第八章 反常积分 — 例子

定义8.1.1 无穷限反常积分 — 例子

例1：${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2}={\lim }_{A\to +\infty }{\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^A={\lim }_{A\to +\infty }(1-\frac{1}{A})=1$，收敛。

例2：${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x}={\lim }_{A\to +\infty }\ln A=+\infty$，发散。

例3：${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx={\lim }_{A\to +\infty }(1-e^{-A})=1$，收敛。

定义：定义8.1.1 无穷限反常积分

定义8.1.2 无界函数的反常积分（瑕积分） — 例子

例1：${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}$（$x=0$ 是瑕点）：${\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}{\int }_{\epsilon }^1{x}^{-1/2}dx={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}(2-2\sqrt{\epsilon })=2$，收敛。

例2：${\int }_0^1\frac{dx}{x}$（$x=0$ 是瑕点）：${\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}{\int }_{\epsilon }^1\frac{dx}{x}={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}(-\ln \epsilon )=+\infty$，发散。

定义：定义8.1.2 无界函数的反常积分（瑕积分）

定义8.2.1 绝对收敛与条件收敛 — 例子

例1：${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x^2}dx$ 绝对收敛：$\left|\frac{\sin x}{x^2}\right|⩽\frac{1}{x^2}$，而 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2}$ 收敛。

例2：${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ 条件收敛：${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ 收敛（Dirichlet判别法），但 ${\int }_1^{+\infty }\frac{|\sin x|}{x}dx$ 发散。

定义：定义8.2.1 绝对收敛与条件收敛

定理8.2.1 Cauchy收敛原理（无穷限反常积分） — 例子

例1：${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x}$ 发散：取 $A_1=n$，$A_2=2n$，${\int }_n^{2n}\frac{dx}{x}=\ln 2$，不趋于0，故不满足Cauchy准则。

定理：定理8.2.1 Cauchy收敛原理（无穷限反常积分）

定理8.2.2 比较判别法 — 例子

例1：${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^3+1}$ 收敛：$\frac{1}{x^3+1}⩽\frac{1}{x^3}$，而 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^3}$ 收敛（$p=3>1$）。

例2：${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{\sqrt{x}+1}$ 发散：$\frac{1}{\sqrt{x}+1}⩾\frac{1}{2\sqrt{x}}$，而 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{\sqrt{x}}$ 发散（$p=\frac{1}{2}<1$）。

定理：定理8.2.2 比较判别法

定理8.2.3 Cauchy判别法 — 例子

例1：${\int }_1^{+\infty }\frac{x^{3/2}}{x^3+x+1}dx$：$\frac{x^{3/2}}{x^3+x+1}\sim \frac{1}{x^{3/2}}$（$x\to +\infty$），$p=\frac{3}{2}>1$，收敛。

例2：${\int }_2^{+\infty }\frac{dx}{x\ln x}$：令 $u=\ln x$，${\int }_{\ln 2}^{+\infty }\frac{du}{u}$ 发散。

定理：定理8.2.3 Cauchy判别法

定理8.2.4 积分第二中值定理 — 例子

例1：${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(a){\int }_a^{\xi }g(x)dx+f(b){\int }_{\xi }^{b}g(x)dx$（$f$ 单调，$g$ 可积）。例如 $f(x)=x$（单调），$g(x)=\sin x$ 在 $[0,\pi ]$ 上：${\int }_0^{\pi }x\sin xdx=0\cdot {\int }_0^{\xi }\sin xdx+\pi \cdot {\int }_{\xi }^{\pi }\sin xdx=\pi (1+\cos \xi )$。

定理：定理8.2.4 积分第二中值定理

定理8.2.5 Abel判别法和Dirichlet判别法 — 例子

例1（Dirichlet判别法）：${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ 收敛。$f(x)=\sin x$ 的积分 ${\int }_1^A\sin xdx=\cos 1-\cos A$ 有界，$g(x)=\frac{1}{x}$ 单调递减趋于0。

例2（Abel判别法）：${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\ln x}dx$ 收敛。${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ 收敛，$\frac{1}{\ln x}$ 单调有界。

定理：定理8.2.5 Abel判别法和Dirichlet判别法

定理8.2.1’ Cauchy收敛原理（瑕积分） — 例子

例1：${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}$ 收敛：对 $\epsilon >0$，${\int }_{\epsilon }^{{\epsilon }^{\prime }}\frac{dx}{\sqrt{x}}=2(\sqrt{{\epsilon }^{\prime }}-\sqrt{\epsilon })\to 0$（$\epsilon ,{\epsilon }^{\prime }\to 0^{+}$）。

定理：定理8.2.1’ Cauchy收敛原理（瑕积分）

定理8.2.3’ Cauchy判别法（瑕积分） — 例子

例1：${\int }_0^1\frac{dx}{x^p}$（$x=0$ 是瑕点）：$p<1$ 时收敛，$p⩾1$ 时发散。例如 ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}$ 收敛（$p=\frac{1}{2}<1$），${\int }_0^1\frac{dx}{x}$ 发散（$p=1$）。

定理：定理8.2.3’ Cauchy判别法（瑕积分）