第五章 微分中值定理及其应用 — 例子

定义5.1.1 极值 — 例子

例1：$f(x)=x^3-3x$，$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。$f^{\prime }(1)=0$，$f(1)=-2$ 是极小值；$f^{\prime }(-1)=0$，$f(-1)=2$ 是极大值。

例2：$f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处 $f^{\prime }(0)=0$，但 $x=0$ 不是极值点（函数单调递增）。

定义：定义5.1.1 极值

定义5.3.1 Taylor多项式 — 例子

例1：$f(x)=e^x$ 在 $x=0$ 处的3阶Taylor多项式：$P_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$。

例2：$f(x)=\sin x$ 在 $x=0$ 处的5阶Taylor多项式：$P_5(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$。

定义：定义5.3.1 Taylor多项式

定义5.3.2 Taylor公式与余项 — 例子

例1：$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+R_n(x)$，Lagrange余项 $R_n(x)=\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}{x}^{n+1}$（$\xi$ 在0与 $x$ 之间）。

例2：用 $P_3(x)$ 近似计算 $e^{0.1}$：$e^{0.1}\approx 1+0.1+0.005+0.000167=1.105167$，误差 $|R_3|⩽\frac{e^{0.1}}{4!}\times 0.0001<4.6\times 10^{-6}$。

定义：定义5.3.2 Taylor公式与余项

定义5.4.1 凸函数 — 例子

例1：$f(x)=x^2$ 是凸函数：$f(\lambda x+(1-\lambda )y)=(\lambda x+(1-\lambda )y{)}^2⩽\lambda x^2+(1-\lambda )y^2$（由 $2\lambda (1-\lambda )xy⩽2\lambda (1-\lambda )\cdot \frac{x^2+y^2}{2}$ 得证）。

例2：$f(x)=\ln x$ 是凹函数（$-f$ 是凸函数），$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$。

定义：定义5.4.1 凸函数

定义5.5.1 拐点 — 例子

例1：$f(x)=x^3$，$f^{\prime \prime }(x)=6x$。$x<0$ 时 $f^{\prime \prime }<0$（凹），$x>0$ 时 $f^{\prime \prime }>0$（凸），故 $(0,0)$ 是拐点。

定义：定义5.5.1 拐点

定义5.6.1 曲率 — 例子

例1：圆 $x^2+y^2=R^2$ 的曲率处处为 $\frac{1}{R}$（曲率半径为 $R$）。

例2：直线 $y=ax+b$ 的曲率为0（$y^{\prime \prime }=0$）。

定义：定义5.6.1 曲率

定理5.1.1 Fermat引理 — 例子

例1：$f(x)=x^2$ 在 $x=0$ 处取极小值，$f^{\prime }(0)=0$，符合Fermat引理。

例2：$f(x)=\cos x$ 在 $x=0$ 处取极大值1，$f^{\prime }(0)=-\sin 0=0$。

定理：定理5.1.1 Fermat引理

定理5.1.2 Rolle定理 — 例子

例1：$f(x)=x^2-1$ 在 $[-1,1]$ 上连续、可导，$f(-1)=f(1)=0$。由Rolle定理，存在 $\xi \in (-1,1)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0$，即 $2\xi =0$，$\xi =0$。

例2：证明 $x^3+2x+1=0$ 至多有一个实根。设 $f(x)=x^3+2x+1$，若有两个根 $a<b$，则 $f(a)=f(b)=0$，由Rolle定理存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=3{\xi }^2+2=0$，但 $3{\xi }^2+2>0$，矛盾。

定理：定理5.1.2 Rolle定理

定理5.1.3 Lagrange中值定理 — 例子

例1：$f(x)=x^2$ 在 $[1,3]$ 上，$\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4$，$f^{\prime }(\xi )=2\xi =4$，$\xi =2\in (1,3)$ ✓

例2：证明 $|\sin b-\sin a|⩽|b-a|$。由Lagrange中值定理，$\sin b-\sin a=\cos \xi \cdot (b-a)$，而 $|\cos \xi |⩽1$。

定理：定理5.1.3 Lagrange中值定理

定理5.1.4 导数为零的函数 — 例子

例1：$f(x)=C$（常数函数），$f^{\prime }(x)=0$，符合定理。

例2：若 $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$ 在区间 $I$ 上成立，则 $f(x)-g(x)=C$。例如 $(\arcsin x{)}^{\prime }=(\arccos x{)}^{\prime }$ 的关系：$(\arcsin x+\arccos x{)}^{\prime }=0$，故 $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$。

定理：定理5.1.4 导数为零的函数

定理5.1.5 一阶导数与单调性的关系 — 例子

例1：$f(x)=e^x$，$f^{\prime }(x)=e^x>0$，故 $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增。

例2：$f(x)=x^2$，$f^{\prime }(x)=2x$。$x>0$ 时 $f^{\prime }>0$（递增），$x<0$ 时 $f^{\prime }<0$（递减）。

定理：定理5.1.5 一阶导数与单调性的关系

定理5.1.6 二阶导数与凸性的关系 — 例子

例1：$f(x)=x^2$，$f^{\prime \prime }(x)=2>0$，故 $f$ 是凸函数。

例2：$f(x)=\ln x$，$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$，故 $f$ 是凹函数。

定理：定理5.1.6 二阶导数与凸性的关系

定理5.1.7 极值点的二阶导数判定 — 例子

例1：$f(x)=x^3-3x$，$f^{\prime }(x)=3x^2-3$，$f^{\prime \prime }(x)=6x$。$x=1$ 时 $f^{\prime \prime }(1)=6>0$（极小值），$x=-1$ 时 $f^{\prime \prime }(-1)=-6<0$（极大值）。

例2：$f(x)=x^4$，$f^{\prime }(0)=0$，$f^{\prime \prime }(0)=0$，二阶导数判定失效，需用其他方法（$x=0$ 是极小值）。

定理：定理5.1.7 极值点的二阶导数判定

定理5.1.8 Jensen不等式 — 例子

例1：对凸函数 $f(x)=x^2$，$f(\frac{x+y}{2})⩽\frac{f(x)+f(y)}{2}$，即 $(\frac{x+y}{2}{)}^2⩽\frac{x^2+y^2}{2}$，展开即 $\frac{x^2+2xy+y^2}{4}⩽\frac{x^2+y^2}{2}$，等价于 $(x-y{)}^2⩾0$ ✓

例2：对凸函数 $f(x)=e^x$，$\sqrt{e^x\cdot e^y}⩽\frac{e^x+e^y}{2}$（算术-几何平均不等式的特例）。

定理：定理5.1.8 Jensen不等式

定理5.1.9 Cauchy中值定理 — 例子

例1：$f(x)=x^2$，$g(x)=x^3$ 在 $[0,1]$ 上，$\frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)}=\frac{1}{1}=1$，$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{2\xi }{3{\xi }^2}=\frac{2}{3\xi }$，解得 $\xi =\frac{2}{3}\in (0,1)$ ✓

定理：定理5.1.9 Cauchy中值定理

定理5.2.1 L’Hospital法则 — 例子

例1：${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$（$\frac{0}{0}$ 型）。

例2：${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x}{e^x}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{e^x}=0$（$\frac{\infty }{\infty }$ 型）。

例3：${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1/x}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1/x}{-1/x^2}={\lim }_{x\to 0^{+}}(-x)=0$（$0\cdot \infty$ 型）。

定理：定理5.2.1 L’Hospital法则

定理5.3.1 带Peano余项的Taylor公式 — 例子

例1：$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$（$x\to 0$）。

例2：$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$（$x\to 0$）。

定理：定理5.3.1 带Peano余项的Taylor公式

定理5.3.2 带Lagrange余项的Taylor公式 — 例子

例1：$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}{x}^{n+1}$。取 $x=1$：$e=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}+\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}$（$0<\xi <1$）。

例2：用Taylor公式估计 $\sin 0.1$：$\sin 0.1\approx 0.1-\frac{0.1^3}{6}=0.1-0.000167=0.099833$，误差 $|R_3|⩽\frac{0.1^5}{120}<10^{-7}$。

定理：定理5.3.2 带Lagrange余项的Taylor公式

定理5.3.3 插值多项式的余项定理 — 例子

例1：过 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 的线性插值 $P_1(x)=x$，余项 $R_1(x)=\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2!}x(x-1)$。对 $f(x)=x^2$，$R_1(x)=x(x-1)$，$f(0.5)=0.25$，$P_1(0.5)=0.5$，$R_1(0.5)=-0.25$ ✓

定理：定理5.3.3 插值多项式的余项定理

定理5.3.4 插值多项式存在惟一性 — 例子

例1：过点 $(0,1)$，$(1,e)$，$(2,e^2)$ 的2次插值多项式惟一存在。设 $P_2(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2$，由条件解得 $a_0=1$，$a_1=\frac{4e-e^2-3}{2}$，$a_2=\frac{e^2-2e+1}{2}$。

定理：定理5.3.4 插值多项式存在惟一性

定理5.4.1 Taylor多项式导数 — 例子

例1：$e^x$ 的 $n$ 阶Taylor多项式 $P_n(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$，$P_n^{\prime }(x)={\sum }_{k=1}^n\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}=P_{n-1}(x)$。

定理：定理5.4.1 Taylor多项式导数

定理5.5.1 极值点判定定理 — 例子

例1：$f(x)=x^3-3x$，$f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$。$x=-1$：$f^{\prime }$ 由正变负（极大值2）；$x=1$：$f^{\prime }$ 由负变正（极小值-2）。

定理：定理5.5.1 极值点判定定理

定理5.6.1 曲率公式 — 例子

例1：抛物线 $y=x^2$ 在 $x=0$ 处的曲率：$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}=\frac{2}{1}=2$，曲率半径 $R=\frac{1}{2}$。

例2：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 在顶点 $(a,0)$ 处曲率 $K=\frac{a}{b^2}$。

定理：定理5.6.1 曲率公式