第六章 不定积分 — 例子

定义 原函数 — 例子

例1：$f(x)=2x$，$F(x)=x^2$ 是一个原函数（因为 $F^{\prime }(x)=2x=f(x)$）。$x^2+C$（$C$ 为任意常数）是全部原函数。

例2：$f(x)=\frac{1}{x}$（$x\ne 0$），$F(x)=\ln |x|$ 是原函数。

定义：定义 原函数

定义 不定积分 — 例子

例1：$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$。验证：$(\frac{x^3}{3}{)}^{\prime }=x^2$（导数验证原函数）。

例2：$\int \cos xdx=\sin x+C$。$\int e^{x}dx=e^x+C$。

定义：定义 不定积分

定义 有理函数 — 例子

例1：$\frac{x^2+1}{x^3-1}$ 是有理函数（分子分母都是多项式）。

例2：$\frac{1}{x^2+1}$ 是有理函数，可分解为部分分式后积分：$\int \frac{dx}{x^2+1}=\arctan x+C$。

定义：定义 有理函数

定理 线性性 — 例子

例1：$\int (3x^2+2\cos x)dx=3\cdot \frac{x^3}{3}+2\sin x+C=x^3+2\sin x+C$（由线性性）。

例2：$\int (e^x-\frac{1}{x})dx=e^x-\ln |x|+C$（由线性性）。

定理：定理 线性性

定理 实根部分分式分解 — 例子

例1：$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1}$（由实根部分分式分解）。积分：$\int \frac{dx}{x^2-1}=\frac{1}{2}\ln |\frac{x-1}{x+1}|+C$。

例2：$\frac{x}{(x-1)(x-2)}=\frac{-1}{x-1}+\frac{2}{x-2}$（由实根部分分式分解）。积分：$\int \frac{xdx}{(x-1)(x-2)}=-\ln |x-1|+2\ln |x-2|+C$。

定理：定理 实根部分分式分解

定理 复根部分分式分解 — 例子

例1：$\frac{1}{x^2+1}$ 分母无实根，$x^2+1=(x-i)(x+i)$，但作为实系数部分分式：$\frac{1}{x^2+1}$ 已是最简形式（复根部分分式分解）。$\int \frac{dx}{x^2+1}=\arctan x+C$。

例2：$\frac{x+1}{x^2+x+1}$，分母判别式 $<0$（复根情形）。配方法：$\int \frac{x+1}{x^2+x+1}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+x+1)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C$。

定理：定理 复根部分分式分解