第十四章 曲线积分、曲面积分与场论 — 例子

定义 第一类曲线积分 — 例子

例1：${\int }_{L}yds$，$L$ 为 $y=x$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$。$ds=\sqrt{1+1}dx=\sqrt{2}dx$（弧长元素），${\int }_0^{1}x\cdot \sqrt{2}dx=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

定义：定义 第一类曲线积分

定义 第二类曲线积分 — 例子

例1：${\int }_{L}ydx+xdy$，$L$ 为 $y=x^2$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$。${\int }_0^1(x^2+x\cdot 2x)dx={\int }_0^{1}3x^{2}dx=1$。

例2：${\oint }_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}$，$L$ 为单位圆 $x^2+y^2=1$（逆时针）：$={\int }_0^{2\pi }\frac{-\sin t\cdot (-\sin t)+\cos t\cdot \cos t}{1}dt={\int }_0^{2\pi }1dt=2\pi$。

定义：定义 第二类曲线积分

定义 第一类曲面积分 — 例子

例1：${\iint }_{S}1dS=S$ 的面积。球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的面积 $=4\pi R^2$。

定义：定义 第一类曲面积分

定义 第二类曲面积分 — 例子

例1：${\iint }_{S}xdydz$，$S$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的前半球：由对称性 $=\frac{2}{3}\pi R^3$。

定义：定义 第二类曲面积分

定义 散度 — 例子

例1：$\mathbf{F}=(x^2,y^2,z^2)$，$\text{div}\mathbf{F}=2x+2y+2z$。在 $(1,1,1)$ 处 $\text{div}\mathbf{F}=6$。

例2：$\mathbf{F}=(y,z,x)$，$\text{div}\mathbf{F}=0$（无源场）。

定义：定义 散度

定义 旋度 — 例子

例1：$\mathbf{F}=(-y,x,0)$，$\text{rot}\mathbf{F}=(0,0,2)$（绕 $z$ 轴旋转）。

例2：$\mathbf{F}=\nabla f$（梯度场），$\text{rot}\mathbf{F}=0$（无旋场）。

定义：定义 旋度

定理 第一类曲线积分的计算 — 例子

例1：${\int }_L\sqrt{x^2+y^2}ds$，$L:x=\cos t,y=\sin t$（$0⩽t⩽2\pi$）。$ds=dt$，${\int }_0^{2\pi }1dt=2\pi$。

定理：定理 第一类曲线积分的计算

定理 第一类曲面积分的计算 — 例子

例1：${\iint }_{S}zdS$，$S:z=1-x-y$（$x⩾0,y⩾0,x+y⩽1$）。$dS=\sqrt{3}dxdy$（曲面面积元素），${\iint }_D(1-x-y)\sqrt{3}dxdy=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。

定理：定理 第一类曲面积分的计算

定理 两类曲线积分的关系 — 例子

例1：${\int }_L\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_L(\mathbf{F}\cdot \mathbf{n})ds$，其中 $\mathbf{n}$ 是单位切向量。例如 ${\int }_{L}ydx+xdy={\int }_L(y,x)\cdot \mathbf{n}ds$。

定理：定理 两类曲线积分的关系

定理 两类曲面积分的关系 — 例子

例1：${\iint }_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_S(P,Q,R)\cdot \mathbf{n}dS$，$\mathbf{n}$ 是单位法向量。

定理：定理 两类曲面积分的关系

定理 Green公式 — 例子

例1：${\oint }_L(x+y)dx+(x-y)dy$，$L$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$（逆时针）。由Green公式：$={\iint }_D(1-1)dxdy=0$。

例2：${\oint }_L-ydx+xdy=2{\iint }_{D}dxdy=2\cdot \text{面积}(D)$（Green公式用于计算面积）。

定理：定理 Green公式

定理 Gauss公式 — 例子

例1：$\iint xdydz+ydzdx+zdxdy$，$S$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$（外侧）。由Gauss公式：$={\iiint }_{V}3dV=3\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^3$。

定理：定理 Gauss公式

定理 Stokes公式 — 例子

例1：${\oint }_{L}ydx+zdy+xdz$，$L$ 为圆 $x^2+y^2=1,z=0$。由Stokes公式：$={\iint }_S(0,-1,-1)\cdot \mathbf{n}dS=-\pi$。

定理：定理 Stokes公式

定理 保守场的等价条件 — 例子

例1：$\mathbf{F}=(2x,2y,2z)=\nabla (x^2+y^2+z^2)$ 是保守场，$\text{rot}\mathbf{F}=0$（无旋场），曲线积分与路径无关。

定理：定理 保守场的等价条件