第十一章 Euclid空间上的极限和连续

本章包含Euclid空间上的极限和连续相关的重要定理。

§1 Euclid空间上的基本概念

定义 Euclid距离

设 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 和 $\mathbf{y}=(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的两点，定义 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$ 之间的**Euclid距离**为

$$d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\Vert \mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}.$$

例子：定义 Euclid距离 — 例子

定义 邻域

设 ${\mathbf{x}}_0\in {\mathbf{R}}^n$，$\delta >0$，称点集

$$O({\mathbf{x}}_0,\delta )=\{\mathbf{x}\in {\mathbf{R}}^n\mid \Vert \mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0\Vert <\delta \}$$

为 ${\mathbf{x}}_0$ 的 $\delta$ 邻域（或开球）。

例子：定义 邻域 — 例子

定义 内点、外点与边界点

设 $S\subset {\mathbf{R}}^n$，${\mathbf{x}}_0\in {\mathbf{R}}^n$。

• 若存在 $\delta >0$，使得 $O({\mathbf{x}}_0,\delta )\subset S$，则称 ${\mathbf{x}}_0$ 为 $S$ 的内点。
• 若存在 $\delta >0$，使得 $O({\mathbf{x}}_0,\delta )\cap S=\varnothing$，则称 ${\mathbf{x}}_0$ 为 $S$ 的外点。
• 若 ${\mathbf{x}}_0$ 既不是 $S$ 的内点也不是 $S$ 的外点，即对任意 $\delta >0$，$O({\mathbf{x}}_0,\delta )$ 中既有 $S$ 中的点也有不在 $S$ 中的点，则称 ${\mathbf{x}}_0$ 为 $S$ 的边界点。

例子：定义 内点、外点与边界点 — 例子

定义 开集与闭集

设 $S\subset {\mathbf{R}}^n$。若 $S$ 中的每一点都是 $S$ 的内点，则称 $S$ 为开集。若 $S$ 的补集 $S^c={\mathbf{R}}^n\setminus S$ 是开集，则称 $S$ 为闭集。

定义 聚点

设 $S\subset {\mathbf{R}}^n$，${\mathbf{x}}_0\in {\mathbf{R}}^n$。若对于任意 $\delta >0$，去心邻域 $\{x\in O({\mathbf{x}}_0,\delta )\mid x\ne {\mathbf{x}}_0\}$ 中总有 $S$ 中的点，则称 ${\mathbf{x}}_0$ 为 $S$ 的聚点。$S$ 的聚点全体与 $S$ 的并集称为 $S$ 的闭包，记为 $\overline{S}$。

定义 有界集与紧集

设 $S\subset {\mathbf{R}}^n$。若存在 $M>0$，使得对一切 $\mathbf{x}\in S$，有 $\Vert \mathbf{x}\Vert ⩽M$，则称 $S$ 为有界集。若 $S$ 的任一开覆盖都有有限子覆盖，则称 $S$ 为紧集。

定义 点列的收敛

设 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的点列，${\mathbf{x}}_0\in {\mathbf{R}}^n$。如果

$$\underset{k\to \infty }{\lim }\Vert {\mathbf{x}}_k-{\mathbf{x}}_0\Vert =0,$$

则称点列 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 收敛于 ${\mathbf{x}}_0$，记为 ${\lim }_{k\to \infty }{\mathbf{x}}_k={\mathbf{x}}_0$。

定义 多元函数的极限

设 $f:D\to \mathbf{R}$（$D\subset {\mathbf{R}}^n$），${\mathbf{x}}_0$ 是 $D$ 的聚点。如果存在实数 $A$，对于任意给定的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得当 $\mathbf{x}\in D$ 且 $0<\Vert \mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0\Vert <\delta$ 时，成立

$$|f(\mathbf{x})-A|<\epsilon ,$$

则称 $A$ 为 $f(\mathbf{x})$ 当 $\mathbf{x}\to {\mathbf{x}}_0$ 时的极限，记为 ${\lim }_{\mathbf{x}\to {\mathbf{x}}_0}f(\mathbf{x})=A$。

定义 多元函数的连续

设 $f:D\to \mathbf{R}$，${\mathbf{x}}_0\in D$。如果

$$\underset{\mathbf{x}\to {\mathbf{x}}_0}{\lim }f(\mathbf{x})=f({\mathbf{x}}_0),$$

则称 $f$ 在 ${\mathbf{x}}_0$ 处连续。

定义 映射的连续

设 $\mathbf{f}:D\to {\mathbf{R}}^m$（$D\subset {\mathbf{R}}^n$），${\mathbf{x}}_0\in D$。如果

$$\underset{\mathbf{x}\to {\mathbf{x}}_0}{\lim }\Vert \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}({\mathbf{x}}_0)\Vert =0,$$

则称映射 $\mathbf{f}$ 在 ${\mathbf{x}}_0$ 处连续。

定义 一致连续（多元）

设 $f:D\to \mathbf{R}$。如果对于任意给定的 $\epsilon >0$0$，存在$\delta > 0$，使得对$D$中任意两点$\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2$，当$|\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2| < \delta$ 时，成立

$$|f({\mathbf{x}}_1)-f({\mathbf{x}}_2)|<\epsilon ,$$

则称 $f$ 在 $D$ 上一致连续。

例子：定义 一致连续（多元） — 例子

定义 连通集

设 $S\subset {\mathbf{R}}^n$。若 $S$ 不能表示为两个非空的不相交开集之并，则称 $S$ 为连通集。${\mathbf{R}}^n$ 中的连通开集称为区域。

例子：定义 连通集 — 例子

定理 距离的性质

定理陈述：距离满足以下性质：

1. 正定性：$d(x,y)⩾0$，等号当且仅当 $x=y$ 成立
2. 对称性：$d(x,y)=d(y,x)$
3. 三角不等式：$d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$

证明：

核心想法：正定性和对称性直接由定义得出，三角不等式需要Cauchy-Schwarz不等式。

在 ${\mathbf{R}}^n$ 中，$d(x,y)=\Vert x-y\Vert =\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$（Euclid距离）。

正定性：$d(x,y)=\sqrt{\sum (x_i-y_i{)}^2}⩾0$。等号成立当且仅当每个 $(x_i-y_i{)}^2=0$，即 $x_i=y_i$ 对一切 $i$，即 $x=y$。

对称性：$d(x,y)=\sqrt{\sum (x_i-y_i{)}^2}=\sqrt{\sum (y_i-x_i{)}^2}=d(y,x)$。

三角不等式：

第1步：需要证明 $\Vert a+b\Vert ⩽\Vert a\Vert +\Vert b\Vert$（令 $a=x-y$，$b=y-z$，则 $a+b=x-z$）。

第2步：先证Cauchy-Schwarz不等式：${\left(\sum a_i{b}_i\right)}^2⩽\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)$。

对任意实数 $t$，$\sum (a_i+t{b}_i{)}^2⩾0$，展开得 $\sum a_i^2+2t\sum a_i{b}_i+t^2\sum b_i^2⩾0$。

这是关于 $t$ 的二次函数恒非负，判别式 $⩽0$：$4{\left(\sum a_i{b}_i\right)}^2-4\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)⩽0$。

第3步：由Cauchy-Schwarz不等式：

$$\Vert a+b{\Vert }^2=\sum (a_i+b_i{)}^2=\sum a_i^2+2\sum a_i{b}_i+\sum b_i^2⩽\Vert a{\Vert }^2+2\Vert a\Vert \Vert b\Vert +\Vert b{\Vert }^2=(\Vert a\Vert +\Vert b\Vert {)}^2.$$

开方得 $\Vert a+b\Vert ⩽\Vert a\Vert +\Vert b\Vert$，即 $d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$。

证毕

定理 按分量收敛

定理陈述：${\lim }_{k\to \infty }{x}_k=a$ 的充分必要条件是 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_i^k=a_i(i=1,2,\dots ,n)$。

证明：

核心想法：距离 $d(x_k,a)=\sqrt{\sum (x_i^k-a_i{)}^2}$，而每个分量差 $|x_i^k-a_i|⩽d(x_k,a)⩽\sqrt{n}{\max }_i|x_i^k-a_i|$。

第1步（必要性）：设 $d(x_k,a)\to 0$（即点列收敛）。因为 $|x_i^k-a_i|⩽\sqrt{{\sum }_{j=1}^n(x_j^k-a_j{)}^2}=d(x_k,a)\to 0$，所以 $x_i^k\to a_i$。

第2步（充分性）：设每个 $x_i^k\to a_i$。则 $d(x_k,a{)}^2={\sum }_{i=1}^n(x_i^k-a_i{)}^2$。因为每项趋于零，有限项之和也趋于零，所以 $d(x_k,a)\to 0$，即点列收敛于 $a$。

证毕

意义：多元极限等价于每个分量分别取极限，这使得我们可以把一维的结果推广到高维。

定理 聚点的刻画

定理陈述：$x$ 是点集 $S(\subset {\mathbf{R}}^n)$ 的聚点的充分必要条件是：存在点列 $\{x_k\}$ 满足 $x_k\in S,x_k\ne x(k=1,2,\dots )$，使得 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_k=x$。

证明：

核心想法：聚点定义是每个邻域都含 $S$ 中异于 $x$ 的点，这等价于可以取一列点收敛于 $x$。

第1步（必要性）：设 $x$ 是 $S$ 的聚点。则对任意 $\epsilon >0$，$O(x,\epsilon )\setminus \{x\}$ 中有 $S$ 的点。

取 ${\epsilon }_k=\frac{1}{k}$，存在 $x_k\in S$，$x_k\ne x$，$x_k\in O(x,\frac{1}{k})$，即 $d(x_k,x)<\frac{1}{k}$。

所以 $d(x_k,x)\to 0$，即 $x_k\to x$。

第2步（充分性）：设存在 $\{x_k\}\subset S$，$x_k\ne x$，$x_k\to x$（点列收敛）。对任意 $\epsilon >0$，因为 $x_k\to x$，存在 $K$ 使得 $d(x_K,x)<\epsilon$。又 $x_K\ne x$，所以 $x_K\in O(x,\epsilon )\setminus \{x\}$。

这证明了 $x$ 的每个邻域都含 $S$ 中异于 $x$ 的点，即 $x$ 是聚点。

证毕

定理 开集与闭集的关系

定理陈述：${\mathbf{R}}^n$ 上的点集 $S$ 为闭集的充分必要条件是 $S^c$ 是开集。

证明：

核心想法：闭集的定义是包含所有聚点，开集的定义是每个点都是内点。利用聚点和内点的对偶关系。

第1步（必要性）：设 $S$ 是闭集。要证 $S^c$ 是开集，即 $S^c$ 中每个点都是内点。

任取 $x\in S^c$。若 $x$ 不是 $S^c$ 的内点，则对任意 $\epsilon >0$，$O(x,\epsilon )$ 不含于 $S^c$，即 $O(x,\epsilon )\cap S\ne \varnothing$。

这说明 $x$ 的每个邻域都含 $S$ 中的点。若 $x\in S$，与 $x\in S^c$ 矛盾。若 $x\notin S$，则 $x$ 的每个邻域含 $S$ 中异于 $x$ 的点，即 $x$ 是 $S$ 的聚点。但 $S$ 闭，$x\in S$，又与 $x\in S^c$ 矛盾。

所以 $x$ 必须是 $S^c$ 的内点，$S^c$ 是开集。

第2步（充分性）：设 $S^c$ 是开集。要证 $S$ 是闭集，即 $S$ 包含其所有聚点。

设 $x$ 是 $S$ 的聚点。若 $x\notin S$，则 $x\in S^c$。因为 $S^c$ 开，存在 $\epsilon >0$ 使得 $O(x,\epsilon )\subset S^c$，即 $O(x,\epsilon )\cap S=\varnothing$。这与 $x$ 是 $S$ 的聚点矛盾。

所以 $x\in S$，$S$ 是闭集。

证毕

定理 开集的性质

定理陈述：

1. 任意一组开集 $\{S_{\alpha }\}$ 的并集 ${\bigcup }_{\alpha }{S}_{\alpha }$ 是开集
2. 有限个开集的交集是开集

证明：

核心想法：直接用开集的定义（每个点都是内点）验证。

第1步（并集）：设每个 $S_{\alpha }$ 是开集。任取 $x\in {\bigcup }_{\alpha }{S}_{\alpha }$，则存在某个 ${\alpha }_0$ 使得 $x\in S_{{\alpha }_0}$。因为 $S_{{\alpha }_0}$ 开，存在 $\epsilon >0$ 使得 $O(x,\epsilon )\subset S_{{\alpha }_0}\subset {\bigcup }_{\alpha }{S}_{\alpha }$。所以 $x$ 是并集的内点，并集是开集。

第2步（有限交集）：设 $S_1,\dots ,S_m$ 是开集。任取 $x\in {\bigcap }_{i=1}^m{S}_i$，则 $x\in S_i$ 对每个 $i$。因为每个 $S_i$ 开，存在 ${\epsilon }_i>0$ 使得 $O(x,{\epsilon }_i)\subset S_i$。

取 $\epsilon =\min ({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_m)>0$（有限个正数取最小值仍为正），则 $O(x,\epsilon )\subset S_i$ 对每个 $i$，即 $O(x,\epsilon )\subset {\bigcap }_{i=1}^m{S}_i$。所以交集是开集。

注意：无限交集不一定是开集。例如 $S_n=(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ 是开集，但 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{S}_n=\{0\}$ 不是开集。

证毕

例子：定理 开集的性质 — 例子

§2 多元函数的极限与连续

定理 多元函数极限的惟一性

定理陈述：多元函数的极限如果存在，则必惟一。

证明：

核心想法：与一元情形相同，用三角不等式推出矛盾。

第1步：设 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ 且 ${\lim }_{x\to a}f(x)=B$，$A\ne B$。

第2步：取 $\epsilon =\frac{d(A,B)}{3}>0$。由极限定义，存在 $\delta >0$，当 $0<d(x,a)<\delta$ 时：

$$d(f(x),A)<\epsilon ,d(f(x),B)<\epsilon .$$

第3步：由三角不等式：

$$d(A,B)⩽d(A,f(x))+d(f(x),B)<2\epsilon =\frac{2d(A,B)}{3}.$$

矛盾。所以 $A=B$。

证毕

例子：定理 多元函数极限的惟一性 — 例子

定理 多元函数极限的局部有界性

定理陈述：若多元函数在某点的极限存在，则函数在该点的某去心邻域内有界。

证明：

核心想法：取 $\epsilon =1$，极限值有限，则 $f(x)$ 落在极限值的1-邻域内，自然有界。

第1步：设 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$。取 $\epsilon =1$，存在 $\delta >0$，当 $0<d(x,a)<\delta$ 时 $d(f(x),A)<1$。

第2步：此时 $\Vert f(x)\Vert ⩽\Vert A\Vert +\Vert f(x)-A\Vert <\Vert A\Vert +1$。

所以在去心邻域 $\{x:0<d(x,a)<\delta \}$ 内，$|f(x)|⩽M=\Vert A\Vert +1$。

证毕

例子：定理 多元函数极限的局部有界性 — 例子

定理 多元连续函数的有界性定理

定理陈述：若多元函数在有界闭集上连续，则它在该集合上有界。

证明：

核心想法：用反证法 + Bolzano-Weierstrass定理。若无界，取点列使函数值趋于无穷，有界闭集中有收敛子列，在极限点处连续性给出矛盾。

第1步：设 $f$ 在有界闭集 $D\subset {\mathbf{R}}^n$ 上连续。假设 $f$ 在 $D$ 上无界。

第2步：则对每个 $k$，存在 $x_k\in D$ 使得 $|f(x_k)|>k$。

第3步：$\{x_k\}\subset D$，$D$ 有界，由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列 $x_{k_j}\to x_0$。因为 $D$ 闭，$x_0\in D$。

第4步：由 $f$ 在 $x_0$ 连续，$f(x_{k_j})\to f(x_0)$。但 $|f(x_{k_j})|>k_j\to +\infty$，矛盾。

所以 $f$ 在 $D$ 上有界。

证毕

例子：定理 多元连续函数的有界性定理 — 例子

定理 多元连续函数的最值定理

定理陈述：若多元函数在有界闭集上连续，则它在该集合上必能取到最大值和最小值。

证明：

核心想法：由有界性定理，值域有上界，上确界存在。取点列使函数值趋近上确界，用Bolzano-Weierstrass定理找到极限点，连续性保证极限点处取到上确界。

第1步：设 $f$ 在有界闭集 $D$ 上连续。由定理11.2.3，$f$ 有界，设 $M={\sup }_{x\in D}f(x)$。

第2步：由上确界定义，对每个 $k$，存在 $x_k\in D$ 使得 $f(x_k)>M-\frac{1}{k}$。

第3步：$\{x_k\}\subset D$ 有界，由Bolzano-Weierstrass定理，存在子列 $x_{k_j}\to x_0\in D$（$D$ 闭）。

第4步：由连续性，$f(x_0)={\lim }_{j\to \infty }f(x_{k_j})⩾{\lim }_{j\to \infty }\left(M-\frac{1}{k_j}\right)=M$。

又 $f(x_0)⩽M$（$M$ 是上确界），所以 $f(x_0)=M$，即 $f$ 在 $x_0$ 取到最大值。

最小值类似（对 $-f$ 用上述论证）。

证毕

例子：定理 多元连续函数的最值定理 — 例子

定理 多元连续函数的介值定理

定理陈述：若多元函数在有界闭集上连续，则它必能取到介于最大值和最小值之间的所有值。

证明：

核心想法：设 $f$ 在 $D$ 上取到最小值 $m$ 和最大值 $M$。对任意 $c\in (m,M)$，在 $D$ 中找两点 $a,b$ 使 $f(a)<c<f(b)$，用 $D$ 中路径连接 $a,b$，化为一元连续函数的介值定理。

第1步：设 $f(a)=m$，$f(b)=M$。对任意 $c\in (m,M)$，要证存在 $x_0\in D$ 使 $f(x_0)=c$。

第2步：因为 $D$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的有界闭集（连通闭集），$D$ 是道路连通的（对 ${\mathbf{R}}^n$ 中的连通开集或其闭包成立）。存在连续映射 $\gamma :[0,1]\to D$，$\gamma (0)=a$，$\gamma (1)=b$。

第3步：令 $g(t)=f(\gamma (t))$，$t\in [0,1]$。$g$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，$g(0)=m<c<M=g(1)$。

第4步：由一元连续函数的介值定理，存在 $t_0\in (0,1)$ 使得 $g(t_0)=c$，即 $f(\gamma (t_0))=c$。

证毕

例子：定理 多元连续函数的介值定理 — 例子

定理 多元连续函数的一致连续性

定理陈述：若多元函数在有界闭集上连续，则它在该集合上一致连续。

证明：

核心想法：与一元的Cantor定理证明思路相同，用反证法 + Bolzano-Weierstrass定理。

第1步：设 $f$ 在有界闭集 $D$ 上连续。假设不一致连续，则存在 ${\epsilon }_0>0$，对任意 $\delta >0$，存在 $x_{\delta },y_{\delta }\in D$，$d(x_{\delta },y_{\delta })<\delta$ 但 $|f(x_{\delta })-f(y_{\delta })|⩾{\epsilon }_0$。

第2步：取 $\delta =\frac{1}{k}$，得到 $\{x_k\},\{y_k\}\subset D$，$d(x_k,y_k)<\frac{1}{k}$，$|f(x_k)-f(y_k)|⩾{\epsilon }_0$。

第3步：$\{x_k\}$ 有界，由Bolzano-Weierstrass定理，存在子列 $x_{k_j}\to x_0\in D$。

第4步：$d(y_{k_j},x_0)⩽d(y_{k_j},x_{k_j})+d(x_{k_j},x_0)<\frac{1}{k_j}+d(x_{k_j},x_0)\to 0$，所以 $y_{k_j}\to x_0$。

第5步：由 $f$ 在 $x_0$ 连续，$f(x_{k_j})\to f(x_0)$，$f(y_{k_j})\to f(x_0)$，所以 $|f(x_{k_j})-f(y_{k_j})|\to 0$。但 $|f(x_{k_j})-f(y_{k_j})|⩾{\epsilon }_0$，矛盾。

所以 $f$ 在 $D$ 上一致连续。

证毕

例子：定理 多元连续函数的一致连续性 — 例子

§3 ${\mathbf{R}}^n$中的基本定理

定理 闭集套定理

定理陈述：如果 $\{S_n\}$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中非空有界闭集序列，满足 $S_1\supset S_2\supset \cdots$，且 ${\lim }_{n\to \infty }\mathrm{diam}(S_n)=0$，则 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{S}_n$ 恰含一点。

证明：

核心想法：从每个 $S_n$ 中取一点，得到Cauchy列，极限点属于所有 $S_n$。

第1步：对每个 $n$，取 $x_n\in S_n$。

第2步：当 $m>n$ 时，$x_m\in S_m\subset S_n$，所以 $x_m,x_n\in S_n$，$d(x_m,x_n)⩽\mathrm{diam}(S_n)\to 0$。

所以 $\{x_n\}$ 是Cauchy列。

第3步：由Cauchy收敛原理，$x_n\to x_0$（某个 ${\mathbf{R}}^n$ 中的点）。

第4步：对任意固定的 $n$，当 $m⩾n$ 时 $x_m\in S_n$。因为 $S_n$ 闭，极限 $x_0\in S_n$。

所以 $x_0\in {\bigcap }_{n=1}^{\infty }{S}_n$。

第5步：若 $y_0\in {\bigcap }_{n=1}^{\infty }{S}_n$，则 $x_0,y_0\in S_n$ 对一切 $n$，$d(x_0,y_0)⩽\mathrm{diam}(S_n)\to 0$，所以 $x_0=y_0$。

交集恰含一点 $x_0$。

证毕

例子：定理 闭集套定理 — 例子

定理 Bolzano-Weierstrass定理

定理陈述：${\mathbf{R}}^n$ 中有界点列必有收敛子列。

证明：

核心想法：对每个分量用一维的Bolzano-Weierstrass定理，用对角线法则。

第1步：设 $\{x_k\}\subset {\mathbf{R}}^n$ 有界，即存在 $M$ 使得 $\Vert x_k\Vert ⩽M$。

第2步：第1个分量 $\{x_1^k\}$ 是有界数列，由一维Bolzano-Weierstrass定理，有收敛子列 $\{x_1^{k_{1,j}}\}$。

第3步：在子列 $\{x_{k_{1,j}}\}$ 中，第2个分量 $\{x_2^{k_{1,j}}\}$ 有界，再取收敛子列 $\{x_2^{k_{2,j}}\}$。

第4步：继续对第3, …, $n$ 个分量取子列。最终得到子列 $\{x_{k_j}\}$，其每个分量都收敛。

第5步：由定理11.1.2（按分量收敛），$\{x_{k_j}\}$ 在 ${\mathbf{R}}^n$ 中收敛。

证毕

例子：定理 Bolzano-Weierstrass定理 — 例子

定理 Cauchy收敛原理

定理陈述：${\mathbf{R}}^n$ 中点列收敛的充分必要条件是它是Cauchy列。

证明：

核心想法：利用按分量收敛化为一维情形。

第1步（必要性）：设 $x_k\to x_0$（点列收敛）。对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$，当 $k>N$ 时 $d(x_k,x_0)<\frac{\epsilon }{2}$。当 $k,l>N$ 时：

$$d(x_k,x_l)⩽d(x_k,x_0)+d(x_0,x_l)<\epsilon .$$

第2步（充分性）：设 $\{x_k\}$ 是Cauchy列，即 $d(x_k,x_l)\to 0$（$k,l\to \infty$）。

对每个分量 $i$，$|x_i^k-x_i^l|⩽d(x_k,x_l)\to 0$，所以 $\{x_i^k\}$ 是 $\mathbf{R}$ 中的Cauchy列。

由 $\mathbf{R}$ 的完备性，$x_i^k\to a_i$。由定理11.1.2，$x_k\to a=(a_1,\dots ,a_n)$。

证毕

例子：定理 Cauchy收敛原理 — 例子

定理 紧致性定理

定理陈述：${\mathbf{R}}^n$ 中点集是紧致集的充分必要条件是它是有界闭集。

证明：

核心想法：紧致集定义为每个开覆盖有有限子覆盖。有界闭集 $\Rightarrow$ 紧致用反证法 + 闭集套定理；紧致 $\Rightarrow$ 有界闭集较简单。

第1步（紧致 $\Rightarrow$ 有界闭集）：

有界：对每个 $x\in K$，开球 $O(x,1)$ 覆盖 $K$。$K$ 紧致，有有限子覆盖 $O(x_1,1),\dots ,O(x_m,1)$，所以 $K$ 有界。

闭集：设 $y$ 是 $K$ 的聚点，$y\notin K$。对每个 $x\in K$，取 $r_x=\frac{d(x,y)}{2}>0$，则 $\{O(x,r_x){\}}_{x\in K}$ 覆盖 $K$。紧致，有有限子覆盖。但 $y$ 与每个 $O(x_i,r_{x_i})$ 的距离 $⩾r_{x_i}>0$，所以 $y$ 有邻域不含 $K$ 中的点，与 $y$ 是聚点矛盾。

第2步（有界闭集 $\Rightarrow$ 紧致）：

设 $K$ 有界闭，$\{U_{\alpha }\}$ 是 $K$ 的开覆盖。假设没有有限子覆盖。

第3步：将 $K$ 包含在某个闭立方体 $I_0$ 中。将 $I_0$ 等分为 $2^n$ 个小闭立方体，其中与 $K$ 相交的那些构成闭集 $K_1^{(i)}$。至少有一个 $K_1^{(i)}$ 不能被有限个 $U_{\alpha }$ 覆盖（否则 $K$ 就能被有限覆盖）。

第4步：对这个小立方体继续等分，重复上述过程，得到闭集套 $K\supset F_1\supset F_2\supset \cdots$，$\mathrm{diam}(F_n)\to 0$，每个 $F_n$ 不能被有限覆盖。

第5步：由闭集套定理，$\bigcap F_n=\{x_0\}$，$x_0\in K$。存在某个 $U_{{\alpha }_0}$ 包含 $x_0$，从而包含某个 $F_n$（直径足够小时），与 $F_n$ 不能被有限覆盖矛盾。

所以 $K$ 紧致。

证毕

例子：定理 紧致性定理 — 例子

相关链接

• 数学分析 定理索引
• 第十章 函数项级数
• 第十二章 多元函数的微分学

来源引用

• [数学分析 陈纪修 第三版 下](raw/数学分析 陈纪修 第三版 下/full.md)