第十一章 Euclid空间上的极限和连续 — 例子

定义 Euclid距离 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^3$ 中，$x=(1,2,3)$，$y=(4,0,-1)$，$d(x,y)=\sqrt{(1-4{)}^2+(2-0{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}$。

定义：定义 Euclid距离

定义 邻域 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^2$ 中，$O((0,0),1)=\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ 是以原点为心的单位圆盘（不含边界）。

定义：定义 邻域

定义 内点、外点与边界点 — 例子

例1：$S=\{(x,y):x^2+y^2<1\}$（开圆盘）。$(0,0)$ 是内点，$(2,0)$ 是外点，$(1,0)$ 是边界点。

定义：定义 内点、外点与边界点

定义 开集与闭集 — 例子

例1：$\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ 是开集。$\{(x,y):x^2+y^2⩽1\}$ 是闭集。

例2：${\mathbf{R}}^n$ 和 $\varnothing$ 既开又闭。

定义：定义 开集与闭集

定义 聚点 — 例子

例1：$S=\{(x,y):x^2+y^2<1\}$，$S$ 的聚点集为 $\{(x,y):x^2+y^2⩽1\}$（包含边界）。

定义：定义 聚点

定义 有界集与紧集 — 例子

例1：$\{(x,y):x^2+y^2⩽1\}$ 是有界闭集，因而是紧集（Heine-Borel定理）。

例2：$\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ 有界但不是紧集（不是闭集）。

定义：定义 有界集与紧集

定义 点列的收敛 — 例子

例1：$x^{(n)}=(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2})$，${\lim }_{n\to \infty }{x}^{(n)}=(0,0)$（点列收敛）：$d(x^{(n)},(0,0))=\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}\to 0$。

定义：定义 点列的收敛

定义 多元函数的极限 — 例子

例1：${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}=0$：$\left|\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}\right|⩽|y|⩽\sqrt{x^2+y^2}\to 0$。

例2：$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 处极限不存在：沿 $y=kx$ 趋于0时极限为 $\frac{k}{1+k^2}$，与 $k$ 有关。

定义：定义 多元函数的极限

定义 多元函数的连续 — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$ 在 ${\mathbf{R}}^2$ 上连续。

例2：$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$（$f(0,0)=0$）在 $(0,0)$ 不连续（极限不存在）。

定义：定义 多元函数的连续

定义 映射的连续 — 例子

例1：$F:{\mathbf{R}}^2\to {\mathbf{R}}^2$，$F(x,y)=(x+y,x-y)$ 连续（每个分量函数连续）。

定义：定义 映射的连续

定义 一致连续（多元） — 例子

例1：$f(x,y)=x+y$ 在 ${\mathbf{R}}^2$ 上一致连续：$|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|⩽|x_1-x_2|+|y_1-y_2|⩽\sqrt{2}\cdot d((x_1,y_1),(x_2,y_2))$。

定义：定义 一致连续（多元）

定义 连通集 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^2$ 中圆盘 $\{(x,y):x^2+y^2⩽1\}$ 是连通集。

例2：$\{(x,y):xy>0\}$（第一、三象限）不是连通集（可分成两个不相交的开集）。

定义：定义 连通集

定理 距离的性质 — 例子

例1：${\mathbf{R}}^2$ 中验证三角不等式：$d((0,0),(3,4))=5$，$d((0,0),(1,1))+d((1,1),(3,4))=\sqrt{2}+\sqrt{13}⩾5$ ✓

定理：定理 距离的性质

定理 按分量收敛 — 例子

例1：$x^{(n)}=(\frac{1}{n},1+\frac{1}{n})$，$\frac{1}{n}\to 0$，$1+\frac{1}{n}\to 1$，故 $x^{(n)}\to (0,1)$。

定理：定理 按分量收敛

定理 聚点的刻画 — 例子

例1：$S=\{(x,y):x^2+y^2<1\}$，$(1,0)$ 是聚点：取 $x_n=(1-\frac{1}{n},0)\in S$，$x_n\to (1,0)$（点列收敛）。

定理：定理 聚点的刻画

定理 开集与闭集的关系 — 例子

例1：$\{(x,y):x^2+y^2>1\}$ 是开集，其补集 $\{(x,y):x^2+y^2⩽1\}$ 是闭集。

定理：定理 开集与闭集的关系

定理 开集的性质 — 例子

例1：$\{(x,y):x^2+y^2<1\}\cap \{(x,y):(x-1{)}^2+y^2<1\}$ 是有限个开集之交，仍为开集。

定理：定理 开集的性质

定理 多元函数极限的惟一性 — 例子

例1：若 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=L$，则沿任何路径趋于 $(0,0)$ 极限都是 $L$。例如 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}=0$，沿任何路径都是0。

定理：定理 多元函数极限的惟一性

定理 多元函数极限的局部有界性 — 例子

例1：${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}=0$，故存在 $(0,0)$ 的某邻域使 $|f(x,y)|⩽1$。

定理：定理 多元函数极限的局部有界性

定理 多元连续函数的有界性定理 — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$ 在 $\{(x,y):x^2+y^2⩽1\}$ 上连续，有界闭集，故有界：$0⩽f⩽1$。

定理：定理 多元连续函数的有界性定理

定理 多元连续函数的最值定理 — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$ 在 $x^2+y^2⩽1$ 上取到最小值0（在 $(0,0)$）和最大值1（在边界上）。

定理：定理 多元连续函数的最值定理

定理 多元连续函数的介值定理 — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$ 在单位圆盘上连续，$f(0,0)=0$，$f(1,0)=1$，对任意 $c\in [0,1]$，存在点使 $f=c$。

定理：定理 多元连续函数的介值定理

定理 多元连续函数的一致连续性 — 例子

例1：$f(x,y)=x^2+y^2$ 在 $x^2+y^2⩽1$ 上一致连续（紧集上连续必一致连续）。

定理：定理 多元连续函数的一致连续性

定理 闭集套定理 — 例子

例1：$F_n=\{(x,y):x^2+y^2⩽\frac{1}{n}\}$，$F_1\supset F_2\supset \cdots$，$\bigcap F_n=\{(0,0)\}$。

定理：定理 闭集套定理

定理 Bolzano-Weierstrass定理 — 例子

例1：$x^{(n)}=((-1{)}^n\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ 有界，存在收敛子列：取 $n_k=2k$，$x^{(n_k)}\to (0,0)$。

定理：定理 Bolzano-Weierstrass定理

定理 Cauchy收敛原理 — 例子

例1：$x^{(n)}=({\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k^2},\frac{1}{n})$，每个分量是Cauchy列，故 $x^{(n)}$ 收敛（Cauchy收敛原理）。

定理：定理 Cauchy收敛原理

定理 紧致性定理 — 例子

例1：$\{(x,y):x^2+y^2⩽1\}$ 是紧集：任何开覆盖 $\{O_{\alpha }\}$ 存在有限子覆盖（紧致性定理）。

定理：定理 紧致性定理