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      <title>数学步步证</title>
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      <description>最近的10条笔记 on 数学步步证</description>
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    <title>第一章 集合与映射 例子</title>
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    <description><![CDATA[ 第一章 集合与映射 — 例子 定义1.1.1 可列集 — 例子 例1：正整数集 \mathbf{N}^{+} = \{1, 2, 3, \dots\} 本身就是可列集（与自身一一对应）。 例2：整数集 \mathbf{Z} 是可列集：可排列为 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots，与 \mathbf{N}^{+} 一一对应。 例3：有理数集 \mathbf{Q} 是可列集（可按某种方式排列）。但实数集 \mathbf{R} 不是可列集（Cantor对角线法证明）。 定义：定义1.1.1 可列集 定义1.2.1 绝对值 — 例子 例1：|3| = 3，|-3| = -(-3... ]]></description>
    <pubDate>Tue, 14 Apr 2026 16:00:00 GMT</pubDate>
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    <title>第七章 定积分 例子</title>
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    <description><![CDATA[ 第七章 定积分 — 例子 定义7.1.1 定积分（Riemann积分） — 例子 例1：\int_0^1 x^2 \, dx。取等分分割，\Delta x_i = \frac{1}{n}，取右端点 \xi_i = \frac{i}{n}：\sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \to \frac{1}{3}（n \to \infty）。 例2：Dirichlet函数 D(x) = \begin{cases} 1, &amp; x ... ]]></description>
    <pubDate>Tue, 14 Apr 2026 16:00:00 GMT</pubDate>
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    <title>第三章 函数极限与连续函数 例子</title>
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    <description><![CDATA[ 第三章 函数极限与连续函数 — 例子 定义3.1.1 函数极限（\varepsilon-\delta 定义） — 例子 例1：\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5。验证：|3x - 1 - 5| = 3|x - 2|，取 \delta = \varepsilon / 3，当 0 &lt; |x - 2| &lt; \delta 时 |f(x) - 5| &lt; \varepsilon。 例2：\lim_{x \to 0} x^2 = 0。|x^2 - 0| = x^2，取 \delta = \sqrt{\varepsilon}，当 |x| &lt; \delta 时 x^2... ]]></description>
    <pubDate>Tue, 14 Apr 2026 16:00:00 GMT</pubDate>
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    <title>第九章 数项级数 例子</title>
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    <description><![CDATA[ 第九章 数项级数 — 例子 定义9.1.1 数项级数 — 例子 例1：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} 是数项级数，部分和 S_N = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2}。 例2：几何级数 \sum_{n=0}^{\infty} q^n，部分和 S_N = \frac{1 - q^{N+1}}{1 - q}（q \neq 1）。 定义：定义9.1.1 数项级数 定义9.1.2 级数的收敛与发散 — 例子 例1：\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2，收敛。 例2：调和... ]]></description>
    <pubDate>Tue, 14 Apr 2026 16:00:00 GMT</pubDate>
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    <title>第二章 数列极限 例子</title>
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    <description><![CDATA[ 第二章 数列极限 — 例子 定义2.1.1 上界与下界 — 例子 例1：\{x_n\} = \{\frac{1}{n}\}，上界为1（或任何 \geqslant 1 的数），下界为0（或任何 \leqslant 0 的数）。 例2：\{x_n\} = \{(-1)^n\}，上界为1，下界为-1。 定义：定义2.1.1 上界与下界 定义2.1.2 上确界与下确界 — 例子 例1：S = (0, 1)，\sup S = 1（1不在 S 中，但比 S 中元素都大，且任意 \varepsilon &gt; 0，1 - \varepsilon \in S），\inf S = 0。 例2：S = \{1,... ]]></description>
    <pubDate>Tue, 14 Apr 2026 16:00:00 GMT</pubDate>
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    <title>第五章 微分中值定理及其应用 例子</title>
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    <description><![CDATA[ 第五章 微分中值定理及其应用 — 例子 定义5.1.1 极值 — 例子 例1：f(x) = x^3 - 3x，f&#039;(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)。f&#039;(1) = 0，f(1) = -2 是极小值；f&#039;(-1) = 0，f(-1) = 2 是极大值。 例2：f(x) = x^3 在 x = 0 处 f&#039;(0) = 0，但 x = 0 不是极值点（函数单调递增）。 定义：定义5.1.1 极值 定义5.3.1 Taylor多项式 — 例子 例1：f(x) = e^x 在 x = 0 处的3阶Taylor多项式：P_3(x) = 1 +... ]]></description>
    <pubDate>Tue, 14 Apr 2026 16:00:00 GMT</pubDate>
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    <title>第八章 反常积分 例子</title>
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    <description><![CDATA[ 第八章 反常积分 — 例子 定义8.1.1 无穷限反常积分 — 例子 例1：\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2} = \lim_{A \to +\infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^A = \lim_{A \to +\infty} (1 - \frac{1}{A}) = 1，收敛。 例2：\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x} = \lim_{A \to +\infty} \ln A = +\infty，发散。 例3：\int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx = \lim_{A \to +\inf... ]]></description>
    <pubDate>Tue, 14 Apr 2026 16:00:00 GMT</pubDate>
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    <title>第六章 不定积分 例子</title>
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    <description><![CDATA[ 第六章 不定积分 — 例子 定义6.1.1 原函数 — 例子 例1：f(x) = 2x，F(x) = x^2 是一个原函数（因为 F&#039;(x) = 2x = f(x)）。x^2 + C（C 为任意常数）是全部原函数。 例2：f(x) = \frac{1}{x}（x \neq 0），F(x) = \ln |x| 是原函数。 定义：定义6.1.1 原函数 定义6.1.2 不定积分 — 例子 例1：\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C。验证：(\frac{x^3}{3})&#039; = x^2。 例2：\int \cos x \, dx = \sin x +... ]]></description>
    <pubDate>Tue, 14 Apr 2026 16:00:00 GMT</pubDate>
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    <title>第十一章 Euclid空间上的极限和连续 例子</title>
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    <description><![CDATA[ 第十一章 Euclid空间上的极限和连续 — 例子 定义11.1.1 Euclid距离 — 例子 例1：\mathbf{R}^3 中，x = (1, 2, 3)，y = (4, 0, -1)，d(x, y) = \sqrt{(1-4)^2 + (2-0)^2 + (3+1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}。 定义：定义11.1.1 Euclid距离 定义11.1.2 邻域 — 例子 例1：\mathbf{R}^2 中，O((0,0), 1) = \{(x, y) : x^2 + y^2 &lt; 1\} 是以原点为心的单位圆盘（不含边界）。 定义：定义11... ]]></description>
    <pubDate>Tue, 14 Apr 2026 16:00:00 GMT</pubDate>
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    <title>第十三章 重积分 例子</title>
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    <description><![CDATA[ 第十三章 重积分 — 例子 定义13.1.1 二重积分 — 例子 例1：\iint_D 1 \, d\sigma = D 的面积。若 D = [0, 1] \times [0, 1]，则 \iint_D 1 \, d\sigma = 1。 例2：\iint_D (x + y) \, dx \, dy，D = [0, 1] \times [0, 1]：\int_0^1 \int_0^1 (x + y) \, dx \, dy = \int_0^1 (\frac{1}{2} + y) \, dy = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1。 定义：定义13.1.1 二重积分 定... ]]></description>
    <pubDate>Tue, 14 Apr 2026 16:00:00 GMT</pubDate>
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