第十五章 含参变量积分 — 例子

定义15.1.1 含参变量的常义积分 — 例子

例1：$F(y)={\int }_0^1\frac{\sin (xy)}{x}dx$ 是含参变量 $y$ 的常义积分（$x\in [0,1]$，$y$ 为参数）。

例2：$F(y)={\int }_0^1{x}^{y}dx=\frac{1}{y+1}$（$y>-1$），可直接求出解析表达式。

定义：定义15.1.1 含参变量的常义积分

定义15.2.1 含参变量的反常积分 — 例子

例1：$\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx$（$s>0$）是含参变量 $s$ 的反常积分。

例2：${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin (xy)}{x}dx$（$y>0$）是含参变量 $y$ 的反常积分，值为 $\frac{\pi }{2}$。

定义：定义15.2.1 含参变量的反常积分

定义15.2.2 含参变量反常积分的一致收敛 — 例子

例1：${\int }_0^{+\infty }\frac{e^{-xy}}{1+x^2}dx$ 在 $y\in [a,+\infty )$（$a>0$）上一致收敛（Weierstrass判别法：$\frac{e^{-xy}}{1+x^2}⩽\frac{e^{-ax}}{1+x^2}$，${\int }_0^{+\infty }\frac{e^{-ax}}{1+x^2}dx$ 收敛）。

定义：定义15.2.2 含参变量反常积分的一致收敛

定义15.3.1 Gamma函数 — 例子

例1：$\Gamma (1)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx=1$。

例2：$\Gamma (n+1)=n!$（$n$ 为正整数）。$\Gamma (2)=1!=1$，$\Gamma (3)=2!=2$，$\Gamma (4)=3!=6$。

例3：$\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$（重要特殊值）。

定义：定义15.3.1 Gamma函数

定义15.3.2 Beta函数 — 例子

例1：$B(1,1)={\int }_0^{1}dx=1$。

例2：$B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$。$B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\Gamma (\frac{1}{2}{)}^2}{\Gamma (1)}=\frac{\pi }{1}=\pi$。

定义：定义15.3.2 Beta函数

定理15.1.1 连续性定理 — 例子

例1：$F(y)={\int }_0^1{x}^{y}dx=\frac{1}{y+1}$（$y>-1$），被积函数连续，故 $F(y)$ 连续。

定理：定理15.1.1 连续性定理

定理15.1.2 积分交换定理 — 例子

例1：${\int }_0^1{\int }_0^1{x}^{y}dxdy={\int }_0^1\frac{1}{y+1}dy=\ln 2$。交换顺序：${\int }_0^1{\int }_0^1{x}^{y}dydx={\int }_0^1\frac{x^y}{\ln x}{|}_0^{1}dx={\int }_0^1\frac{-1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x}\cdot xdx$（需仔细处理）。

定理：定理15.1.2 积分交换定理

定理15.1.3 积分号下求导定理 — 例子

例1：$F(y)={\int }_0^1{x}^{y}dx=\frac{1}{y+1}$，$F^{\prime }(y)={\int }_0^1{x}^y\ln xdx=-\frac{1}{(y+1{)}^2}$。验证：$(\frac{1}{y+1}{)}^{\prime }=-\frac{1}{(y+1{)}^2}$ ✓

定理：定理15.1.3 积分号下求导定理

定理15.1.4 变限含参积分的求导 — 例子

例1：$F(y)={\int }_0^y{e}^{-x^2}dx$，$F^{\prime }(y)=e^{-y^2}$（Leibniz规则）。

定理：定理15.1.4 变限含参积分的求导

定理15.2.1 一致收敛的Weierstrass判别法 — 例子

例1：${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin xy}{x^2}dx$ 在 $y\in \mathbf{R}$ 上一致收敛：$|\frac{\sin xy}{x^2}|⩽\frac{1}{x^2}$，${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2}$ 收敛。

定理：定理15.2.1 一致收敛的Weierstrass判别法

定理15.2.2 一致收敛的Dirichlet判别法 — 例子

例1：${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin xy}{x}dx$ 在 $y\in [a,+\infty )$（$a>0$）上一致收敛：${\int }_1^A\sin (xy)dx$ 一致有界，$\frac{1}{x}$ 单调一致趋于0。

定理：定理15.2.2 一致收敛的Dirichlet判别法

定理15.2.3 一致收敛的Abel判别法 — 例子

例1：${\int }_1^{+\infty }\frac{\cos xy}{x}\cdot e^{-x}dx$ 在 $y\in [0,1]$ 上一致收敛：${\int }_1^{+\infty }\frac{\cos xy}{x}dx$ 一致收敛（Dirichlet），$e^{-x}$ 单调一致有界。

定理：定理15.2.3 一致收敛的Abel判别法

定理15.2.4 连续性定理（反常积分） — 例子

例1：$\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx$ 在 $s>0$ 上连续（内闭一致收敛保证连续性）。

定理：定理15.2.4 连续性定理（反常积分）

定理15.2.5 积分交换定理（反常积分） — 例子

例1：${\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy=\frac{\pi }{4}$，可交换积分顺序。

定理：定理15.2.5 积分交换定理（反常积分）

定理15.2.6 积分号下求导定理（反常积分） — 例子

例1：${\Gamma }^{\prime }(s)={\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}\ln xdx$（可在积分号下求导）。

定理：定理15.2.6 积分号下求导定理（反常积分）

定理15.3.1 Γ函数的递推公式 — 例子

例1：$\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$。$\Gamma (3)=2\Gamma (2)=2\cdot 1\cdot \Gamma (1)=2=2!$ ✓

定理：定理15.3.1 Γ函数的递推公式

定理15.3.2 B函数与Γ函数的关系 — 例子

例1：$B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$。$B(1,2)=\frac{\Gamma (1)\Gamma (2)}{\Gamma (3)}=\frac{1\cdot 1}{2}=\frac{1}{2}$。验证：$B(1,2)={\int }_0^1(1-x)dx=\frac{1}{2}$ ✓

定理：定理15.3.2 B函数与Γ函数的关系

定理15.3.3 Γ函数的Bohr-Mollerup定理 — 例子

例1：$\Gamma$ 函数是唯一满足 $\Gamma (1)=1$，$\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$，且 $\ln \Gamma (s)$ 凸的函数。

定理：定理15.3.3 Γ函数的Bohr-Mollerup定理

定理15.3.4 Stirling公式 — 例子

例1：$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$。$10!=3628800$，近似值 $\sqrt{20\pi }\cdot (10/e{)}^{10}\approx 3598696$，相对误差约0.8%。

定理：定理15.3.4 Stirling公式

定理15.3.5 余元公式 — 例子

例1：$\Gamma (s)\Gamma (1-s)=\frac{\pi }{\sin \pi s}$（$0<s<1$）。$\Gamma (\frac{1}{2})\Gamma (\frac{1}{2})=\frac{\pi }{\sin (\pi /2)}=\pi$，故 $\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$ ✓

定理：定理15.3.5 余元公式