第十四章 曲线积分、曲面积分与场论

本章包含曲线积分、曲面积分与场论相关的重要定理。

§1 第一类曲线积分

定义14.1.1 第一类曲线积分

设 $L$ 是一条光滑曲线，$f(x,y,z)$ 在 $L$ 上有定义。将 $L$ 任意分成 $n$ 段弧 $\Delta s_1,\Delta s_2,\dots ,\Delta s_n$（$\Delta s_i$ 同时表示弧长），在每段弧上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$，作和

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta s_i.$$

如果当各段弧长最大值 $\lambda \to 0$ 时极限存在，则称此极限值为 $f$ 沿曲线 $L$ 的第一类曲线积分（或对弧长的曲线积分），记为

$${\int }_{L}f(x,y,z)\mathrm{d}s.$$

例子：定义14.1.1 第一类曲线积分 — 例子

定义14.2.1 第二类曲线积分

设 $L$ 是从点 $A$ 到点 $B$ 的有向光滑曲线，$\mathbf{F}=(P,Q,R)$ 是定义在 $L$ 上的向量值函数。将 $L$ 沿方向分成 $n$ 段有向弧 $\Delta {\mathbf{r}}_i$，在每段弧上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$，作和

$$\sum _{i=1}^n\mathbf{F}({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\cdot \Delta {\mathbf{r}}_i.$$

如果当各段弧长最大值 $\lambda \to 0$ 时极限存在，则称此极限值为向量场 $\mathbf{F}$ 沿有向曲线 $L$ 的第二类曲线积分（或对坐标的曲线积分），记为

$${\int }_L\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z.$$

例子：定义14.2.1 第二类曲线积分 — 例子

定义14.3.1 第一类曲面积分

设 $\Sigma$ 是光滑曲面，$f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有定义。将 $\Sigma$ 任意分成 $n$ 块小曲面 $\Delta S_1,\Delta S_2,\dots ,\Delta S_n$（$\Delta S_i$ 同时表示面积），在每块小曲面上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$，作和

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i.$$

如果当各小块直径最大值 $\lambda \to 0$ 时极限存在，则称此极限值为 $f$ 沿曲面 $\Sigma$ 的第一类曲面积分，记为

$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)\mathrm{d}S.$$

例子：定义14.3.1 第一类曲面积分 — 例子

定义14.3.2 第二类曲面积分

设 $\Sigma$ 是有向光滑曲面，$\mathbf{F}=(P,Q,R)$ 是定义在 $\Sigma$ 上的向量值函数。类似第一类曲面积分，但考虑曲面的法向量方向，如果极限存在，则称此极限值为向量场 $\mathbf{F}$ 沿有向曲面 $\Sigma$ 的第二类曲面积分，记为

$${\iint }_{\Sigma }\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}={\iint }_{\Sigma }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

例子：定义14.3.2 第二类曲面积分 — 例子

定义14.4.1 散度

设 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$ 是区域 $\Omega$ 上的向量场，$M(x_0,y_0,z_0)\in \Omega$。称

$$\mathrm{div}\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

为向量场 $\mathbf{F}$ 在点 $M$ 处的散度，也记为 $\nabla \cdot \mathbf{F}$。

例子：定义14.4.1 散度 — 例子

定义14.4.2 旋度

设 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$ 是区域 $\Omega$ 上的向量场。称

$$\mathrm{rot}\mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$$

为向量场 $\mathbf{F}$ 的旋度。

例子：定义14.4.2 旋度 — 例子

定理14.1.1 第一类曲线积分的计算

定理陈述：设曲线 $L$ 由参数方程 $x=x(t),y=y(t),z=z(t)$（$\alpha ⩽t⩽\beta$）给出，$x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ 连续且不同时为零，则：

$${\int }_{L}f(x,y,z)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t.$$

证明：

核心想法：弧长元素 $\mathrm{d}s=\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}\mathrm{d}t$，直接代入定义。

第1步：对 $[\alpha ,\beta ]$ 作分割 $\alpha =t_0<t_1<\cdots <t_n=\beta$，对应曲线上的分点 $P_i=(x(t_i),y(t_i),z(t_i))$。

第2步：弧 $\stackrel{⌢}{P_{i-1}{P}_i}$ 的弧长近似为弦长：

$$\Delta s_i\approx \sqrt{(x(t_i)-x(t_{i-1}){)}^2+(y(t_i)-y(t_{i-1}){)}^2+(z(t_i)-z(t_{i-1}){)}^2}.$$

第3步：由微分中值定理：

$$x(t_i)-x(t_{i-1})=x^{\prime }({\tau }_i)\Delta t_i,y(t_i)-y(t_{i-1})=y^{\prime }({\sigma }_i)\Delta t_i,z(t_i)-z(t_{i-1})=z^{\prime }({\mu }_i)\Delta t_i.$$

第4步：当分割足够细时，${\tau }_i,{\sigma }_i,{\mu }_i$ 都接近某个 ${\xi }_i\in [t_{i-1},t_i]$：

$$\Delta s_i\approx \sqrt{x^{\prime 2}({\xi }_i)+y^{\prime 2}({\xi }_i)+z^{\prime 2}({\xi }_i)}\Delta t_i.$$

第5步：Riemann和 $\sum f(P_i)\Delta s_i\approx \sum f(x({\xi }_i),y({\xi }_i),z({\xi }_i))\sqrt{x^{\prime 2}({\xi }_i)+y^{\prime 2}({\xi }_i)+z^{\prime 2}({\xi }_i)}\Delta t_i$。

取极限即得公式。

证毕

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例子：定理14.1.1 第一类曲线积分的计算 — 例子

§2 第一类曲面积分

定理14.2.1 第一类曲面积分的计算

定理陈述：设曲面 $S$ 由方程 $z=z(x,y)$ 给出，$(x,y)\in D$，$z$ 有连续偏导数，则：

$${\iint }_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\iint }_{D}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

证明：

核心想法：面积元素 $\mathrm{d}S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$（定理13.4.1），直接代入。

第1步：将 $D$ 分割成小区域 $\Delta D_i$，对应曲面上的小片 $\Delta S_i$。

第2步：由定理13.4.1，$\Delta S_i\approx \sqrt{1+z_x^2({\xi }_i,{\eta }_i)+z_y^2({\xi }_i,{\eta }_i)}|\Delta D_i|$。

第3步：Riemann和 $\sum f(x_i,y_i,z(x_i,y_i))\Delta S_i\approx \sum f({\xi }_i,{\eta }_i,z({\xi }_i,{\eta }_i))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}|\Delta D_i|$。

取极限即得公式。

证毕

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例子：定理14.2.1 第一类曲面积分的计算 — 例子

§3 第二类曲线积分

定理14.3.1 两类曲线积分的关系

定理陈述：两类曲线积分可以相互转化：

$${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z={\int }_L(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\mathrm{d}s.$$

其中 $(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 是曲线 $L$ 在各点处的单位切向量。

证明：

核心想法：$\mathrm{d}x=\cos \alpha \mathrm{d}s$，$\mathrm{d}y=\cos \beta \mathrm{d}s$，$\mathrm{d}z=\cos \gamma \mathrm{d}s$。

第1步：设曲线 $L$ 的参数方程为 $x=x(t),y=y(t),z=z(t)$，$\alpha ⩽t⩽\beta$。

第2步：切向量 $\vec{\tau }=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$，弧长元素 $\mathrm{d}s=|\vec{\tau }|\mathrm{d}t=\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}\mathrm{d}t$。

第3步：单位切向量 ${\vec{\tau }}^0=\frac{\vec{\tau }}{|\vec{\tau }|}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$。

第4步：$\mathrm{d}x=x^{\prime }(t)\mathrm{d}t=\frac{x^{\prime }(t)}{|\vec{\tau }|}\cdot |\vec{\tau }|\mathrm{d}t=\cos \alpha \mathrm{d}s$。同理 $\mathrm{d}y=\cos \beta \mathrm{d}s$，$\mathrm{d}z=\cos \gamma \mathrm{d}s$。

第5步：代入 ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z={\int }_L(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\mathrm{d}s$。

证毕

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例子：定理14.3.1 两类曲线积分的关系 — 例子

§4 第二类曲面积分

定理14.4.1 两类曲面积分的关系

定理陈述：两类曲面积分可以相互转化：

$${\iint }_{S}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_S(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\mathrm{d}S.$$

其中 $(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 是曲面 $S$ 在各点处的单位法向量。

证明：

核心想法：$\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\cos \alpha \mathrm{d}S$，$\mathrm{d}z\mathrm{d}x=\cos \beta \mathrm{d}S$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\cos \gamma \mathrm{d}S$。

第1步：设曲面 $S$ 的方程为 $z=z(x,y)$，法向量 $\vec{n}=(-z_x,-z_y,1)$（取上侧）。

第2步：单位法向量 ${\vec{n}}^0=\frac{(-z_x,-z_y,1)}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$。

第3步：$\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$，而 $\mathrm{d}S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

所以 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\cos \gamma \mathrm{d}S$。

第4步：同理，将曲面分别表示为 $x=x(y,z)$ 和 $y=y(x,z)$，可得 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\cos \alpha \mathrm{d}S$，$\mathrm{d}z\mathrm{d}x=\cos \beta \mathrm{d}S$。

第5步：代入即得两类曲面积分的关系。

证毕

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例子：定理14.4.1 两类曲面积分的关系 — 例子

§5 Green公式、Gauss公式与Stokes公式

定理14.5.1 Green公式

定理陈述：设 $D$ 为平面有界闭区域，边界 $L$ 为分段光滑曲线，取正向，$P,Q$ 在 $D$ 上有连续偏导数，则：

$${\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

证明：

核心想法：先对简单区域（$x$-型和$y$-型）证明 ${\oint }_{L}P\mathrm{d}x=-{\iint }_D{P}_y\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 和 ${\oint }_{L}Q\mathrm{d}y={\iint }_D{Q}_x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，再合并。

第1步：设 $D$ 是 $x$-型区域：$a⩽x⩽b$，$y_1(x)⩽y⩽y_2(x)$。

第2步：计算 ${\oint }_{L}P\mathrm{d}x$。边界 $L$ 由下边 $L_1:y=y_1(x)$（从左到右）、上边 $L_2:y=y_2(x)$（从右到左）组成。

在 $L_1$ 上：$\mathrm{d}y=y_1^{\prime }(x)\mathrm{d}x$，${\int }_{L_1}P\mathrm{d}x={\int }_a^{b}P(x,y_1(x))\mathrm{d}x$。

在 $L_2$ 上：$x$ 从 $b$ 到 $a$，${\int }_{L_2}P\mathrm{d}x=-{\int }_a^{b}P(x,y_2(x))\mathrm{d}x$。

所以 ${\oint }_{L}P\mathrm{d}x={\int }_a^b[P(x,y_1(x))-P(x,y_2(x))]\mathrm{d}x$。

第3步：另一方面，${\iint }_D\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y={\int }_a^b[P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))]\mathrm{d}x$。

所以 ${\oint }_{L}P\mathrm{d}x=-{\iint }_D{P}_y\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

第4步：类似地，对 $y$-型区域证明 ${\oint }_{L}Q\mathrm{d}y={\iint }_D{Q}_x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

第5步：两式相加即得Green公式。对一般区域，可分割为若干简单区域，相邻边界上的线积分相消。

证毕

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例子：定理14.5.1 Green公式 — 例子

定理14.5.2 Gauss公式

定理陈述：设 $V$ 为空间有界闭区域，边界曲面 $S$ 分片光滑，取外侧，$P,Q,R$ 在 $V$ 上有连续偏导数，则：

$$\iint P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iiint }_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z.$$

证明：

核心想法：与Green公式类似，分别证明 $\iint R\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iiint }_V{R}_z\mathrm{d}V$ 等三个等式。

第1步：设 $V$ 是$z$-型区域：$(x,y)\in D$，$z_1(x,y)⩽z⩽z_2(x,y)$。

第2步：计算 $\iint R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。$S$ 由下底 $S_1:z=z_1(x,y)$（法向量朝下）和上底 $S_2:z=z_2(x,y)$（法向量朝上）以及侧面组成。

第3步：在 $S_2$ 上，$\cos \gamma >0$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\mathrm{d}\sigma$，${\iint }_{S_2}R\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D}R(x,y,z_2(x,y))\mathrm{d}\sigma$。

在 $S_1$ 上，$\cos \gamma <0$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\mathrm{d}\sigma$，${\iint }_{S_1}R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-{\iint }_{D}R(x,y,z_1(x,y))\mathrm{d}\sigma$。

侧面上 $\cos \gamma =0$，贡献为零。

第4步：$\iint R\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_D[R(x,y,z_2)-R(x,y,z_1)]\mathrm{d}\sigma$。

第5步：另一方面，${\iiint }_V{R}_z\mathrm{d}V={\iint }_D\mathrm{d}\sigma {\int }_{z_1}^{z_2}{R}_z\mathrm{d}z={\iint }_D[R(x,y,z_2)-R(x,y,z_1)]\mathrm{d}\sigma$。

所以 $\iint R\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iiint }_V{R}_z\mathrm{d}V$。

第6步：同理证明 $P$ 和 $Q$ 的等式，三式相加即得Gauss公式。

证毕

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定理14.5.3 Stokes公式

定理陈述：设 $S$ 为光滑曲面，边界曲线 $L$ 分段光滑，方向与 $S$ 的法向量成右手系，则：

$${\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z={\iint }_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

证明：

核心想法：先对特殊曲面（$z=z(x,y)$）证明 ${\oint }_{L}P\mathrm{d}x=-{\iint }_S{P}_y\mathrm{d}x\mathrm{d}y+P_z\mathrm{d}z\mathrm{d}x$ 等，再合并。

第1步：设 $S$ 的方程为 $z=z(x,y)$，$(x,y)\in D$，取上侧。边界 $L$ 的参数方程为 $x=x(t),y=y(t),z=z(x(t),y(t))$。

第2步：${\oint }_{L}P\mathrm{d}x={\oint }_{\partial D}P(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x$（因为 $z=z(x,y)$，$\mathrm{d}x$ 只依赖 $x$ 的变化）。

第3步：对 ${\oint }_{\partial D}P(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x$ 用Green公式：

$${\oint }_{\partial D}P(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x=-{\iint }_D\frac{\partial }{\partial y}[P(x,y,z(x,y))]\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

第4步：由链式法则，$\frac{\partial }{\partial y}P(x,y,z(x,y))=P_y+P_z\cdot z_y$。

所以 ${\oint }_{L}P\mathrm{d}x=-{\iint }_D(P_y+P_z{z}_y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

第5步：注意到 $\mathrm{d}z\mathrm{d}x=-z_y\mathrm{d}x\mathrm{d}y$（上侧法向量 $\vec{n}=(-z_x,-z_y,1)$，$\cos \beta =\frac{-z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$，$\mathrm{d}z\mathrm{d}x=\cos \beta \mathrm{d}S=-z_y\mathrm{d}x\mathrm{d}y$）。

所以 ${\oint }_{L}P\mathrm{d}x=-{\iint }_S{P}_y\mathrm{d}x\mathrm{d}y+P_z\mathrm{d}z\mathrm{d}x$。

第6步：同理 ${\oint }_{L}Q\mathrm{d}y=-{\iint }_S{Q}_x\mathrm{d}x\mathrm{d}y+Q_z\mathrm{d}z\mathrm{d}y$，${\oint }_{L}R\mathrm{d}z=-{\iint }_S{R}_x\mathrm{d}x\mathrm{d}z+R_y\mathrm{d}y\mathrm{d}z$。

第7步：三式相加，整理即得Stokes公式。

证毕

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例子：定理14.5.3 Stokes公式 — 例子

§6 场论初步

定理14.6.1 保守场的等价条件

定理陈述：设 $D$ 为单连通区域，$\vec{F}=(P,Q,R)$ 在 $D$ 上有连续偏导数，则下列条件等价：

1. $\vec{F}$ 是保守场（存在势函数 $u$ 使得 $\vec{F}=\nabla u$）
2. $\vec{F}$ 是无旋场（$\nabla \times \vec{F}=0$，即 $Q_z=R_y$，$R_x=P_z$，$P_y=Q_x$）
3. 沿 $D$ 内任意闭曲线的曲线积分为零

证明：

核心想法：证明 $1\Rightarrow 2\Rightarrow 3\Rightarrow 1$ 的循环。

第1步（$1\Rightarrow 2$）：设 $\vec{F}=\nabla u$，即 $P=u_x$，$Q=u_y$，$R=u_z$。

由混合偏导数相等（定理12.1.2）：$P_y=u_{xy}=u_{yx}=Q_x$，$Q_z=u_{yz}=u_{zy}=R_y$，$R_x=u_{zx}=u_{xz}=P_z$。

所以 $\nabla \times \vec{F}=0$。

第2步（$2\Rightarrow 3$）：设 $\nabla \times \vec{F}=0$，$C$ 是 $D$ 中任意闭曲线。因为 $D$ 单连通，$C$ 可张成曲面 $S\subset D$。

由Stokes公式：${\oint }_{C}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z={\iint }_S(\nabla \times \vec{F})\cdot \vec{n}\mathrm{d}S=0$。

第3步（$3\Rightarrow 1$）：设沿任意闭曲线积分为零。固定 $(x_0,y_0,z_0)\in D$，定义：

$$u(x,y,z)={\int }_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z.$$

因为闭曲线积分为零，线积分与路径无关，$u$ 是良定义的。

第4步：取从 $(x_0,y_0,z_0)$ 到 $(x,y,z)$ 的路径，最后一段沿 $x$ 方向：

$$u(x+\Delta x,y,z)-u(x,y,z)={\int }_x^{x+\Delta x}P(t,y,z)\mathrm{d}t.$$

第5步：$\frac{\partial u}{\partial x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}{\int }_x^{x+\Delta x}P(t,y,z)\mathrm{d}t=P(x,y,z)$。

同理 $u_y=Q$，$u_z=R$。所以 $\vec{F}=\nabla u$，$\vec{F}$ 是保守场。

证毕

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例子：定理14.6.1 保守场的等价条件 — 例子

相关链接

• 数学分析 定理索引
• 第十三章 重积分
• 第十五章 含参变量积分

来源引用

• [数学分析 陈纪修 第三版 下](raw/数学分析 陈纪修 第三版 下/full.md)