delta x)-g(x_0)$。因为 $g$ 在 $x_0$ 可导，故 $g$ 在 $x_0$ 连续，所以 $\Delta x\to 0$ 时 $\Delta u\to 0$。

第4步：将 $\Delta u$ 代入第1步的等式：

$$\Delta y=f^{\prime }(u_0)[g(x_0+\Delta x)-g(x_0)]+\epsilon (\Delta u)[g(x_0+\Delta x)-g(x_0)].$$

第5步：两边除以 $\Delta x$（$\Delta x\ne 0$）：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(u_0)\cdot \frac{g(x_0+\Delta x)-g(x_0)}{\Delta x}+\epsilon (\Delta u)\cdot \frac{g(x_0+\Delta x)-g(x_0)}{\Delta x}.$$

第6步：取极限 $\Delta x\to 0$：

• $\frac{g(x_0+\Delta x)-g(x_0)}{\Delta x}\to g^{\prime }(x_0)$（$g$ 可导）
• $\Delta u\to 0$，所以 $\epsilon (\Delta u)\to 0$

由极限的乘法和加法运算：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(u_0)\cdot g^{\prime }(x_0)+0\cdot g^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(u_0)g^{\prime }(x_0).$$

证毕

注意：这个证明的关键技巧是用”可微”代替”可导”来表述 $f$ 的增量，通过补充定义 $\epsilon (0)=0$ 巧妙地避开了 $\Delta u=0$ 时不能直接除以 $\Delta u$ 的问题。如果直接写 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$，当 $\Delta u=0$ 时 $\frac{\Delta y}{\Delta u}$ 无定义，需要额外处理。

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例子：定理4.4.1 复合函数求导法则（链式法则） — 例子

§5 高阶导数

定理4.5.1 高阶导数的线性性

定理陈述：设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是 $n$ 阶可导的，则对任意常数 $c_1$ 和 $c_2$，它们的线性组合也是 $n$ 阶可导的，且满足：

$${\left(c_{1}f(x)+c_{2}g(x)\right)}^{(n)}=c_1{f}^{(n)}(x)+c_2{g}^{(n)}(x).$$

证明：

用数学归纳法。

归纳基础（$n=1$）：这就是定理4.3.1（线性运算），已证。

归纳假设：设 $(c_{1}f+c_{2}g{)}^{(k)}=c_1{f}^{(k)}+c_2{g}^{(k)}$ 对某个 $k⩾1$ 成立。

归纳步骤：$(c_{1}f+c_{2}g{)}^{(k+1)}$ 就是 $(c_{1}f+c_{2}g{)}^{(k)}$ 的导数。由归纳假设：

$$(c_{1}f+c_{2}g{)}^{(k+1)}={\left(c_1{f}^{(k)}+c_2{g}^{(k)}\right)}^{\prime }.$$

由一阶导数的线性性（定理4.3.1）：

$${\left(c_1{f}^{(k)}+c_2{g}^{(k)}\right)}^{\prime }=c_1(f^{(k)}{)}^{\prime }+c_2(g^{(k)}{)}^{\prime }=c_1{f}^{(k+1)}+c_2{g}^{(k+1)}.$$

归纳完成。对一切 $n⩾1$，$(c_{1}f+c_{2}g{)}^{(n)}=c_1{f}^{(n)}+c_2{g}^{(n)}$。

证毕

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例子：定理4.5.1 高阶导数的线性性 — 例子

定理4.5.2 Leibniz公式

定理陈述：设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是 $n$ 阶可导函数，则它们的积函数也 $n$ 阶可导，且成立公式：

$${\left(f(x)g(x)\right)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).$$

证明：

用数学归纳法。这个公式与二项式定理 $(a+b{)}^n={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$ 形式完全类似，只需将”乘方”换成”求导”。

归纳基础（$n=1$）：

$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }=(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0})f^{\prime }g+(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})f{g}^{\prime }=\sum _{k=0}^1(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{k})f^{(1-k)}{g}^{(k)}.$$

这就是乘法法则（定理4.3.2），已证。

归纳假设：设对某个 $n⩾1$，$(fg{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(n-k)}{g}^{(k)}$ 成立。

归纳步骤：对上式两边再求一次导数：

$$(fg{)}^{(n+1)}={\left[\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)f^{(n-k)}{g}^{(k)}\right]}^{\prime }.$$

由线性性（定理4.5.1），导数可以进入求和号内：

$$(fg{)}^{(n+1)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\left[f^{(n-k)}{g}^{(k)}\right]}^{\prime }.$$

对每一项用乘法法则：

$${\left[f^{(n-k)}{g}^{(k)}\right]}^{\prime }=f^{(n-k+1)}{g}^{(k)}+f^{(n-k)}{g}^{(k+1)}.$$

代入得：

$$(fg{)}^{(n+1)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(n-k+1)}{g}^{(k)}+\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(n-k)}{g}^{(k+1)}.$$

第1步：对第二个求和，令 $j=k+1$（即 $k=j-1$），则 $j$ 从 $1$ 到 $n+1$：

$$\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)f^{(n-k)}{g}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j-1}\right)f^{(n-j+1)}{g}^{(j)}.$$

第2步：将 $j$ 换回 $k$ 的记号（只是哑指标）：

$$=\sum _{k=1}^{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}\right)f^{(n-k+1)}{g}^{(k)}.$$

第3步：合并两个求和：

$$(fg{)}^{(n+1)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(n-k+1)}{g}^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})f^{(n-k+1)}{g}^{(k)}.$$

第4步：把 $k=0$ 的项从第一个和中提出，把 $k=n+1$ 的项从第二个和中提出，中间项 $k=1,2,\dots ,n$ 合并：

• $k=0$ 的项：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)f^{(n+1)}g=f^{(n+1)}g$
• $k=n+1$ 的项：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)f{g}^{(n+1)}=f{g}^{(n+1)}$
• $k=1,2,\dots ,n$ 的项：$\left[\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}\right)\right]f^{(n-k+1)}{g}^{(k)}$

第5步：利用组合恒等式 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k}\right)$（这是Pascal恒等式，即从 $n+1$ 个元素中选 $k$ 个，按是否包含第 $n+1$ 个元素分类计数即得）。

第6步：代入合并：

$$\begin{array}{rl}(fg{)}^{(n+1)}& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{0}\right)f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k}\right)f^{(n+1-k)}{g}^{(k)}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{n+1}\right)f{g}^{(n+1)}\\ & =\sum _{k=0}^{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k}\right)f^{(n+1-k)}{g}^{(k)}.\end{array}$$

归纳完成。Leibniz公式对一切 $n⩾1$ 成立。

证毕

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例子：定理4.5.2 Leibniz公式 — 例子

相关链接

• 数学分析 定理索引
• 第三章 函数极限与连续函数
• 第五章 微分中值定理及其应用

来源引用

• [数学分析 陈纪修 第三版 上](raw/数学分析 陈纪修 第三版 上/full.md)