第十三章 重积分 — 例子

定义 二重积分 — 例子

例1：${\iint }_{D}1d\sigma =D$ 的面积。若 $D=[0,1]\times [0,1]$，则 ${\iint }_{D}1d\sigma =1$。

例2：${\iint }_D(x+y)dxdy$，$D=[0,1]\times [0,1]$：${\int }_0^1{\int }_0^1(x+y)dxdy={\int }_0^1(\frac{1}{2}+y)dy=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。

定义：定义 二重积分

定义 三重积分 — 例子

例1：${\iiint }_{V}1dV=V$ 的体积。若 $V=[0,1{]}^3$，则 ${\iiint }_{V}1dV=1$。

例2：${\iiint }_{V}zdV$，$V=\{(x,y,z):0⩽z⩽1-x-y,x⩾0,y⩾0,x+y⩽1\}$：${\int }_0^1{\int }_0^{1-x}{\int }_0^{1-x-y}zdzdydx={\int }_0^1{\int }_0^{1-x}\frac{(1-x-y{)}^2}{2}dydx=\frac{1}{24}$。

定义：定义 三重积分

定义 有界集的Jordan测度 — 例子

例1：$D=\{(x,y):x^2+y^2⩽1\}$ 的Jordan测度（面积）为 $\pi$。

例2：$D=\{(x,y)\in [0,1{]}^2:x\in \mathbf{Q}\}$ 不是Jordan可测的（边界面积为1，内面积为0）。

定义：定义 有界集的Jordan测度

定理 重积分的存在性 — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$ 在 $D=\{(x,y):x^2+y^2⩽1\}$ 上连续，$D$ 有界闭，故 $f$ 在 $D$ 上可积（存在性定理）。

定理：定理 重积分的存在性

定理 重积分的性质 — 例子

例1：${\iint }_D(2x+3y)d\sigma =2{\iint }_{D}xd\sigma +3{\iint }_{D}yd\sigma$（线性性）。

例2：若 $D=D_1\cup D_2$（$D_1\cap D_2$ 面积为0），${\iint }_{D}fd\sigma ={\iint }_{D_1}fd\sigma +{\iint }_{D_2}fd\sigma$（可加性）。

定理：定理 重积分的性质

定理 化二重积分为累次积分 — 例子

例1：${\iint }_D{x}^{2}ydxdy$，$D=\{(x,y):0⩽x⩽1,0⩽y⩽x\}$：${\int }_0^{1}dx{\int }_0^x{x}^{2}ydy={\int }_0^1{x}^2\cdot \frac{x^2}{2}dx=\frac{1}{10}$（累次积分）。

定理：定理 化二重积分为累次积分

定理 极坐标变换 — 例子

例1：${\iint }_D(x^2+y^2)d\sigma$，$D=\{(x,y):x^2+y^2⩽1\}$：${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1{r}^2\cdot rdr=2\pi \cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi }{2}$（极坐标变换，Jacobi行列式 $J=r$）。

定理：定理 极坐标变换

定理 三重积分的计算 — 例子

例1：${\iiint }_{V}xyzdV$，$V=[0,1{]}^3$：${\int }_0^1{\int }_0^1{\int }_0^{1}xyzdxdydz=({\int }_0^{1}xdx{)}^3=\frac{1}{8}$。

定理：定理 三重积分的计算

定理 柱坐标变换 — 例子

例1：${\iiint }_{V}zdV$，$V=\{(x,y,z):x^2+y^2⩽1,0⩽z⩽1\}$：${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1}rdr{\int }_0^{1}zdz=2\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi }{2}$（柱坐标变换）。

定理：定理 柱坐标变换

定理 球坐标变换 — 例子

例1：${\iiint }_V(x^2+y^2+z^2)dV$，$V=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2⩽1\}$：${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }\sin \phi d\phi {\int }_0^1{r}^2\cdot r^{2}dr=2\pi \cdot 2\cdot \frac{1}{5}=\frac{4\pi }{5}$（球坐标变换）。

定理：定理 球坐标变换

定理 曲面面积公式 — 例子

例1：球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的面积：$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$，$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}$，面积 $=2{\iint }_{x^2+y^2⩽R^2}\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}d\sigma =4\pi R^2$（曲面面积公式）。

定理：定理 曲面面积公式

定理 重积分换元公式 — 例子

例1：极坐标变换 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，$J=r$，${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot rdrd\theta$（换元公式，Jacobi行列式 $J=r$）。

定理：定理 重积分换元公式